基于灵敏度附加项的多目标可靠性稳健优化设计

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doi：10.3969/j.issn.1005-0930.2013.04.019基于灵敏度附加项的多目标可靠性稳健优化设计张瑞军 ， 邱继伟2， 贾庆轩 ， 王晓伟2(1.北京邮电大学自动化学院，北京 100876；2.山东建筑大学机电工程学院，山东 济南 250101)摘要：以实现多目标优化问题的可靠性稳健优化设计为目标，基于可靠性设计的随机摄动法建立可靠度约束条件，通过对目标函数和约束条件进行灵敏度分析，生成 目标函数和约束函数的灵敏度附加项，建立了两种基于灵敏度附加 目标函数的可靠性稳健优化设计模型；应用 Matlab7.1语言的优化和符号工具箱实现机械零件的稳健设计.算例表明，本文提出的可靠性稳健优化设计方法具有较高的精度和可靠度，为机械零件的可靠性设计提供了理论依据。

关键词 ：优化设计；可靠性灵敏度设计；可靠性稳健设计 ；悬臂梁稳健设计始于20世纪70年代，以日本学者田口光-博士所创立的三次设计法为典型代表，是-门以经济效益、质量设计和管理为目的的技术.稳健设计往往是多目标优化问题，多目标问题早在 1896年由法国经济学家 Pareto从政治经济学角度提出，直到1951年库恩.塔克才提出多目标优化设计问题，20世纪70年代后，多目标优化理论、算法和应用研究有了迅猛发展，近些年来成果更加显著，也逐渐应用于航空航天、精密仪器等实际工程 4。.为满足超精密工件台结构极高的静动性能要求，董立立 等提出了-种基于目标分层的多目标结构拓扑优化方法，并将其应用于超精密工件台关键件的结构优化设计中；为了满足液压机高刚度、轻量化的性能要求，李艳聪-6 等提出刚度和质量驱动的液压机多目标优化设计方法；在汽车车身结构 NVH和侧面碰撞安全性研究中，王平 等运用多目标遗传算法结合多学科协同优化对车身结构进行多目标优化设计，获取 Pareto最优化解集.这些方法只是从均值层面进行了优化设计，并未考虑结构系统中设计参数的不确定性和设计结果的可靠性问题，在-定程度上取得了较优的设计结果，但是优化设计结果的稳健性和可靠度需要进-步验证。

目前在优化设计分析过程中逐渐融合了可靠性设计理论和稳健设计理论，但大多算法 只理论考虑了目标函数对设计变量的均值影响，未考虑到方差，而实质上均值和方差之间紧密联系(二者之比确定了变异系数)，将二者独立并不符合实际.文献[12]中，提出了-种基于设计变量敏感度的高位多目标稳健设计方法，尽管同时考虑了设计变量均收稿日期：2012-07-17；修订 日期：2013-05-06基金项目：国家自然科学基金资助项目(51075244)作者简介：张瑞军(1965-)，男，教授，在职博士研究生.E-mail：zhangruijun###sdjzu.edu.cn应用基础与工程科学学报值和方差的影响，但并未考虑约束条件的不确定性和设计结果的可靠度.本文在设计过程中，同时考虑了均值和方差对 目标函数和约束条件的影响，基于可靠性设计随机摄动技术，针对多目标非线性优化问题，利用灵敏度分析产生的灵敏度附加项，建立了两种基于灵敏度附加目标函数的可靠性稳健优化设计模型，并将该方法引入到弯扭组合悬臂梁结构的可靠性稳健优化设计中，保证其在不消除、不减少不确定性因素的情况下，使不确定性因素对其质量影响的敏感程度最小来实现稳健设计。

1 可靠性设计的随机摄动技术机械结构的可靠度通过计算基本随机变量的X( ) 的联合概率密度函数 ( )在安全区域g(x)>0中的多维积分获得Rl ( ) (1)g(X)为结构失效准则确定的功能函数，且为随机变量X( ： ) 的连续函数，极限状态面g(x)0是-个n维曲面，将 /7，个不定参量空间表示成零部件的两种状态，即g(x)≤0失效域，g(X)>0安全域。

