机器人关节短筒谐波减速器接触计算与分析

Contact Analysis for Short Harmonic Reducer in Robotic JointsZOU Chuang ，TAO Tao ，MEI Xuesong ，LU Jiangwei。，JIANG Gedong (1.School of M echanical Engineering，Xian Jiaotong University，xian 710049，China；2.State Key Laboratory forManufacturing Systems Engineering，Xian Jiaotong University，Xian 710049，China；3.Department of PrecisionInstruments and Mechanology，Tsinghua University，Beijing 100084，China)Abstract：To revea1 contact stress and deformation distribution of short harmonic reducer inrobotic joints under different loads，an unloaded surface to surface contact finite element modelbetween flexspline and wave generator is established.The boundary condition of the engagementbetween flexspline and rigid spline is evaluated according to the experformula. The stress and deformation of the flexspline are solved bygradient method，and the relationship with varying loads are analyzedmental engaging forceprecondition COnj ugateIt iS found that thedeformation and stress increments on the flexspline ring cross section increase geometrically withheightened load， and the distributions of the deformation and stress increments remainunchanged.The conclusions are compatible with the cases of unloaded flexspline deformation，flexspline destruction and axial stress distribution under load。

Keywords：robotic joint；short harmonic reducer；contact calculation工业机器人关节减速器常采用短筒谐波减速器Ⅲ，而这种减速器最突出的问题是可靠性和使用寿命不理想。在我国，谐波传动的平均无故障工作时间较短，难以满足机器人现场长时间工作的要求。

收稿 日期：2012-10-22。 作者简介 ：邹创(1988-)，男 ，博士生；姜歌东(通信作者)，女，教授，博士生导师。 基金项 目：国家 自然科学基金资助项目(51175400)；长江学者和创新团队发展计划资助项目(IRTI172)。

网络出版时间：2013-03-11 网络出版地址：http： /kcms/detail/61.1069.T.20130311.1749-005·html第 5期 邹创，等：机器人关节短筒谐波减速器接触计算与分析谐波传动的主要失效形式是柔轮 的根部疲劳断裂和齿面磨损，而机器人变负载的运动工况加剧了这种情况 的发生 ，因此对短筒谐 波减速器进行不同负载情况下的接触分析有着重要的意义。

有限元 法是 研究谐 波 齿 轮 的- 种有 效 方法 ，KIKUCHI等人计算了柔性轴承受力、柔轮变形及齿根应力分布，但没有考虑载荷变化对计算结果的影响[2]。张世民在 2个对称轮齿上施加 了不同大小的力偶来模拟变化的啮合力，但却无法体现出谐波传动多齿啮合的情况3]。薄书信选用了更好的具有确定啮合范围的边界条件，但没有进行柔轮在不同负载下的接触分析l4]。吴伟国等人建立了柔轮和刚轮啮合齿 对模型，其接触被定义为柔体-柔体接触 ]。OSTAPSKI等人对柔轮进行了有限元分析比较 ，但柔轮被等效成 了圆环，与 实际情况相差 较多[6。]。高海波等人分析 了杯形柔轮结 构参 数以及热等外部条件对柔轮应力的敏感度，但没有考虑载荷 因素 J。

综上所述 ，由于对不 同载荷下短筒谐波减速器的受力及变形情况的研究较少 ，因此无法反映出实际机器人工况对谐波减速器性能的影响 。本文通过建立短筒柔轮和波发生器接触有限元模 型 ，计算 了不同载荷下啮合力的分布边界条件，通过求解，分析了柔轮应力和变形与所受载荷之 间的关 系及变 化规律。

1 有限元建模及求解1.1 谐波减速器的几何模型本文建立的短筒谐波减速器柔轮结构的几何模型如图 1所示，几何参数如表 1所示。其中，减速器齿圈截面d ：齿顶圆直径；d ：柔轮筒壁外圆直径；drb：柔轮内径 ；bl：齿圈前沿宽度；b，：齿圈宽度；Rl：齿圈前沿与筒体过渡圆角半径 ；R2：杯底与凸缘圆角半径；Rs：齿圈后沿与筒体过渡圆角半径；L：筒长；H：凸缘厚度；d ：端凸缘直径； ：柔轮筒壁厚度图 1 短筒谐波减速器的柔轮结构示意图的长径 比 e-0.5，速 比 -100，齿轮模数 m-0.3mm，弹性模量 E-206 GPa，泊松 比 -0.3，材质为30CrMnSiA。减速 器 为 凸轮式 波 发生 器，宽 度 为10 mm，长轴半径为 3O.2 mm，短轴半径为 29.8 mm。

表 1 短筒谐 波减速器柔轮结构的参数 mm先 在 PRO/E5.0软件 中建立柔 轮和波发生器的三维模型，然后将三维模型导人到 ANSYS软件中进行计算和分析。

1.2 网格划分对柔轮进行 网格剖分时，选择 ANSYS软件 中可以模拟大变形的实体单元 ，为了减少网格数 目，将柔轮整个拓扑结构分解为规则 (简体)部分和非规则(轮齿)部分。规则部分采用扫略网格剖分技术，网格为 8节点的 Solid185六面体单元，非规则部分采用 自由网格 剖分技术 ，网格 为 1O节 点 的 Solid187四面体单元，并应尽量避免采用退化单元。

