基于冗余提升小波包及Volterra级数的机械故障预测方法

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对机械设备进行故障预测，可为有计划维修提供依据，避免突然停机带来的经济损失。目前，振动信号预测方法主要分为以下几大类：人工神经网络、支持向量机、灰色预测等。通过振动信号的预测可实现对机械部件未来状态的定性判别。但是上述方法均不能很好地对混沌信号进行预测，而机械振动信号的昆沌特性比较明显，因此需要研究 昆沌时间序列预测问题。

混沌时间序列预测方法通常分为全局预测、局域预测和非线性 自适应预测 J。Voltera级数预测属于非线性自适应预测中的-种，具有计算方法简单、预测精度高和运算速度快等优点 。2000年，张家树等人亦基于非线性 Voltera级数展开式，提出并分析了混沌时间序列的Voltera自适应预测模型及其自适应预测算法、性能 。

Voltera级数模型在迭代过程中，很容易陷入局2013年3月 1日收到 国家 自然科学基金(51005247)、北京市教委科研基地建设项目资助第-作者简介：段礼祥(1969-)，四川人，博士。研究方向：机械设备状态监测与故障诊断。

部极小点，不能收敛到系统最优解。并且，该预测算法抗噪性能差，噪声将导致预测结果的误差增大甚至预测错误。鉴于此，本文提出了基于冗余提升小波包 (Redundant Liaing Wavelet Packet，RLWP)结合 Vohera级数的振动信号预测方法，达到获取更加准确的信号预测值目的。

1 二阶Volterra级数预测模型设非线性离散系统的输人为 U(t)[(t)，u(t-1)，u(t-2)，， (t-N -1)]，输 出为Y(k)，则该系统函数的Volterra级数展开式为：y( )±ho∑h (r )M( 丁) 0∑∑ (丁 ， )u(-下 )u( -丁：)t1 r2 ∑∑∑hp(丁 ， ，，丁 )×r1 2 PM(t- 1)M(t-下2)(t-r )e (1)式(1)中，e为截断误差，即实际值与Voltera级数模型值之差。h (J1，Jr2，，7- )为p阶Voltera核。

直接使用Vohera级数模型会带来维数灾难，17期 段礼祥，等：基于冗余提升小波包及 Voherra级数的机械故障预测方法 4923实际应用中采用有限阶截断和有限次求和的形式。

保留的阶次越多、逼近误差越小，但是计算量随着阶次的增加而成指数增加。二阶Volterra级数模型是最常用的模型，在多数情况下能满足逼近精度。

设时问序列为 (i1，2，， )，二阶Voltera级数预测模型的表达式如式(2)所示。

NI-1n1)FEx(n)]h。∑h ( ) ( - )UN2-1 -1∑∑h2( ，j)x(n- ) ( - ) (2)通过 Caos法求取信号的最小嵌入维数 m，令N Ⅳ2m。输入向量 X( )[1， (n)， ( -1)，， ( -，n-1)， ( )]，(n)x(凡-1)，， (n-m1)] ，预狈0系数向量为W( )[h。，h (0)，h (1)，，h。(m-1)，h2(0，0)，h2(o，1)，，h2(m-1，m-1)]T则式(2)可以写为：(n1)X (n)W( ) (3)预测系数向量 W(n)可用递推最小二乘法求龋对 进行相空间重构∩获得用于训练预测系数的输入样本及理想输出。输入样本为：X[ ， ，， Ⅳ ] ：1 1 Xl2f 1(m- 1)2 2r X22f X2(m-1) -mr 虬-(m-1)r -(m-2)r -r(4)式(4)中： 为延时；m为嵌入维数。

[ - ， 州 ，， - ]) (5)式(5)中，厂为预测函数，对应于二阶Volterra级数预测模型。

2 冗余提升小波包及奇异值分解降噪理论2.1 冗余提升小波包分解及重构20世纪9O年代贝尔实验室 Sweldens首先提出提升小波变换 ]。与经典小波方法相比，它不再依赖于 Fourier变换，小波基函数通过设计预测器和更新器获得。传统提升变换进行下采样运算时，易产生频率混叠。冗余提升小波包变换则不进行抽样运算，各层逼近信号和细节信号的长度与原始信号相同，信息具有冗余性，从而消除频率混叠。已有文献证明它在信号去噪及故障特征提取中具有优良的效果 。

冗余提升小波包的分解包括 2个步骤：预测及更新 ]。设数据序列为 (i)，i∈Z，其数据长度为 ，分解层数为 Z。

预测：将数据序列中的每个样本通过预测器 P [P ，P ，P，，，P r用相邻的2lN个样本进行预测，将得到的预测误差作为细节信号：dz1(n) l(n)-Pl f[n-2 - (N-1)]p2xf[n- 2 ～ ×(Ⅳ-3)] PⅣ f[ 2 X(N-1)] (6)d川(1，)反映的是数据序列中的高频成分。

更新：用细节信号 d(n)和更新器 U[ ，U。 ， ， ， ， r对数据序列中的每-个样本用2tN个细节信号进行更新，获得逼近信号：1(n) z( )- u1dz1[n-2 (N -1)]t2d21[ -2 - (Ⅳ-3)]uNd 1 X[ 2 (N-1)] (7)( )反映的是数据序列中的低频成分。

重构为分解过程的逆过程，它由恢复更新、恢复预测、序列合并 3步组成。

为了更加直观地描述上述算法，下面对-长度为 l7的信号进行 l层冗余提升小波包分解，信号边界处进行预测、更新时需进行适当地周期延拓。具体分解过程如图1所示，其它层次依此类推。

