一种用于非线性控制器设计的改进型气体质量流量计算公式

空气的可压缩性和系统的本质非线性使气动伺服控制-直是研究的热点。其中，质量流量公式的模型不确定与强非线性是气动伺服控制的主要难点之-。 目前，气动伺服控制中采用的流量公式-般有两种：圣维南公式和国际标准的流量公式。圣维南公式是将通过阀口的气体流动过程近似为理想气体经过收缩喷管的-维定常等熵流动推导出来的，其临界压力比与国际标准实测的临界压力比有较大误差。对稳态流量的测量，-般是采用恒压气源测量经过阀口的流量大型压力比，从而计算声速流导或流量系数，国际标准、美国标准、费斯托公司标准等均是在稳态条件下进行测试的，只适用于流通截面在实验过程中保持不变的气动元件 ，且气体在元件 内部 的流动是定常流动。

对于气动伺服系统的实时反镭制而言，流通截面在控制过程中是变化的，且流动是非定常流动。因此，稳态流量不能很好地表征气动伺服控制过程中实际经过阀口的流量，因此研究人员试图测量经过阀口的瞬态流量。由于瞬时流量的直接测量非常困难，所以大多数采用间接测量方法，目前有两条途径：其-，用恒定气源向-固定容腔充气，测量出压力变化率，从而求得质量流量变化率，这就是 J.E.Bobrow教授 、陶国良 教授等在气动伺服控制中对稳态的质量流量公式进行修正与拟合；其二，用恒定压力后的固定容腔向大气排气，然后测取卸荷到-定压力后的时间，这就是 Salvador教授4 J、Kagawa教授5 J、徐文灿教授6 J(中国标准)采用的来寻找新的方法，以便克服国际标准需要大范围、高精度的测量仪表和耗气量太大的缺点。研究人员发现，在亚音速流动时流量系数 C 随压力比变化，而中国标准仍然相当于-种稳态量的表征收稿 日期：2013-02.15基金项目：国家自然科学基金资助项目(51005066)作者简介：曹剑(1979-)，男，湖南益阳人，讲师，博士，主要从事气动控制领域的科研与教学工作。

28 液压与气动 2013年第 8期(尽管其测量方式是不定常流动)，不能反映流量系数C 随压力比变化的事实 ，因此也不适合于气动伺服控制。

为保持流量公式的分段函数连续性与可导性，方便非线性控制器的设计与编程，本文通过对圣维南质量流量公式的流量系数进行参数线性化与对临界压力比进行修正，获得-种改进型的圣维南质量流量公式，此公式可与自适应鲁棒控制算法结合来提高模型补偿的精确性和参数辨识的有效性。

1 圣维南质量流量公式及修正方法目前在气动伺服控制中最常采用的阀口流量公式是圣维南公式，圣维南公式是将通过阀口的气体流动过程近似为理想气体经过收缩喷管的-维定常等熵流动推导出来的，其表达式如下：g/ √盲 Pd/p >P。

p (南)岩(1)式中，q是经过阀口的质量流量；A 是喉部的节流面积；P 、P 分别是阀口下游、上游的压力；T是阀口上游的温度；Pcr是临界压力比，其理论值 0.5283； 是比热比；R是理想气体常数。

C A 。流量系数 C 用来表示局部摩擦损失和动能损失，根据 Pery的实验测试，它与阀口的上下游压力比有关 。

2 国际标准质量流量公式及修正方法国际标准 IS06358(1989)对通过收缩喷管的可压缩流体的等熵质量流量进行了理论方程的简化。真实的流动采用两个实验系数进行调整：声速流导和压力比。国际标准会使实验测试台非常庞大，需要对排气过程中的变量如压力、平均温度进行精确测量。而且这两个参数的测量是在稳态条件下进行的，国际标准规定其使用范围，即只适应于流通截面在试验过程中保持不变的那些元件，且流体在元件内部的流动是定常流动。对于用比例阀实现计算流量反馈，流通截面在控制过程中是变化的，且流动是非定常流动，因此如果将国际标准的流量公式直接应用于气动伺服控制的计算流量反励行实时控制是不合适的。

g.p。。√L P 。p0. /。 √upd、 l - ) Dp堕 ≤6P(2)式中，7'o293.15 K；P。是在 7"0、P：10 Pa、相对湿度为65% 的工况下气体的密度。比例阀的 C、b值是在阀口全开的条件下测试的，用来反映阀的最大通流能力；而在气动伺服控制过程中比例阀时是工作在不同的阀口开度下，也就是不同开度下的 C、b值将有所不同，因此不适合直接采用国际标准的流量公式来反求比例阀的控制电压。

