球笼式等速万向联轴器强度设计缺陷的回归辨识

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Regression identification for strength design defect ofrzeppa constant velocity j ointLO Gang 。FAN Shou-wen(1.School of Mechatronics Engineering，University of Electronic Science and Technology of China，Chengdu 611731，China；2.State Key Laboratory of Mechanical Transmission，Chongqing University，Chongqing 400030，China)Abstract：Part strengths of complex mechanical products are influenced by many factors，relation-ships between part strengths and these influence factors are very complex，it is usually difficult tobuild analytical mathematic models for relationships between them，this brings many difficultiesto identify strength design defects of complex mechanical products.Taking rzeppa constant veloc-ity joint(RCVJ)as the research object，the contact stress between inside and outside channel ofRCVJ was treated as a basis for determining strength of RCVJ，the historical design parametersfor the previous design schemes were treated as dependent variables，the regression equations be-tween contact stress and its influence factors were established，by analyzing regression equation，the influences of various factors on the strength of inside and outside channel were derived，themaximum fitting errors for various influence factors were also calculated from regression equa-tions.Design parameters of new design schemes were introduced into regression equations，thenthe differences between the regression equation outputs and the design parameters were compu-ted，by contrasting with the maximum fitting errors，the design defects on strength of RCVJwere identified，design quality and design efficiency were improved effectively。

Key words：mechanical product；strength；design defect；regression identification机械产品的设计缺陷严重影响着机械产品的质 量、可靠性与安全性.如果在机械产品设计的初期，收稿 日期 ：2012-08-30。

基金项目：国家自然科学基金资助项 目(51175O67)；机械传动国家重点实验室开放基金资助项 目(SKLMT-KFKT-201010)；流体动力与机电系统国家重点实验室开放基金资助项目(GZKF-201029)。

作者简介：吕刚(198O-)，男，山西潞城人，博士生，从事可验证设计研究，E-mail：lvganglll4###163.com。

第 3期 吕 刚，等：球笼式等速万向联轴器强度设计缺陷的回归辨识就能辨识 出机械产 品中的设计 缺陷，则不仅有利于提高机械产品的设计效率，而且有利于提高机械产品的质量 、安全性与可靠性。

机械产品零部件的强度是影响机械产品性能和质量的重要因素 ，零部件之间的接触应力是衡量机械产品强度的-项 重要指标.在影响接触应力 的因素中，-些影响因素可以通过建立数学模型来表达 ，而另-些影响因素通过数学模型不能完全表达.如果在零部件的设计初期将这些影响因素与接触应力作定量的分析，通过分析历史设计方案中零部件设计参数的规律，并将其作为判断新设计方案中零部件设计缺陷的依据，将有助于提高机械产品零部件设计缺陷辨识的准确性与可靠性。

国内外学者在机械产品零部件设计缺陷的研究方面取得了-些有价值 的研究 成果.刘胜 吉、李 晓东[1]针对 186FA柴油机油量校正器设计计算存在的缺陷，依据各设计参数与柴油机速度特性、喷油泵速度特性性能指标的关系，给出单缸柴油机油量校正器新的设计计算方法；戴杰涛、张清东[2]针对冷轧过程 中常见的浪板形缺陷，建立其产生全过程的屈曲及后屈曲变形的解析计算的力学模型和求解方法 ，并通过实验证明了该模型与求解方法的正确性 ；Titomanlio等l3 研究了注塑模模内的收缩率并使用热弹性模型分析出注塑模的残余应力是导致注塑模模内出现缺陷主要因素 ；刘桂华、赵培峰 利用有限元数值模拟研究了楔横轧工艺参数及二次轧制中不同变形量分配对轧件内部空心缺陷的影响；黄华贵、杜凤山 以大型 Cr5钢支承辊锻件为对象，结合硬质夹杂物周围基体金属流动规律、应力应变分布和物理模拟试验结果，对夹杂性裂纹缺陷的形成机理进行了分析 ，并给出了砧宽 比和 V形砧夹角对缺陷形态的影响规律。

回归分析可定量分析各个因素对因变量 的影响程度，并通过回归方程预测各因素对因变量的影响。

机械产品的整体性能受到多因素影 响，采用 回归分析方法可有效分析各个因素对整体性能的影响程度.李恩颖 、王琥[6]针对高强度钢的应变率效应会对汽车件碰撞性能产生影 响等问题，采用基于最小二乘支持向量机回归技术的近似模型算法获全确的材料参数保证了汽车碰撞计算机仿真结果可靠性；常英杰 、陆宪忠[7]利用偏 最小二 乘 回归 方法 建立Co 和 C0分析仪线性化有效预测模型，并将该建模方法应用于发动机 排气分析仪的线性化建模 ，提高 了排气污染物的测量精度 ；王细洋、孑L志高[8 采用自回归模型拟合正常齿轮振动的时域同步平均信号 ，该回归模型能有效诊断出齿轮轴出现的破损 ；王晶、靳其兵[9 提出了面向多输人多输出系统的支持向量机回归和非线性回归方法，提高了小样本数据模型的训练速度。

