迭代最小二乘法用于非线性移相器的标定

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移相干涉仪目前已经广泛应用于对光学元件的面形测量。在当前的移相干涉仪中，通常采用定步长移相算法来求解面形 。因此，当移相器存在线性及非线性移相误差时 ，会影 响测量结果的准确性 。针对线性移相误差 ，设计 了 自标定收稿 日期 ：2013-01-17； 修回 日期 ：2013-02-25基 金项 目：国家科技 重大专项 (02专项)资助课题 (2009ZX02205)作者简介 ：苏志德(1985- )，男 ，河北邢台人 ，博士研究生 ，主要从事精密光学检测技术的研究工作 。

E-mail：suzhidel l1###gmail.COrn应用光学 2013，34(4) 苏志德，等：迭代最小二乘法用于非线性移相器的标定 ·625 ·算法可有效避免该误差对测量结果的影响5 ]。针对非线性移相产生 的误 差，-方 面移 相算法 可以在-定程度上对误差进行补偿 ，另-方 面，需要对移相器进行精确标定 ]。Ochoa等人嘲介绍 了用于标定非线性移相器的简便方法，但其标定精度有限，Langoju等人口。。采用统计学方法来精确估计非线性移相值的大小，此方法需要较多帧的干涉图，当帧数较少时，求解精度也会降低。罗秋风等人[1 采用专用的位移测量仪器测量出移相器的特性曲线 ，并对特性 曲线作分 段拟合来 校正移相器的非线性，其校正精度受限于仪器的位移测量精度。朱 日宏等人[1。 3]在干涉图中引人载频，并利用傅里叶变换法得到干涉图间移相值，该方法需要选择合适的滤波函数来提取旁瓣信息，实际中选择合适的滤波函数比较困难，通常需要人为干预。基于此，本文提出了-种基于迭代最小二乘拟合的移相器标定方法，该方法操作简单，通过相位分布与移相值的迭代计算，可以高精度计算出干涉图间的移相值，进而完成对移相器的标定，保证测量结果的精度l1 。文中首先介绍移相值的计算方法 ，然后介绍利用此方法来 标定移 相器的过程，最后对标定效果进行了实验验证 。

E cos3 ∑sin3i- 1 i 1M M ∑cos。 E cos8 si- 1 1M M ∑sin3 cos8 ∑sin利用上式求得的bj和Cj，就可以计算得到该像素处的相位值为声 - tan- (- )1.2 帧 内拟合计算移相值1 移相值计算方法1.1 咒拟合计算相位分布对于采集到的M 帧移相干涉图，任意像素点的光强可表示为- A B cos[ ] (1)式中：上标 t表示理论光强值 ；i- 1，2，，M(M ≥3)表示采集干涉图的帧序号 ； - 1，2，，N 表示- 帧干涉图中像素的序号；A 是该像素的背景光强；B ，是该像素的调制度； 是该像素对应的被测相位 ； 是该帧对应的移相值。在此步中，假定对于任意-个像素点，各帧干涉图在此像素的背景光强和调制度是-致的，不发生变化，为求解相位分 布 ，定 义 - 组 新 的 变 量 为 a，- A ，b，-B ，Jcos，c，--B sine ，则 (1)式可表示为， - 日， 6，cos8 C sin8 (2)设实验测量得到的光强值为 ，，则理论光强与实际光强的最小二乘误差可表示为S，-∑( -17，) -∑(n bjcos8 c，sin8 - E )。 (3)根据最小二乘法则，当移相值 已知时，为准确得到相位值 ，，需要令 S，取最小值，即磬-o，薯-o， -o (4)由(4)式可得 ：×M ，， ，JM∑Ii，jCOS3M ∑ sin8(5)J- aibico3Ci sinCj (7)与上节类似，可以得 出在第 i帧 内理论光强和(6) 实际光强的最小二乘误差为N N 根据上节计算得到的相位分布，可以用-个相反的过程来求得各帧干涉图对应的移相值。在此步中，假定-帧之内各像素的背景光强和调制度是均匀-致的，为求解-帧对应的移相值，定义该帧的-组变量为 ：a - A ， - B cosS，f -- B sin3 ，这样 ，光强表达式(1)可表示为sl-∑( - ) -∑(n： cos - 1 - 1f：sine -E，) (8)当相位值 ，已知时，为准确得到移相值 ，需令 s 取最小值 ，即薯-。， -。，薯-。 c9由(9)式可得 ：. 626 . 应用光学 2013，34(4) 苏志德，等：迭代最小二乘法用于非线性移相器的标定M ∑cOSJ- lN N∑cos ∑cosJ1 J1N N∑sine ∑sine cosN∑sinN ∑cos sineN∑sin， 1利用上式中求得的b 和c ，可以得到第 i帧干涉图对应的移相值为- tan-6ci ) (11)1.3 迭代过程及收敛判据利用采 集得到的若 干幅干涉图，就可 以开始迭代来计算干涉 图间的移相值，迭代过程简述如下 ：1)根据上次迭代中得到的移相值，作咒拟合来计算本次迭代 的相位分布 ，各帧的初始移相值可设为移相算法要求的移相值；2)根据 1)中得到的相位分布 ，作帧内拟合来计算本次迭代中各帧对应的移相值；3)判断本次迭代是否满足收敛判据，如果不满足，将本次迭代得到的移相值代入 1)中继续计算 ，直到满足 为止 。收敛判据用来判 断咒移相值是否达到了精度要求 ，其表达式为I( - )- ( - )l< (12)式 中：k表示迭代次数；e是收敛阈值 。

