多种随机载荷下的结构动态可靠性计算

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Structural dynamic reliability calculation under three types of stochastic loadsFANG ng，CHEN Jian-jun，MA Hong-bo(School of Electronic＆Mechanical Engineering.Xidian University，Xian 710071，China)Abstract： Stochastic loads were classified into three types of dynamic load accumulation.the one with equalamplitude and obeying Poisson distribution with a parameter of At and the one changing with time and not obeying anydistribution.Under these three conditions，structural dynamic reliability computing formulas were established in cases ofstructural strength without degeneration and that with degeneration by using the stress-strength interference theory and thestochastic process theory.It was shown that the reliability of a structure is gradually reduced with time，not unchanged。

Finaly，three numerical examples were presented to illustrate the proposed form ulas are correct，feasible and practicable。

Key words：stochastic load；structure；dynamic reliability；computation可靠性是产品动态安全性的重要评价指标之-，它与产品的设计、生产、使用和维护等因素密切相关。

传统的结构可靠性模型是基于静态的应力与强度关系建立起来的l。j，这些模型中没有考虑多次载荷作用、载荷变化以及结构强度指标退化等时变因素对结构可靠度的影响。实际上，结构由于振动、冲击、疲劳、腐蚀、老化等外在因素以及-些不确定性的内在因素的共同影响，其可靠性实际上是与时问相关的函数。文献[4]建立了结构抗力退化的可靠度计算模型，采用Monte Carlo重要抽样方法求解时变的可靠度，但是算法复杂耗时，且只考虑-次载荷的情况。文献[5]给出了-种考虑载荷多次作用下零件的可靠性预测模型，但该模型在实际应用时，当作用载荷等幅的条件难以满足时，导致其可靠性的预测结果误差偏大且难以避免。文献[6]给出了随结构时变信息更新的可靠性的有关论述，并利用时变的 Bayes方法求得结构的可靠基金项 目：国家自然科学基金项 目(50905134)；中央高校基本科研资金项 目(JY10000904012)资助收稿 日期：2012-04-ll 修改稿收到Et期：2012-05-25第-作者 方永锋 男，博士生，副教授，1975年生度，这作为对具体问题的-种求解方法切实可行，但文中并未给出相应的随时变的结构可靠性预测模型。文献[7]对结构的动力可靠性问题进行了分析研究，但仅限于作用载荷为平稳随机过程的情况。文献[8-9]研究了机械零部件与系统的动态可靠性，表明零件与系统的失效率也是满足浴盆曲线的，但其中的动载荷考虑为等幅分布的情况。文献[10]研究了多种随机载荷共同作用下结构的动态可靠性问题，所提方法简单实用，但有时会产生较大的误差。

本文在上述研究基础上，研究当载荷随时间变化且结构强度随时间退化时如何进行结构动态可靠性预测问题，考虑随机载荷的加载形式分为载荷累加，等幅且服从参数为 A 的泊松分布，和载荷随时间变化且不服从任何分布的三种情况，利用应力 -强度干涉理论和随机过程理论，分别对结构强度退化情况下的结构动态可靠度进行了预测分析，最后通过算例说明文中预测结果的合理性和精确性。

1 载荷累加时结构的动态可靠性预测设结构在服役期内承受的载荷随着时间不断地累加，将这些累加的载荷记为 ，对应的工作应力记为s第1期 方永锋等：多种随机载荷下的结构动态可靠性计算 119(i1，2，，n)；结构的初始强度记为 rn。

1.1 结构强度不退化或退化不明显的情况对于此种情况，由应力 -强度干涉理论可知，以应力极限状态表示的动态功能函数为：g(x，t)r0-∑si，它为随机向量 (结构的几何尺寸、物理参数、作用载荷等)和时间t的函数。

由-次二阶矩方法，在 t时刻结构处于安全状态即g( ，t)>0的可靠性指标为：to(t)E[g(X， )]/ 厂--- - ( -∑ )/AJ 2。 (1)式中：E，Var分别表示数学期望和方差算子；ke ， 分别是结构初始强度r0的均值与标准差， ， 分别是与载荷对应的工作应力的均值和标准差。