考虑将极限状态函数g( )和基本随机参数 X( ， ： ) 表示如下XXd8X。 (2)g( )gd(X)sg。( ) (3)式(2)和式(3)中，8为-小参数，是根据摄动法抽象出的-个数值，不影响整个方程的推导过程，为方便计算与表达 ，可取 1.含下标 d的部分表示基本随机参数中的确定部分，下标 P的部分表示基本随机参数中的随机部分，要求随机部分远小于确定部分，并且具有零均值。

对式(2)和式(3)两端分别腮值和方差，则有 g(X)]ggd(X) (4)2 Var g ( )Ez]Va椰) (5)式中，Var(X)是基本随机参数的方差向量表达式。

按各基本随机变量 X( 。 ) 分别对极限状态函数 g( )求偏导数，则有 器 (6) a L a1a ， a J 、将式(6)代入到式(5)中，可求得极限状态函数的方差 的表达式，根据可靠性指标定义： ： (7)s Var(g(X)) 。。

在基本随机参量X( ) 服从正态分布的情况下，可靠度 R ( )，式中 (·)为标准正态分布函数。

张瑞军等：基于灵敏度附加项的多目标可靠性稳健优化设计 7792 基于摄动技术法的多目标可靠性优化设计数学模型许多工程实际优化问题往往涉及多目标优化，同时因设计参数较多，所建立的可靠性优化设计模型-般都为高维多目标优化设计问题。

多目标优化设计的数学模型表达式-般表示为，minF( ，Y) ( ，Y)， ( ，Y)， ( ，Y)J S.t. g ( ，Y)≤0 ( 1，2，，m) (8)I h ( ，Y)0 (g1，2，，P)式中 )是目标函数；g( )≤0和h( ，Y)0分别为不等式和等式约束条件； [ ，， ， r和Y[Y ，Y：，，Y。r分别为设计变量和预先设定的参数向量。

对于系统结构的 阶失效模式，暂不考虑各失效模式的相关性，仅以结构或者元件各失效模式的可靠度作为约束条件，进行可靠性优化设计.根据各失效模式建立其失效极限状态方程，应用第-节中可靠性设计随机摄动技术，求得各失效模式下的可靠度指标卢 ( 1，2，，W)；若给定系统结构的可靠度 风 ，则可以求得对应的可靠度指标 。

( )；进而得可靠度指标约束条件卢0-卢 ≤0 ( 1，2，， ) (9)则基于随机摄动技术的多目标可靠性优化设计可以用以下数学模型n 表示minF(x，Y) ( ，Y) ( ，Y)， ( ，Y)， ( ，Y)S.t. gf( ，Y)≤0 (i：1，2，，m)hq( ，y)：0 (g：1，2，，p) (10)卢0-卢 ≤0 ( 1，2，， )3 基于灵敏度分析的可靠性稳健优化设计方法3.1 可靠性稳健优化设计概念可靠性稳健优化设计以可靠性设计、优化设计、灵敏度设计和稳健设计为基础，能使产品的性能对在制造期间的变异或使用环境的变异不敏感，并使产品在其寿命周期内，不管其参数、结构发生漂移或老化(小范围内)，都能持续满意地工作的-种设计方法 引。

可靠性稳健设计把可靠性灵敏度融入优化设计模型中，将可靠性稳健设计归结为满足可靠性要求的多目标优化设计问题，此方法可以使产品在经受各种因素的干扰下，能保证其可靠性的稳定性，以使产品的可靠性对设计参数的变化不敏感。

3.2 基于灵敏度附加项多目标可靠性稳健优化设计模型普通优化设计中目标函数仅在随机参数均值处取值，没有考虑随机方差的影响；在约束条件中，也只考虑均值的灵敏度约束，同样没有考虑随机方差的灵敏度，所以优化设计并不能保证设计的稳健性，由上节可靠性稳健设计的概念，可看出可靠稳健设计同时包括了可靠性设计、优化设计、灵敏度设计和稳健设计，从而能保证设计结果的设计质量、安全性和鲁棒稳定性。

本节基于上述多目标可靠性优化设计数学模型，加入灵敏度分析产生的目标函数和780 应用基础与工程科学学报约束条件的附加项，构建两种基于灵敏度附加项多目标可靠性稳健优化设计模型。