为了确定合适的网格数 目，分别在粗网格和细网格下进行了多组计算，最后确定取 106 907个单元网格 ，能够满足求解精度和速度 的要求。

1.3 边界条件定义对柔轮和波发生器的作用面，采用 ANSYS软件中的面-面接触单元进行接触分析，在定义接触对时 ，把波 发 生器 外 环面 定义 成 刚性 目标 面，选用Targetl70单元 ，把柔轮内环面定义成接触面，选用Contact174单元，将接触摩擦系数设为 0.O1 E，并将柔轮凸缘处内环面在 z、Y、 方向的自由度全部固定 。

如图 2所示 ，刚轮作用在柔轮上的啮合力不仅与传递的扭矩有关 ，还与轮齿啮合区域的大小有关 。

在定义柔轮负载边界条件时 ，啮合力 的分布 由实验得到[10-11]。

根据实验，如果近似认为 。- 。，则在 所在的区域内，载荷具有下列近似关系qtqt，maxcosEn(- 1)/2p]1 q - qttana J 上，同理，在 s所在区域内，载荷有下列近似关系qt：qt，maxcosL7c( - 1)/293j 1q - qttana J2 ) ( )式(1)、式(2)即为刚轮和柔轮的啮合力方程。

http：f http t f zkxb.xjtu.edu.crl西 安 交 通 大 学 学 报 第47卷p1：对称轴 cC 相对于波发生器长轴位置AA的角度； 2、 ：啮合区的左、右角度；q ：啮合切向载荷；q ：啮合径向载荷；a：齿形角；g：啮合力图 2 柔轮 的受载分布如果柔轮承受 的力矩 为 T，则 T和 q ， 的关系为T-4j (鲁)2‰xcos[ - z(3)q . -7T/(2 2d；b ) (4)式中：d 为分度圆直径。由于式(1)～式(4)的啮合力均为连续分布 ，而实 际柔轮只有轮齿-侧受到啮合力的作用，因此需要将连续分布的啮合力进行离散化处理。

将齿圈上有力作用的区域分段积分 ，每段长度是-个齿距 。假设-个齿距 的两端分别对应 和，则作用在这个齿上的切向力和径向力分别为， - (鲁)qt，maxCOS( )d ㈣f f tana (6)啮合 区的大猩以通过波发生器的外形与柔轮内圈形状得到-个近似值，通过计算，近似确定 -40。。

将由式(5)、式(6)定义的啮合力函数离散加载到各个节点上 ，其他边界条件与空载时相同，设置好边界条件后的柔轮模型如图 3所示。

轮齿啮合区域图3 负载情况下柔轮的有限元模型1.4 有限元求解计算为了减锈题规模，提高计算速度和精度，在http：//SYS软件中选择前 置条件共轭梯度法 ，并设 置足够大的步长和平衡迭代步数。由于在谐波减速器中，柔轮是最薄弱的环节，因此本文主要对柔轮在不同载荷下的变形和应力计算结果进行分析。柔轮的受力及变形是波发生器的挤压和与刚轮啮合共同作用的结果 ，因此先对空载情况进行求解 ，得 出在波发生器作用下柔轮的变形和应力分布 ，然后在此基础上再施加不同啮合力 ，求解 出柔轮在不 同负载下 的变形与应力分布。

2 空载下柔轮的接触分析2.1 柔轮的变形分布规律如图 4所示 ，空载柔轮筒体的等效变形量 C 与到柔轮杯 口的轴向距离 S基本呈线性关系，距柔轮杯口越远 ，变形量越小，这与文献[-12-I的实验结果是- 致的。柔轮长轴和短轴方 向的变形量 比较大，且长轴方 向的变形量略大于短轴方 向的变形量，最大变形点位置在筒体杯 口长轴处，最大变形量为0.285 2 mms/mm图 4 筒体外壁沿轴向的变形曲线根据多次求解的结果发现，在垂直于轴向的截面中，距离杯 口 1 mm 处为柔轮应力开始发生明显增大的位置 ，定义为筒体前截面；11 mm 处为柔轮取得最大应力值的位置 ，定义为齿圈截面；15 mm处位于柔轮齿圈后端 附近 ，会产生齿 圈与筒体过渡时的变形和应力的变化，定义为筒体后截面。

由图 5可以发现 ，3个截 面的柔轮变形量均呈十字花型对称分布，等效变形量的最大点均在长轴方向，等效变形量的最小点均在与短轴夹角45。处，波发生器旋转-圈 ，柔轮上-点 的变形要从大到小波动 4次。简体前截面变形量最大，为0.277 3 ram；筒体后截面变形量最小 ，为 0.160 7 mm。

由图 6可以发现，柔轮 3个方向的变形符合余弦分布，径向变形和轴向变形正向的最大点在波发生器的长轴处 ，负向的最大点在波发生器的短轴处，而周 向变形 正 向的最大 点在与短轴夹 角约正 45。