以上研究通过建立零部件各设计参数与其约束条件的数学模型来修正零部件设计计算存在的缺陷或通过分析构件产生缺陷的机理来消除缺陷，但在机械产品零部件设计 阶段 ，复杂机械产 品零部件的性能与其影响因素的关系复杂且零部件的部分设计参数值为设计者的经验值而非理论计算值，在零部件设计参数的验证阶段，难以通过建立数学模型来完成验证工作.虽然通过实验可确定零部件性能指标与其影响因素之间的关系，但由于实验数据的离散性 ，确定两者之 间的关系需进行大量的实验。

本文将机械产品零部件设计中出现的影响零部件强度的不合理的参数设计作为设计缺陷”，采用同系列零部件的历史设计方案中的设计参数作为样本建立回归方程，通过回归方程的求解及与零部件设计方案中的设计参数的对 比分析，实现了零部件强度设计缺陷的辨识。

1 强度影响参数的回归分析模型在对机械产品零部件的设计缺陷进行验证时，可利用历史设计方案的设计数据建立零部件设计的回归方程 ，并使用回归方程检验新 的设计是否存在设计缺陷.该方法既可以研究各影响因素对零部件性能的影响程度，又可以分析出零部件性能指标达不到设计要求时受到哪些影 响因素的制约 ，从 而为改进设计提供依据。

将影响零部件强度的因素作为自变量，将零部件强度设计要求作为因变量，可得回归模型Y - bo b1 n b2z b(，r1) ( 1) ，(1)式 中： 为强度设计要求量(因变量)； ，，z为影响 Y 取值 的影响 因子 ；b。， ，b 为 回归 系数 为拟合误差项.如果 Y为设计要求的-组数值，Y 为其中某个设计要求值，由式(1)可推出如下矩阵方程：Y ×l- m× 6 x1 8 ×l， (2)式中： 为满足设计要求 的设计方案数，Y -( 1， ，Y ) ， ×1 - ( b0， ，b( -1)) ， 8 ×1 (e1， ， ) ，Xmn ：：1 z111 211 z l1 z lZ 1( 1)X 2( 1)X i(" 1)Z (H-I). (3)工 程 设 计 学 报 第 2O卷式(3)是零部件设 计缺 陷回归分析 的理 论模型，实际产品开发过程中多数新零部件是在前-代零部件的基础上改进而来 ，因此回归方程中的影响因子个数会相应地增加或减少，采用文献[10]提出的编码方案对样本数据进行编码 ，在编码空间中通过 z- 厂(2)可将式(1)改写为- b。∑b ∑ z ， (4)i 1 k

由于在编码空间数据具有正交性，且数据分布符合正态分布，因此 z 均值的期望为 0，Y 均值 的期望为E( )- E(6o b z )：：b。. (9)上式表明b。是 Y 均值的无偏估计 ，因此可用 b。

联立式(8)、式(9)可得影响因素的偏差平方和s 的计算式，S -∑(多 - ) -∑(60biz -b。) 1 i 16 ∑( ) -b (bl∑ (z ) )-1 i1 (10)b (bid )- blB ，式中：s 为自变量z 对应的回归值 与因变量Y 的样本值的均值的偏差平方和(即影响因素的偏差平方和)，b 为影响系数(即回归方程的系数)。

在 回归方程的检验中，回归系数检验 的作用是剔除次要 的影响因素项或交互项 ，显著性检验的作用是检验拟合方程式是否能显著地反映样本的规律 ，失拟检验的作用是检验方程式所表述 的曲线关系是否最优.在进行回归模型的检验时总 的偏差平方和 5的计算式为S-∑( -y) -∑[( -Y )( - )] ∑( - ) ∑( - ) 1 i 1C- -、 - - - 2 ( - Yi)(Yl- Y)- 1∑( - ) ∑( - ) i 1 i： 12[∑( - )多 -∑( - ) ]， (11)式中：∑( - ) 为残差平方和S ，∑( ～ )1 i 1∑- ∑第 3期 吕 刚，等：球笼式等速万向联轴器强度设计缺陷的回归辨识 ·221·为回归平方和 S .依据最小二乘原理样本值与拟合值的离差总和为o(N∑(弘- )-o)，因此总偏差平方和 S- S S 。