3.2.1 灵敏度附加项产生两种附加目标函数 令z：[ ，Y] [ ，z ，， ] ，若只考虑目标函数对不确定参数变化程度的影响，则目标函数基于灵敏度分析的附加项定义如下 [∑ ( ) (奶) ] (r1 2”， ) (11)同时考虑目标函数和约束条件对不确定性参数的灵敏度，则目标函数的附加项定义如下砉 y 砉q圭l鲁 y，) cr砉 叫 ( (12)式中，c c 、c，为 等式 右边 3项 的权重 系数，具 体 取值 参 照 文献 [12]，高誓( ，)) 1 为目标函数的灵敏度附加项；[j壹l薹誓( ，y) ] 为不等式约束函数灵敏度附加项；f∑窆f ( ， )l( ) 1是等式函数灵敏度附加项。

，1口1 L dz J3.2.2 灵敏度附加项产生附加约束函数 对第 i个不等式约束函数基于灵敏度的表达式如下g ( )∑l 1. ≤0 (13)J 1 I l对第q个等式约束函数基于灵敏度的表达式如下)q圭l ≤ (14)式中， 为第 个名义变量 g-#A；I I和I I为原优化问题第 个不等式约束函数和第q个等式约束函数对设计变量的灵敏度， 为非零小量。

3.2.3 产生两种可靠性稳健优化设计模型 针对工程实际中多目标优化设计问题，以随机摄动技术建立可靠度约束条件，基于上述目标函数和约束函数的灵敏度附加项，建立两种可靠性稳健优化设计模型。

模型 1只考虑目标函数对不确定参数变化程度的影响minF(x，Y)；fl( ，y)，fl1( ，Y)√ ( ，Y)√ 1( ，Y)，，( ，Y) 。( ，Y)， x，Y) 。( ，Y).sj主l毫l ≤卢。-卢 ≤0No，4 张瑞军等：基于灵敏度附加项的多目标可靠性稳健优化设计模型Ⅱ同时考虑目标函数和约束条件对不确定参数的灵敏度minF(x，y) ( ，y) 2( ， ) ( ，y) 2(戈，)，)，，( ，Y) ( ，Y)， ( ，Y) ( ，Y)，s 高J塞l ≤- J8 ≤04 弯扭组合悬臂梁结构可靠性稳健优化设计4，l 悬臂槊结构可靠性优化设计悬臂梁结构在承受弯扭组合作用下，力学模型简化及其截面尺寸如图1所示硼 - f冈图1 承受弯扭组合作用的悬臂梁及截面尺寸Fig，l Cntilever and the cross-sectional dimension under the action of bending-torsion combination(1)设计变量和预先设定参数向量梁截面的宽6、高 和厚t为设计变量，载荷F、梁长 、扭矩 、剪切弹性模量G、弹性模量 和材料屈服极限s为预先设定参数向量，则基本随机参数向量为X车[ l X3 蜀 X7 X8 蜀]T[6 t h F T G E s]下(2)目标函数考虑到悬臂梁的制造成本，在满足可靠度的前提下使得梁截面体积最小，即目标函数)2t(b -2t)(3)约束条件悬臂梁结构除受几何约束外，因承受弯扭组合作用，所以还存在3种失效模式，即强度失效、位移失效和角位移失效，也就是刚度、强度约束条件：1)几何尺寸约束gl( )2t-b； g2( )0.0055-t； g3( )2t-h2)强度约束条件要求左端截面危险点的最大应力小于悬臂梁材料的屈服极限s，由第四强度理论可得g4( )S- S- t hb 2 tt 3t丽2t h 752 tb h2 (-) (6- )(-f)2J tu J(-f)( -f)J应用基础与工程科学学报3)位移约束条件要求右端的最大垂直位移应小于许用位移 。

， 、 2FLgs(x) To- To- 而 4)角位移约束条件扭转角应小于许用扭转角g ( )60- 60- 吾 二对于给定机械结构的可靠度 ，则可以求得对应的可靠度指标 。(尺。)；假设各失效模式相互独立，在3种失效模式下要求悬臂梁系统可靠度指标 ≥ ，可近似使各失效模式下的可靠度指标卢 ≥ ，最后以3种失效模式下的可靠度乘积近似作为结构系统可靠度，利用式(2)将强度、刚度和角位移条件转化为可靠度约束条件，即 -卢 ≤0( 1，2，3)。