2 移相器标定过程以移相干涉仪中常用的压电陶瓷(PzT)移相器为例，介绍其标定过程：1)以-定 电压间隔对移相器加 电压 ，并采集对应的干涉图，用上述介绍的移相值求解方法，计算各帧干涉图间移相值，从而得出电压值与移相值的对应关系曲线 ，其中收敛阈值 e可设为 0.01；2)对 1)中的对应关系曲线作二次拟合，得到电压与移相值 的关系表达式为 - F(U )-a 十 y，记为函数F，同样可以拟合出移相值与电压的关系式为U -F ( )- z，记为函数 F ；3)在关系曲线 中线性度较好 的电压范围处 ，选取- 电压值 U 作为起始移相 电压，后续 的电压×N 厶 fN∑Ii，j cosN ∑Ii，j sine(10)值则需要逐个确定～移相算法要求的移相值 ，， ， 代入到函数F ，确定与之对应的电压值U ，己，1.-，U ，作为初始估计的电压值；4)利用电压值己， ，U ·，u 进行移相并采集干涉图，计算 出干涉图问的实际移相值 j， ，，- (如果M>4时，可选取与待确定帧相邻的4帧干涉图为-组进行移相值的求解，此时的收敛阈值 e可设为 10 )，将此移相值与预期移相值作对比，得到移相值差值 为 d- △ ，△ ，，△M ，并判断此差值是否满足精度要求 ，例如设 -±0.05，如果 ≤ ，则该帧标定完成，如果不满足，则需对电压值 作调 整，新 的 电压 值为 U7- U A，其中2aU' 为函数F在U7 处的/-.，Olt.Ji 1 p斜率 ，71为循环次数，利用此更新后 的电压值重新移相并计算实际移相值，循环进行，直到满足精度要求。为了提高标定效率，实际中可以选取干涉图中的-块 区域进行计算。

3 实验验证本实验室有- 台较 旧的干涉仪 ，该 干涉仪移相功能无 法使用，但光机 系统完好。为验证所 提方法的可靠性 ，对此干涉仪进行了改造 ，换上-款有-定非线性 的移相器来 开展实验，在标定过 程中获得的电压值与移相值对应曲线如图 l所示。

按本文方法对此移相器标定后即可开展面形测量实验。为验证改造干涉仪利用此移相器 的测量精度，选取-组标准平面镜和被测平面镜，首先用 Zygo公司的 Verifire XP/D干涉仪测量出此被测镜的面形作为参考面形，如图 2(a)所示。然后在改造干涉仪上使用相同的标准镜及移相算法来测量此被测镜的面形，结果如图 2中(b)所示∩以看出，2台干涉仪的澳0量结果基本吻合 。在 2台干涉仪测量中，干涉腔长均设为 50 mm，并用纸带· 628 · 应用 光学 2013，34(4) 苏志德 ，等：迭代 最/bZ-乘法用于非线性移相器 的标定E4][5][6][7][8][9][1o][11]BURG C.Linear approximation for measurement er-rors in phase shifting interferometry[J].Applied Op-tics，1991，30(19)：2718-2729。

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