西班牙 Salvador教授试图找到测试气动阀的声速流导的-种替代方法，既不需要像 IS06358那样庞大的实验测试台，也不需要对排气过程中的变量，如压力、平均温度或比容进行精确测量。Salvador教授从徐文灿教授的串接声速排气法(SSE)受到启发，将固定容腔排气时压力变化与时间的关系进行形式变换，将压力表述为指数下降的形式 J。并将气动系统看成-阶 RC回路，则气腔就是气容，阀口就是气阻，从而推导出瞬态声速流导的表达式。且通过实验发现，瞬态声速流导不仅依赖于喷管的截面积 或阀口面积A ，而且同样也依赖于卸荷容腔的几何尺 L/D。瞬态声速流导用于气动伺服控制面临-个难题，比例阀控制的阀心位移线性地控制阀口面积，在不同控制电压下(即不同阀口面积)如何获得其不同的瞬态声速流导。其实，这也是国际标准流量公式、中国标准流量公式用于气动伺服控制均要面临的问题。

3 根据压力微分响应拟合的质量流量公式加州大学的J.E.Bobrow教授等通过研究认为圣维南公式与气缸腔内的压力微分不-致，他们根据大量实验，得出进气质量流量与压差的开方成正比，排气的质量流量与压差成正比，进排气的质量流量与阀控制电压成二次关系曲线的结论 J：Cpr，h ( cau ) 进气c。Tsm (P -P )(c lMCe2 ) jF气 (3)式中，c C 、c 和 c以都是来 自于对实验数据的最小二乘拟合。陶国良教授认为，气体的流动速度较低时，气体通过阀口的流动可以看成气体经过收缩喷管的流动；但当气体的流动速度接近和超过音速时，气体的流孵2013年第8期 液压与气动 29动状况会产生很大变化，这时气体通过阀口的流动不可以看成经过喷管的流动。其参照 J.E.Bobrow的方法进行实验测试。发现将实验数据三次样条拟合后样条微分，结果与 J.E.Bobrow的修正流量公式相当符合，但如果将实验数据直接微分，结果与 J.E.Bobrow的修正流量公式有较大差距 ；但是三次样条拟合后样条微分的结果与直接微分的结果有较大的误差。因此，认为最佳的处理方法是将原始数据直接求微分，然后根据压力微分变化的趋势得出流量变化的趋势。实验测试曲线显示，圣维南公式在亚临界状态时基本符合实际流量的变化，因此只对气体接近或处于临界状态流动时的公式进行修正。通过反复实验，提出如下修正公式 ：P /p >CnP /p ≤ Cn(4)式中，C C 是实验系数；A是修正系数，取为 0.25。

该修正公式临界流动状态时用压差P -P。的函数代替圣维南公式中的P C 相当于圣维南公式中的临界压力比，但实验中发现 C 应大于临界压力比；C 可以根据 C 和两段函数的连续性求得。

J.E.Bobrow教授和陶国良教授的研究结果实际上是把气体通过阀口的流动和气腔内的压力过程当成- 个整体，这从控制系统建模来说有其便利性 J。但是，对于气动伺服系统的应用有其局限性。尽管可根据控制电压与阀口节流面积、阀口节流面积与质量流量、质量流量与压力微分之间的关系直接拟合出控制电压与压力微分的关系，事实上，不同型号的比例阀与不同型号的气缸配对时均须现厨行大量的实验进行拟合，而且当环境变化时，这种拟合的准确程度没有得到证实。