在进行失效性检验时误差平方和 S。的计算式为S。-∑( 。 -y-。) ， (12)式中：Y。 为零点处样本的取值， 。为零点处样本的均值。

回归方程的系数检验式为> 1)， (13)式 中：S 为偏差平方和 ，S。为误差平方和， 。为零点处样本的取值个数 ，Fo(1， 。-1)为 0t水平下 自由度为(1， 。- 1)的 F分 布值 ，a为拟 合误 差 的置信度。

回归方程的显著性检验式为> (nR7/- nR- 1)， (14)式中：S 为回归平方和，S 为残差平方和 ，7"Z为样本的总数，n 为影响因素的个数(即自变量的个数)。

回归方程的失拟检验式为二 ；

1.2 设计参数的回归分析在机械产品零部件的设计开发中，同-类零件的设计是建立在对这类零件历史设计方案的改进和衍生基础之上，因此前期零部件的设计参数呈现的规律可用来预测和推断后期零部件是否存在设计缺陷，而这种推断和预测是建立在零部件具有相似结构或相似功能基础之上的。

机械产品零部件设计缺陷的回归分析是将前期零部件的设计方案数据拟合为 曲线 ，通过 比较后期零部件的设计参数拟合曲线与前期数据的拟合曲线的差异来判断零部件是否存在设计缺陷，也可以依据零部件之间约束方式相似拟合曲线相似的原则，通过判断后期零部件的设计参数与前期零部件设计参数的拟合曲线的偏差程度来判断后期设计是否存在设计缺陷.本文采用后-种方法进行 回归分析 ，如图 1中的 曲线是前期零部件设计参数的回归曲线，误差带是曲线拟合的误差，即式(1)中的e 。

图 1 设计缺陷回归分析示意图Fig.1 Description diagram for regression analysis of de-sign defect在对机械产品零部件进行 回归分析中，因为具有多个自变量，将实际影响因素 值代人拟合曲线得到 值，计算实际取值 Y 与 值的差值平方和的值，通过比较差值平方和与拟合误差 e 来判断后期零部件设计参数离散点相对于前期零部件设计参数拟合曲线是否存在设计缺陷，判别式为S - Y - Y (z )> max ， (16)式中：.；l (z )为z 拟合曲线值，Y 为零件的实际设计参数值，max e 表示曲线.；， 拟合的最大误差(即图 1中误差带的最大宽度)。

2 设计缺陷回归辩识实例图 2为球笼式等速万向联轴器(rzeppa con-stant velocity joint，RCVJ)的装配爆炸图.球笼式等速万向联轴器设计要求 的主动轴转速高、转矩大，因此钢珠对内外沟道产生的接触应力大，可能引起内外沟道的疲劳点蚀.影 响内外沟道接触应力的因素包括 ：钢球 回转直径 d。、钢球直径 d 、外沟道沟曲率系数 ，与钢球与外沟道接触角 a.由于设计中考虑到加工精度等因素影响，各影响因素的取值与设计手册中计算得到的理论值存在偏差，难以使用数学模型进行分析 ，而 回归分析方法可通过建立内外沟道接触应力与各影响因素的 回归模型，分析和判断出球笼式等速万向联轴器的各设计参数是否存在不满足强度要求的设计缺陷。

1 2 3 4 5l-主动轴钟形壳；2-防尘罩大卡圈；3-保持架；4-钢珠；5-星型轮；6-防尘罩楔圈；7-外沟道防尘罩 ；8-从动轴卡 圈。

图2 球笼式等速万向联轴器装配爆炸图Fig.2 Assembly explosive view of RCVJ工 程 设 计 学 报 第 2O卷本实例的辨识方法为：1)通过对球笼式等速万向联轴器强度影响因素的分析来确定其回归方程的因变量与自变量；2)选取历史设计参数作为样本，并对所选取样本的数据进行正交化处理；3)将设计参数值代入回归方程，通过对 回归方程拟合误差的分析来辨识零部件的设计缺陷。

2.1 球笼式等速万向联轴器的回归模型文中球笼式等速万向联轴器采用六钢球模式，依据设计手册，钢球的直径可由下式计算得到：d (17)球笼式等速万向联轴器的前半轴直径、球笼厚度等设计参数都可由钢球的直径计算得到.联轴器需要传递的转矩 T 、合金钢的弹性模量 E、钢球回转直径 d 与钢球与外沟道接触角 a等设计参数值通过历史设计方案获得 ，历史设计方案 中各设计参数的值见表 1.球窝深度系数 志 与外沟道沟曲率系数 -厂等设计参数用来确定外沟道轮廓曲线，内沟道曲率中心偏心距 h用来确定内沟道轮廓曲线，内外沟道各设计参数标示见图 3。

