基于霍普菲尔神经网络的螺栓联接可靠性优化设计

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在内燃机缸盖螺栓联接设计中，由于各种客观因素的影响，工作应力中各变量实际上都不是确定量，而是随机变量或模糊变量。如果按照设计准则，建立数学模型，然后利用Hopfield神经网络优化求解，通过螺栓联接的计算过程和优化设计，结果表明，这种设计方法与实际工况更接近，优化效果显著。

1 Hopfield网络及能量函数Hopfield网络有离散型和连续型两种形式。

离散型Hopfield网络如图1所示。若(1)i0，称为无 自反馈网络，否则称为有 自反馈网络。对于第i个节点：Si 1)∑ )-bXi 1)f[s 11厂( )sgn(s) )图1 离散型Hopfield网络为讨论网络的稳定性，定义系统的Lyapunov能量函数为：E-去∑∑ ∑bii1 jl i1矩阵形式为：E：- XTWX XTb图2 连续型Hopfield网络连续型Hopfield网络可以与-电子线路对应，如图2所示。图中，运算放大器模拟神经元，并联的电阻和电容模拟神经元的延时特性，电导Tij]$J模拟各神经元间的突触特性 (相当于权系数)。

对于第i个放大器，根据克希霍夫电流定律可写出其非线性动态方程：其中：收稿日期：2012-12-23基金项目：中航工业科技部创新基金资助项目作者简介：钟波 (1968-)，男，湖南湘阴人，副教授，本科，研究方向为机械设计与制造和机械教育。

[110] 第35卷 第5期 2013-05(上)㈣， --∑ V 妣C I造 訇 似为Sigmoidi数，Ri是期个放大器输出到第i4-放大器输入之间的电阻值。

为描述网络的稳定性，引入系统的Lyapunov能量函数：E- Tqviv- ，I 喜 r )avil jl i1 i (2) 二 f1在放大器为高增益状态时，符号右边第三项可以忽略不计。

现在求E对Vi的偏层数，注意到TiT ，对无反馈网络，Ti ：0。

所以，筹 -3)由计算能量函数求得其对应的连接权值和偏置参数。

为进-步说明上述过程 ，设优化问题描述为：求 [ 1， 2，，Xn]minf(X)S.t. hi(X)0 01，2，，p)gj(x) 0(jp1，，m)采用外罚函数法将约束问题转换成无约束问题，写成二次幂形式：e(x， )：厂( ) &jh，( )z 1 min[0，gj( ))2 (5)或 C ：- (4)/t dVi这说明，只：要知道计算能量函数对输出v；之偏导，就等于写出了第i个放大器的动态方程。

可以证明，对于离散函数和连续型Hopfield网络，其能量函数都是单调下降的，当系统收敛到稳 定 点 ：0 时 ，能 量 函数 达 到 极 4、点f， ：0、1， 因此，Hopfield网络具有自动求极值的功能 。

2 基于Hopfield模型优化的-般流程由于神经网络理论可知，神经网络的能量函数极小点对应于系统的稳定平衡点，因此，如果人为地将优化问题的 目标函数及约束条件构成的增广目标函数，与能量函数相对应，然后通过网络的运行，使能量函数不断下降并最终达到最小 ，从而获得 问题对应的极锈，这就是利用Hopfield网络求解约束优化问题的基本思路。

其-般流程概括为：1)选择合适的问题表示方法，使神经元的输出与优化问题的解彼此对应。

2)构造计算能量函数，使其最小值对应优化问题的最优解。

对这样的无约束优化问题，可采用梯度法求其代公式为： X - AE ( ，九) (6)u >O为迭代步长。式 (6)可看成下面微分方程 的离敌化 ，uk(t)>O：l dxi-Pk(f) (f1 ) 1(7)I (0)X∞求dE/dt，并由式 (7)有：喜 连-喜 1dt dt u(鱼dt (8) 智 智(f)I J式 (8)表明，随着时间变化，由式 (5)定义 的 函数 单 调 减 小 。当设 计 点达 到 稳 定 时(dx /dt：0)，函数达到局部极小点[dE(X，入)/dt0]。因此，E (X，入)就是Lyapunov意义下的能量函数。故可用Hopfield网络求解这个无约束优化问题。

由式 (5)，求饱 / ：善 善 c pmincO，gj c删 (9)由式 (4)、式 (9)，注意此时输出是xic， - af(x)- 芸2/hi( - 。min[O，gj(驯 0o)将式 (10)等号右边与式 (10)等号右边对照，即可找到Ti、Ii。求解动态方程式 (10)直到收敛即获得最优解。

第35卷 第5期 2013-05(上) [1111 -， -务l 匐 化3 内燃机缸盖螺栓的最可靠优化设计螺栓的可靠优化设计的已知条件为：螺栓受力、螺栓材料、垫片材料等，并假设设计变量、材料强度是随机变量且服从正态分布。按最小重量原则，求出在保证预定可靠度R的条件下的螺栓尺寸与数量。优化数学模型为：求 XIx1，X2 z，d1] (z为螺栓个数，d1为螺栓卸)minf(x)W≈1.1z2Zp/4(L为螺栓当量长度，-般L-5.2dl，p为螺栓材料密度)S.t. - - - - 螺栓静长度约束 g ( )了- -1≥0、/z，lo o)螺栓疲劳强度约束g：( ) -1≥0、/ ( 二crL)螺栓联接紧密性约束 g，( )：D Lo-1≥0g4( )：1-riD>0zf mi原 始 数 据 为 P(P， )(12MPa，0.6MPa)，D(D， 。)(80mm，1.6mm)螺栓材料40Cr，屈服强度S( )(900MPa，63MPa) ， 疲 劳 极 限S S ， (85MPa，6.8MPa)，螺 栓 组 可 靠 度Rs 0.9999，假定螺栓应力按正态分布，正态概率密度R值查正态分布表得uR4.5。

表1 螺栓优化结果神经网 常规 神经网 常规 设计方式 设计方式络优化 优化 络优化 优化Di/mm 9 10 g2(x) O.10 O.11Z 11 9 g3(x) 0.27 039f(x)/kg 2.81 3.15 甑(x) O.O48 .0.047gl(x) 1.O5 1.061121 第35卷 第5期 2013-05(上)从表中可以看出，神经网络的优化结果比常规优化稍好，这-方面说明神经网络优化是可行的，同时说明该问题存在若干局部最优解，从而导致优化结果不唯-。

4 结论用Hopfield网络优化方法获得的最优解是否就是全局最优解呢Hopfield网络能用于优化计算，是基于这样的结论：1)网络是稳定的，网络最终会收敛到渐近平衡点；2)渐近平衡点敲是能量函数的极小点。然而，利用Lyapunov方法构造的能量函数，并不能保证其极小点就是应对优化问题的全局最优解，网络优化的最终结果很大程度上依赖于网络的参数 ，并且有时还会使结果跑到可行域之外。因此，用Hopfield网络用于优化计算，也存在不足之处。