2.2 奇异值分解 (Singular Value Decomposition，SVD) 、给定-个秩为r的m x 维矩阵 ，则 的奇异值分解形式 为： u (8)式(8)中：U，V分别为m×m， x 维的正交矩阵；为 r x r维对角阵，其对角线元素为矩阵 的非零奇科 学 技 术 与 工 程 l3卷原始信号： ， ： X4 X7 X8 .。 。 。 。 。 。

4 l 1Tp 3p3 5印4 7 9。 Pl 6P B印 mp4xl2X0 X1 2 X3 X5 X6 X7 X8 X9 l0 ll l2 l3 l4 5 xl6原始信号： ， X4 x9 。 。 . 。

l do do-do l I d4 4 4 l 1 1 d9 9 9细节信号：do dl d2 d， d4 d5 d6 d7 d8 d9 d 。 d。

X6tlUld3u2dsu3d7u4吒逼近信号： c0 c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7 cB c9 c10 c图1 冗余提升小波包分解示意图异值A ，且以递增顺序排列，即A ≥A ≥A ≥≥ A，>0。

通过上面的描述，可以假设振动时间序列为X：( ， ，， )，则基于相空间重构理论即可构造出重构矩阵A：A (t)， (tr)，， [t(n-1)r](9)式(9)中：t1，2，，m；m N-(n-1)r，为重构相空间中向量的个数；n为嵌入维数；7为时间延迟 。

对重构矩阵 A进行奇异值分解，得到 diag(A ，A ，A，，，A )为A的奇异值。矩阵A的奇异值可以反映信号和噪声能量集中的情况。通常，噪声将会使所有的奇异值都大于0，若矩阵的秩为r，则前 r个奇异值要远大于其它奇异值。

本文将矩阵A较大的前k个奇异值，k小于等于r置零，然后利用奇异值分解的逆过程得到矩阵A的最佳逼近矩阵A，～矩阵A，的各列对应相加取平均值，即可得到降噪后的时间序列。

本文将冗余提升小波包降噪及多分辨率分析与二阶 Voltea级数预测模型相结合，用来提高振动信号的预测精度，算法具体流程如下：(1)对训练样本进行冗余提升小波包分解。

c6 6 6”C12 C13 CI4 CI 5 C1 6(3)开始对降噪后的各频带信号进行预测。用Caos法选择适合于各信号的嵌入维数，进行相空问重构，构造二阶 Voltea级数预测模型并进行预测。

(4)用冗余提升小波包的逆变换，对各层的预测信号进行重构，即获得样本预测信号。

3 仿真信号预测为验证本文方法在染噪时间序列预测上的优越性，将其用于仿真信号的预测。在 Henon映射分量上添加-服从均值为 O、方差为 0.16的正态分布白噪声。从 Henon映射x分量和染噪 Henon映射 分量的同-起点分别取出250个正常数据、200个染噪数据(图2，图 3)～ 200个染噪数据作为训练样本，预测其后50个数据，并与理想输出对比。

图2 理想 Henon映射X分量分别采用二阶 Voltea级数及 RLWP多分辨率.SVD降噪.二阶Voltea级数方法对训练样本进17期 段礼祥，等：基于冗余提升小波包及Vohera级数的机械故障预测方法 4925。 - 囊 ： . ：4 。 .囊 ·：·图4 二阶 Volterra级数预测结果本文方法得到的结果如图5，对比图4可以看出其准确地预测了样本后的5O个数据，预测相对误差几乎为零。证明基于冗余提升小波包及 Voherra级数的预测方法能有效提高数据预测精度，比单纯使用 Voltera级数效果更优。

· 预测值- 1 50 5 1：0 15 20 25 30 35 40 45 50点数图5 RLWP多分辨率分析-SVD-二阶Voltea级数预测结果4 工程振动信号预测某天然气压气站 l#离心压缩机发生了不平衡故障，通过在线监测系统实测该压缩机输入端轴承的振动位移信号，且每隔5 min存储-次数据。取出 120个连续测量的振动位移值，用前 100个数据作为训练样本，预测后面20个数据，如图6。

假设预测器与更新器长度均为4，通过冗余提升小波包对训练样本进行两层分解降噪。然后，令嵌入维数 m4，延时 r1，对降噪后的各频带信号进行相空间重构，构造二阶 Voherra级数预测模型对信号进行预测，得到预测值及理想输见如图7。

从图7可看出，本方法得到的20个振动数据准确预测了机组的振动趋势，且越来越接近实际不平衡时的振动数据。

：. 。15 51. 毽 ：- ：。 ：、 l l 1 t ： 。 i5 - . (1)本文提出了-种基于冗余提升小波包及Voltera级数的信号预测方法。利用冗余提升小波包的多分辨率分析及频带奇异值分解降噪对原始振动数据进行预处理，能有效地滤除噪声，较完整地重构 出真实信号。再结合二阶 Volterra级数模4926 科 学 技 术 与 工 程 13卷型，能明显提高该模型的预测精度和收敛速度。

(2)将本文方法应用于仿真信号与实际压缩机组信号中均取得了较好的预测效果。并且，通过对比二阶 Vohera级数及 RLWP多分辨率 SVD降噪。

二阶Vohera级数这 2种方法，证明本文方法的预 5测性能优良，可对机械故障展开有效预测。