4 圣维南质量流量公式的改进为了寻找-种能够用于气动伺服控制的质量流量公式，还是应该采用修正后的圣维南质量流量公式，即将其表示成阀口面积 的函数，且用与阀口上下游压力比有关的流量系数来修正理论值与实验值之间的差别。理论公式的临界压力比P 与国际标准流量公式的临界压力比b有-定的差距，为了在控制中保证模型补偿的有效性，故将实验测试的临界压力比 b作为区分壅塞流与非壅塞流的临界压力比，并采用与国际标准、中国标准相类似的椭圆处理方法。同时，为保持分段函数的连续性，采用如下形式的质量流量公式：g 隽 (5)式中，A是比例阀的阀口面积；C是流量系数；P 是比例阀的供气压力。其中，参数 C 的表达式为：C √舌( ) 4-1 o< ≤6 fC 6 < ≤ Apc 羽 A < ≤ 1(6)式中，A是层流运动时的最小压力比；b是壅塞流与非壅塞流的临界压力比；C.是理论临界压力比与测试临界压力比的修正系数，取为0.2588。

流量系数 C。用来表示局部摩擦损失和动能损失，根据 Perry的实验测试，它与阀口的上下游压力比有关，且为上下游压力 比的多项式7 J。受此方法的启发，将流量系数表示成上下游压力比的多项式来反映流量系数随压力的变化，并对多项式的系数进行在线辨识，从而降低自适应鲁棒控制器中的模型误差。

， . 2C 口0n 口2f l (7) Ps 、P ，式中，a。、0 、0 均是未知参数，通过在线辨识获锐得 q 与 C。之后，根据上述推导出的流量公式和控制电压与阀口面积的关系曲线(图 1)，可得比例阀的控制量。

1.0×1O-5.0xl06O.O1 2 3 4 5 6 7 8 9～图1 控制电压与阀口面积关系曲线西-、I， - ，f-l --2-7 、， -- ，Jll / ， 工30 液压与气动 2013年第8期5 试验验证当比例阀的控制电压为4.4 V时，根据比例阀的中位电电压为 5.065 V，其进气 的输入电压实际为(5.065-4.4)0.665 V，正处在质量流量存在快变的交界处，其压力响应如图2所示，注意原始信号有较大的噪声干扰，采用卡尔曼滤波器后使得滤波精度达到 1 kPa，且几乎没有滤波滞后。为验证质量流量公式的有效性，将实际的压力微分与由质量流量公式计算所得的压力微分进行对比(图3)。从图3可看出，质量流量公式即使在快变的交界处仪常准确，其在线辨识的流量系数如图4所示。容易看出，辨识的流量系数不论是进气流量系数还是排气流量系数，其值均在0.8-1.0之间，而 Perry公式的流量系数值大概在0.6～0.9之间，这种稍微的不同有可能来 自于比例阀阀口结构与 Pery试验的阀口结构有-定差距，还可能0.OO.5 1.O1.52.O2.5 3.03.54.of/s图2 4.4 V时充气的压力响应曲线及其滤波后的曲线3·02.52.01.51.o0.50.OO.0O.5 1.o1.52.02.53.03.54.o∥s图 3 4.4 V时充气的压力响应微分实验曲线与计算曲线U衄10.O0.51.O1.52.O2.5 3.O3.54.o时间/s图4 4.4 V时充气时辨识的进气流量系数与排气流量系数来自于压力微分模型中的系数可能与实际值有-定差距，而这种差距被在线辨识的流量系数给补偿了，因此使得图3所示的试验所得的压力微分与计算所得的压力微分十分吻合。

6 结论本文对圣维南质量流量公式及修正方法、国际标准质量流量公式及修正方法及根据压力微分响应拟合的质量流量公式各种建模方法进行了整理与分析。为了保持质量流量公式的分段函数连续性与可导性，从而方便非线性控制器的设计，根据前人的修正思路，通过对圣维南质量流量公式的流量系数进行参数线性化与对临界压力比进行修正，提出了-种改进型气体质量流量公式。当比例阀的控制电压为4.4 V时，将实际的压力微分与由质量流量公式计算所得的压力微分进行对比，发现十分吻合，从而证实了所提方法的有效性。