4 3l-内沟道轮廓曲线；2-外沟道轮廓曲线；3-钢球回转中心；4-钢球回转直径 d ；5-内沟道轮廓曲线曲率中心。

图 3 内外 沟道设计参数示意图Fig.3 Description diagram for design parameters of in-side and outside channel以球笼式等速万向联轴器内外沟道与钢球的接触点在传递转矩达到恒定时内外沟道受到的最大切应力为因变量 ，以影响接触应力 的因素 即钢球回转直径d 、钢球直径 d 、外沟道沟曲率系数 ，与钢球与外沟道接触角 a为自变量，建立回归方程如下：z - b0 b1zl b2z2 b3lz3 b4 4 e ， (18)Y - Co c1z1 C2 2 C3 3 C4.294 ， (19)式中： 为外沟道最大切应力值，Y 为内沟道最大切应力值 ，z 为钢球 回转直径 d ，5C 为钢球直径 d ，z。 为外沟道沟曲率系数f，z 为钢球与外沟道接触角a.由于设计中依据钢球直径计算得到的轴径、星形轮花键外径 等设计参数不是严格意义上 的理论值，需要根据设计要求和加工精度等多因素考虑其设计参数，因此通过式(18)、式 (19)的回归分析 ，可将这些离散的设计参数规律化，通过历史设计方案的设计参数拟合的曲线判断新的设计参数是否符合设计规律，从而辨识出设计中是否存在设计缺陷。

2.2 历史设计参数的正交化设计参数的正交化是为了保证设计参数符合正态分布特征 ，为回归方程的显著性检验提供条件.设计参数的正交化处理，需确定设计参数的水平间隔 ，△ - ， (20)- l式中：k为所取水平数，本文取上水平 、下水平 和零水平三个水平，因此 是的值为 3；△ 为水平间隔；z (-1)为各设计参数值的下水平(即设计参数值的下限)， 。(1)为各设计参数值的上水平(即设计参数值的上限)。

编码公式1。为z -r生二 ]( ，i-1，2，3，4)， (21)i式中：-z 为表2中的z∽z ， 。 ，z ；符号r·]表示向上取整； 。(O)为各设计参数值的零水平 ，即Zo(0)： . (22)依据式(21)对表 1中 d ，d ，f与a对应的设计参数值进行编码可得表 3各设计参数的编码值.如将表 1中d 对应的值 51.4代人式(21)，可得 -z 的编码值为 -1.表 3中 ， 的值为历史设计方案中各样本的内外沟道最大切应力值.由于所选取样本的数据都位于上水平与下水平之间，保证了所选取设计参数的正态分布特性 ，从而避免 了因选取样本不当对回归模型造成的负面影响。

由于表 3数据经过正交化处理，数据具有独立同分布性质，可使用 MATLAB函数库中 regress函数对表 2数据进行回归分析。

2.3 球 笼式等速万 向联 轴器强度设计缺 陷 回归分析通过 rcoplot函数可得到内外沟道拟合误差置信区间仿真结果(见图4、图5)，在a-0.05时，内外沟道各变量 的系数及其置信 区间见表 4，各组样本数据拟合误差及其置信区间见表 5，可得到外沟道与内沟道回归方程为：第 3期 吕 刚，等：球笼式等速万向联轴器强度设计缺陷的回归辨识 ·223·水平值及水平间隔 z 。(钢球回转直径 /ram) z (钢球直径 /ram) 。 (外沟道沟曲率系数 ，).27 (接触角/(。))Ⅱ图4 外沟道拟合误差置信区间序列Fig. 4 Confidence interval sequence of outsidechannel fitted error痫丑样本编图 5 内沟道拟合误差置信区间序列Fig. 5 Confidence interval sequence of insidechannel fitted error工 程 设 计 学 报 第 2O卷表 4 回归系数及其置信区 间Table 4 Regression coefficient and its confidence interval系数 系数值/io 置信区间/lo。 系数 系数值/lO 置信区间/10b。 -1.456 8 [-3.029 6，3.000 5] c0 -7.816 7 [-3.287 7，3.131 4]b1 0.007 3 [-0.076 5，0.076 7] cl 0.165 5 [-0.079 9，0.028 23]b2 -0.027 3 [-0.046 3，0.045 83 c2 -0.118 0 [-0.050 2，0.047 91b3 i.925 9 [-0.117 7，0.156 2] c3 2.327 8 [-O.122 5，O.169 O]b4 0.016 8 [-0.009 3，0.009 6] c4 -0.007 1 [-0.010 1，0.010 O]表 5 样本拟合误差及其置信 区间Table 5 Sample fitted error and its confidence interval样本编号 拟合误差/MPa 置信区间/10。 Y 拟合误差/MPa 置信区间/10。