轮齿啮合区域西 安 交 通 大 学 学 报 第47卷应力基本处于同-数量级，最大值约为 40 MPa；齿根处的等效应力无论在波发生器长轴处还是短轴处，都与周向应力接近，因此齿根处的应力主要撒于周向应力，即齿根处主要承受周向的弯曲应力。

3 柔轮承载分析根据空载、承载应力与变形的计算结果，发现在承载情况下，柔轮 的变形和应力最大值分别为0.283 mm和 679 MPa，相对空载下 的变形和应力变化量还不到空载下的 1 和 5 ，说明柔轮的变形与应力分布最主要的还是撒于波发生器的作用。

3.1 柔轮轴向变形和应力分析如图 10所示，承载后，波发生器长轴处的柔轮变形增量为 AC ，除了齿圈位置的后端外，AC 随着负载变大而减小 ，在筒体前端减小的幅度最大。在齿圈后端过渡圆角处，啮合力的增大使筒体变形轻微增大，基本可以忽略。

0·50·0- 0.5舀-..oq- 1.5- ：N·m- - 15- 》- 3O- --- - 45。 。 。 60.， JI - J5 10 15 20 25 30slFilm长轴处简体外壁的轴向变形增量变化0 5 l0 l5 20 25 30s/mm图 11 长轴处筒体外壁的轴向应力增量如图 1l所示，在载荷作用下，波发生器长轴处的柔轮应力增量 △Pf沿轴向出现了多次波动，从柔轮杯口起应力增量从零值开始减小，当到达齿圈前端时应力增量达到最小值。然后，柔轮应力增量逐渐增大，从负值变为正值，在到达齿圈后端(s10.5 ram)时达到最大。在从齿圈后端到简体末端这-段中，除了在过渡圆角处有小的波动外，柔轮应力增量基本呈下降趋势，直至达到零值，这与文献[14]中柔轮受载实验的结论是-致的。由于波发生器的宽度较齿圈小，当承受负载后，整个齿圈都要承受载荷作用，波发生器的作用又与负载方 向相反，因此齿圈前端部分的应力减小，齿圈后端部分的应力增大。随着负载增大，柔轮应力幅值呈增大趋势，因此过渡圆角对应力的影响在载荷比较大时是不能忽略的。

3.2 柔轮齿圈截面变形和应力分析如图 12所示，在载荷作用下，柔轮齿圈截 面变形沿着切 向力的方 向移动 ，移动角度大约为 45。，但负载的增大仅使柔轮齿圈截面变形增量的绝对值等比例增大，不同的负载并没有引起变形增量分布位置的变化。变形增量曲线的对称轴均在波发生器长轴约±45。处，变形增量最小点均位于从波发生器长轴逆 时针旋转大约 45。处，变形增 量最大点均位于从波发生器长轴顺 时针旋转大约 45。处，在离开波发生器长轴顺时针约 15。和波发生器短轴处，齿圈截面柔轮变形增量均为零。如果将齿圈截面柔轮外圈的变形增量曲线划分为 4个区域 (见图 12)，可以看出，在区域 2和区域 4内，随着载荷的增大 ，齿 圈截面柔轮变形增量呈减小趋势；在区域 1和区域 3内，随着载荷的增大 ，齿圈截面柔轮变形增量呈增大趋势。

波 发 生器 长轴118O2图 12 变载齿圈截面筒体变形增量的分布曲线由图 13可见，在啮合区范围内(距波发生器长轴±40。)，柔轮齿圈截 面出现了锯齿状应力增量.由Ⅱ上负载之后 ，长轴顺时针 4O。范围内的应力增大，4O。到9O。间的应力减小 ，而长轴逆时针 4O。间的应力减小 ，4O。到 9O。间的应力增大，说明载荷的作用同样使应力沿着切向力的方向移动，移动量大约为 20。。关于原点对称的应力增量最大值位于波发生器长轴顺时针10。处，其最小值位于波发生器长轴逆时针-4O。处，而且应力增量曲线呈剧烈变化的锯齿状分布，与空载时的分布是相同的，不同的负载没有改变柔轮应力集中的位置，只是改变了柔轮应力的大校http：/ http：//zkxb.xjtu.edu.cnO 6 2 2 6 葛 、第 5期 邹创，等：机器人关节短筒谐波减速器接触计算与分析 87270。

m 图 13 变载齿圈截面简体应力增量的分布曲线4 结 论本文针对短筒谐波减速器进行 了不 同承载情况下 的接触分析 ，主要得出了以下结论 。

(1)空载情况下，柔轮受到的变形主要为径向变形，齿圈部分为柔轮最容易破损的位置，简体承受的主要应力为周向弯曲应力。

(2)柔轮变形和应力分布主要撒于波发生器的作用。在齿圈截面处，负载会使得柔轮变形和应力分布向啮合力方向移动。

(3)负载的增大使柔轮齿圈截面的变形和应力增量的绝对值等比例增大，但不会引起柔轮变形和应力增量分布位置的变化。