若动态功能函数 g(X，t)服从正态分布，则对应的时变可靠度为：R(t) ( (t))，其中 为标准正态变量的概率分布函数。

1.2 结构强度退化的情况考虑结构的强度随机变量 r随时间退化，且在 t时刻结构的剩余强度r(t)可表示为 ：r(t)r0-(r0-S。)(t/T) (2)式中： 是结构的生命周期，C是材料指数，Js 是结构的工作应力，当结构破坏时5～为工作应力的峰值，此时有：Sp (3)对于此种情况由应力 -强度干涉理论，以应力极限状态表示的结构动态功能函数为：g(x，t)r(t) s r0-(r。- )(t/r) -∑s (4)由式(3)，式(4)可改写为：g(X，t)r(t)-∑5 r0-(r0- s )(t/T) s (r0-∑s )[1-(t/T) ] (5)由-次二阶矩方法，在 t时刻结构处于安全状态即g(X，t)>0的可靠性指标为：( )F[g(x， )]/ 丽 ：厂--- - ( - )/√ 2i∑l (6)式中： ，(0)-[ ，(0)- (1)](t/T) 、 - - 1 1(∥ )c 分别是结构剩余 l，(0) ，(0) ，J J H q，J、强度的均值与标准差， ，(1)， (1)分别为结构剩余强度末的均值与标准差。 分别为载荷对应的应力的均值与标准差。

若结构的动态功能函数 g(X，t)服从正态分布，则结构的时变可靠度为： (t) ( (t))。

2 载荷等幅且服从 Possion分布的结构动态可靠性预测由于在此情况下结构承受的是交变载荷，结构强度不退化或退化不明显的情况很少发生，因此这里主要考虑强度退化情况下结构的动态可靠性。由文献[12]知，Possion随机过程可以用于描述载荷作用次数随时间的变化规律。设 N(t)表示在(0，t)时间隔内载荷出现的次数，N(t)满足如下条件：当t0时，N(0)0；则 N(t)是-个平稳独立增量过程。在此情况下，载荷作用次数 v将服从参数为A 的 Possion随机过程，即：P(N(t0t)-N(to) )( >0) (7) - ， / 、。/当t0时，式(7)可表为：P(，，(f)-Ⅳ(0)：n)： (8)由式(8)，当 t∈[t，t ]时，载荷出现-次的概率为：尸(Ⅳ(t△ )-N(t)1)AAte (9)则在 t 时间隔内结构的可靠度为：R(tAt)R(t)AAte P(( >S )，∈[t，t△ ])R(t)(1-AAte- ) (10)式中：rf为J∈[t，t ]时间隔内的结构剩余强度，其表达式为 r F0-(r0-.s)(丁/ ) ，S 为 7-∈[t，t ]时间隔内的与载荷对应的工作应力。

式(10)可进-步化简为：R(tAt)：R( )R(t)AAte 厂 s)ds-1] (1)式中 s)为工作应力 s的概率密度函数。

从式(11)出发，可得：R(t△ )-R(t)R(t)AAte- (Ar e-Ar.-1)(12). R(t )-R( ) lira- - - - - - - - - - - - - - - - - - - A - Ati (t)Ae [( e -1)] (13)叭 Arte-Art-1) (14)从上方程式解得：R(t)eA r。- - C (15)120 振 动 与 冲 击 2013年第32卷将初始条件 t0、R(0)1代人式(15)，可确定积分常数 C0，把0回代到式(15)中，获得式(14)的定解为：R(t) e (Are-ar-1) (16)该式即为结构承受载荷服从 Possion分布且强度退化情况下动态可靠性预测计算表达式。