47.800 00.000 00.000 00.000 047.800 0- 16.355 O425.O65 O- 409.265 0- 95.045 0[-0.503 0，0.599 O]EO.000 0，0.000 o]EO.000 0，0.000 O]I-0.000 0，0.000 o][-0.503 0，0.599 O][-0.896 0，0.864 O][-0.133 0，0.983 O][-0.997 0，0.178 O][-0.962 0，0.772 O]1.O23 30.000 00.000 00.000 01.O23 337.873 3477.O33 3- 412.836 7- - 104.116 7[-0.591 8，0.593 8]EO.000 0，0.000 O]EO.000 0，0.000 o]ro.ooo o，o.ooo O][-o.591 8，o.593 8][-o.897 4，o.973 2][-o.065 o，1.Ol9 1][-1.076 6，o.250 9][-1.026 4，0.818 2]zi- - 14568 73x1 - 273x2 19259x3 168x4 ， (23)Y - - 78167 1655x1 - 1180x2 23278x3 - 7lx4 . (24)通过式(13)至式(15)检验方程 (23)，(24)拟合的显著性可知上述两式能够显著地反映样本的规律，且所表述的曲线关系为最优.现需设计的球笼式等速万向联轴器传递转矩为1 900.000 N·m，依据式(17)计算得到钢球直径 d -9.670 mm，取钢球的直径值 d -10.000 mm，内沟道曲率中心偏心距h-1.200 mm，球窝深度系数 忌。-1.007，外沟道沟曲率系数 L厂-0.520，钢球与外沟道接触角 a40。，钢球回转直径 d。-46.700 mm，将数据代入式 (23)与式(24)计算得到外沟道最大切应力为 2 845.780MPa，内沟道最大切应力为-3 413.940 MPa.历史设计方案的设计参数 中，内沟道的最大切应力约为2 900.000 MPa，外 沟 道 的 最 大 切 应 力 约 为2 800.000 MPa，依据公式 (16)可得外 沟道偏 差约为 56.000 MPa，内沟道偏差约为 614.000 MPa，由表 5可知 z 的最大拟合误差为425.065 MPa，Y 的最大拟合误差为 477.033 MPa，内沟道最大切应力值超过最大的拟合误差值，据此可判断出球笼式等速万向联轴器存在强度设计缺陷。

从式(23)与式(24)可知钢球与外沟道接触角变量 的回归系数较小 ，因此其对 内外沟道 的接触应力影响程度较小 ，可通过修正钢球的直径值、球窝深度系数与重新设计内外沟道来修正设计 中的缺陷.重新设计后钢球 回转直径为 51.400 mm，钢球直径为11.000 mm，外沟道沟曲率系数 .厂和钢球与外沟道接触角a不变，仍为 0.520与 40。，代人式(23)与式(24)求得外沟道最大切应力为 2 915.880 MPa，内沟道最大切应力为 3 184.560 MPa，依据式 (16)可得外沟道偏差约为 16.000 MPa，内沟道偏差 约为385.000 MPa，与表 5中 z 的最大拟合误差进行对比分析，可判定以上设计参数满足强度设计要求。

3 结 论1)提出了机械产品零部件性能指标与其影响因素的多元回归模型，在难以建立零部件性能指标与其影响因素之间关系的解析模型的背景下 ，实现 了机械产品零部件设计缺陷 的回归辨识.通过球笼式等速万向联轴器设计参数 的回归分析 ，验证了设计缺陷回归辨识模型的正确性与有效性。

2)提出了利用历史设计方案中的历史设计数据第 3期 吕 刚，等 ：球笼式等速万向联轴器强度设计缺陷的回归辨识 ·225·来辨识新设计方案 中的设计 缺陷的方法 ，该方法既可研究各影响因素对零部件性能的影响程度，又可以分析 出零部件性能指标达不到设计要求时受到哪些影响因素的制约，从而为改进设计提供依据.球笼式等速万向联轴器强度设计缺陷的回归辨识模型与方法对于其他机械产品零部件的强度、刚度等设计缺陷的辨识具有借鉴和指导意义。