综上建立悬臂梁结构可靠性优化模型为minf( )g (X)≤0， (i1，2，，m)- ≤0， ( 1，2，3)4.2 可靠性稳健优化设计计算利用3.2节中建立的基于灵敏度附加目标函数的两种可靠性稳健优化设计模型，将上述悬臂梁结构的可靠性优化设计转化为可靠性稳健优化设计，附加目标函数和约束函数将上述单目标问题转化为多目标优化设计问题，这些目标可能相互影响，甚至有可能相互冲突，很少有单-目标的绝对最优解，因此本文引用文献[16]的求解方法，结合多目标Pareto解集的求解思想和蚁群算法的优势，搜索到符合 Pareto最优解集的解。

4.3 数值算例悬臂梁材料特性的前两阶矩统计值如表 1所示。

表1 悬臂梁参数的取值Table 1 Parameter values of cantilever可以认为基本随机变量是服从正态分布的相互独立的随机变量，截面尺寸为加工尺寸可认为服从正态分布，取变异系数 c0.005，同时垂直方向许用位移 。0.02m，扭转的许可角位移 0.2，悬臂梁结构各失效状态下的可靠度指标JB：mi .截面尺寸的初始值取b75mm，h125mm，t5mm，利用本文方法得到的两种可靠性稳健优化设计结张瑞军等 ：基于灵敏度附加项的多 目标可靠性稳健优化设计 783果分别与单目标优化设计、可靠性优化设计结果对比如表2表2 优化结果对比Table 2 Contrast of optimization results! 竺竺 ! ： 壁 旦单目标优化设计 69.35 130.83 5.00 1901.83 1.0177 6.9643 0.7331 0.7331单目标可靠性优化设计 8O.22 142.15 5.O0 2123.70 4.1543 1I.6889 2.9998 2.9998模型 I 85.48 125.27 5.53 2207.68 3.2089 8.7327 3.1229 3.1229模型Ⅱ 85.34 125.60 5.53 2209.77 3.3047 8.9207 3.1475 3.1475由表 2可知：(1)单目标优化设计并未考虑悬臂梁结构的可靠性指标，从设计结果可以看出，只有刚度条件满足可靠性指标要求，强度和角位移条件均不满足可靠性要求；而单目标可靠性优化设计强度、刚度和角位移条件均满足可靠性要求，但是 、 值较大，设计结果稳健性不高；(2)本文两种模型与单目标可靠性优化设计方法，计算结果基本-致，能有效验证本文所建模型的正确性和有效性；通过两种方法得到卢 、卢 和 对比可以看出，本文方法更接近于设计要求可靠度 ，所以本文方法比可靠性优化设计方法更稳健；(3)模型 I和模型Ⅱ的结果对比可以看出，稳健设计结果具有高度-致性；该结果-方面验证了两种模型的正确性，另-方面也证明了模型 Ⅱ同时考虑 目标函数和约束条件的灵敏度附加项，比模型I仅考虑目标函数灵敏度附加项所得结果更稳健更可靠.对于多目标函数和多约束函数且非线性化程度较高的工程实例，模型Ⅱ计算相对复杂，若无特殊要求，选择模型I就能保证设计结果的可靠性和稳健性且计算也相对简单。

5 结论本文基于可靠性设计的随机摄动技术，针对多 目标非线性优化问题提出两种基于灵敏度附加目标函数的可靠性稳健优化设计方法，同时考虑了目标函数和约束条件对不确定参数的灵敏度，所以具有高可靠度和高稳健性的优点；在弯扭组合悬臂梁结构的可靠性稳健优化设计中，通过与普通优化设计结果相比较，显示出本文设计方法在-定程度上提高了弯扭组合悬臂梁结构的设计质量、安全性和鲁棒稳定性；由于同时考虑了设计变量的均值和方差对目标函数、约束函数的影响，所以使得设计结果更符合实际，更合理也更科学.该设计方法对于其它机械结构机构的优化设计也有-定的参考和应用价值。