3 载荷随时间变化且不服从任何分布的结构动态可靠性假设各时段的载荷是彼此独立的，在难以获得载荷引起的工作应力5服从何种分布概型的情况下，通成近似认为 s服从正态分布。此时可先统计出[0，t]时间间隔内的Ⅳ个载荷的工作应力 s中的最大载荷的工作应力 Js，求出它的分布函数，然后再利用应力 -强度干涉理论求出结构的可靠度。但是，当 Ⅳ很大时难以统计最大工作应力 s 。由渐进分布理论可知，多个独立正态随机变量的最大值将服从最大极值 I型分布，其概率分布函数为：F(Y)exp-exp[-a(Y-0)]，(y≥0)(17)为推导最大极值 I型分布中的分布参数a与0，可借用如下Weibul1分布函数：)1-exp(-( n，( )(18)由概率理论可知，当分布参数 3.313，r/1， - 1，Weibul概率分布函数 F(z)1-exp(-Z3 ”)，( ≥0)近似为标准正态分布。故令：xlnZ， In(e1)，则有 ：P ≤tPz≤e 1-exp(-(e 1)) n1-exp(-exp(1ne 1)。-。”)·-exp(-p )1-exp(-exp(3.313x)) (19)这样可得到 Ⅳ个独立的标准正态分布的最大值服从极大值 I型分布时的参数 a与 0分别是3.313与0，由此得到正态分布随机变量的最大值服从极值 I型的推导如下：由极值 I型分布函数有：P ≤ p[exp(3.313 )]IX - IX - 十2 --rrO"s 6a2 (22) - - 丽 式中：Ix、 分别是正态分布的均值与标准差。

由此得到结构的动态可靠性指标为：卢(t)(E[g(x，t)])/ 丽 ( - )/√ ； (23)式中：IX ，.同式(6)，IX ， 分别同式(21)和式(22)。

4 算 例例1 45#钢的某载重汽车后轴，其初始时刻强度的均值和标准差分别为：IXr(o、833.6 MPa， rfo 41.68 MPa，考虑结构强度退化，工作寿命N10 ，C4.092。作用载荷为等幅且服从Poisson分布，分布参数A：6，从而与载荷对应 的工作应力 S服从均值为317 MPa、标准差为40 MPa的 Poisson分布；按文中给出的结构动态可靠性预测计算式(16)所得的结果和由所给的结构参数按中位秩 计算得到的可靠度的实验值均见图 1。从图中可见由于结构的强度随时间下降，则结构的可靠度也是随时间逐渐降低，且较为明显。

另按中位秩计算所得实验结果与本文公式的理论预测结果基本吻合，表明所建立公式可较好的预测结构的动态可靠度。

载荷循环比 n/N图 1 算例 1结构可靠度预测结果与中位秩计算实验结果比较图Fig.1 The structural dynamic reliability byusing our method computing comparisonwith experimental results of Example 1t×1O2/h图2 可靠性指标随时间变化的曲线Fig.2 The curve of reliability indicators changes from time例2 45#钢的某载重汽车底盘，其强度在初始时刻的均值和标准差分别为：IX枷、833.6 MPa， rf0、41.68 MPa，考虑结构强度退化，工作寿命，， 4×10 ，C4.092。最大随机载荷 的工作应力 S 的均值为368.9 MPa、标准差为35.8 MPa，但其概率分布未知；按文中给出的结构动态可靠性预测计算式(23)获得的结构可靠性指标的预测结果见图2。从图中可见，因结构的强度随时间下降，结构的可靠度亦随时间而下降，并4 4 3 3 2 2 1 蜷导掣瓣第1期 方永锋等：多种随机载荷下的结构动态可靠性计算 121逐渐趋于平稳。为对比，表 1给出了在时刻 0 h、100 h、500 h，750 h和900 h处用本文公式计算的可靠度与利用Monte Carlo Method(MCM)模拟 l0 次的可靠度的结果。从表中可见，本文计算结果与 MCM模拟结果相差甚校表 1 例2计算结果比较Tab.1 The comparison of computed results of example25 结 论(1)文中从结构的实际服役和载荷作用情况出发，应用应力 -强度干涉理论 ，分别建立了结构强度退化时，载荷以动态累加、等幅且服从-定分布，和载荷不等幅且不服从任何分布三种情况下的结构动态可靠性预测计算公式。

(2)所建立的结构动态可靠性预测公式形式简单、便于计算。由该公式可获得结构的可靠度随时间变化的规律，可应用于结构试验时间与可靠寿命的确定，可为结构的动态可靠性设计与灵敏度分析提供理论依据。通过对两个轴结构的动态可靠性预测计算，其结果与用其它方法计算结果基本吻合，表明了文中预测计算公式的合理性和有效性。