斯托克斯椭偏仪的非线性最小二乘拟合偏振定标

斯托克斯椭偏仪。 是-种高速测量光波偏振态的仪器，能够近似实时地测量出描述入射光波偏振态的全部斯托克斯参数。在太阳物理研究领域，人们就是通过斯托克斯椭偏仪测量太阳光斯托克斯偏振分量来实现太阳磁场 的测量 ，然后根据塞曼分裂原理得到太阳磁场与被测偏振态的关系，进而研究黑子、耀斑及日冕物质抛射等与磁场有关的太阳活动现象 5 的。随着太阳物理研究的 日益深入，天文学家对太 阳磁场望远镜的偏振测量精度提出了更高的要求，例如美国的先进技术太阳望远镜 - ](ATST)要求其达到5×1O～，我国在研的深空太阳望远镜- ](DSO)和巨型太 阳望远镜 J(CGST)则要求达到 2×10 。斯托克斯椭偏仪作为太阳磁场望远镜的核心部件之-，其仪器矩阵的定标精度直接影响望远镜的偏振测量精度。因此，实现仪器矩阵的精确定标是提高太阳磁场望远镜偏振测量精度的必要条件。

传统的仪器矩阵定标方法主要有四点定标法和 E-P定标法lg 。它们都是将-组包含偏振片和 1/4波片的偏振发生器(PSG)作为定标单元，产生 4组或4组以上的偏振光直接入射斯托克斯椭偏仪进行仪器矩阵的定标。这些方法根据光源的不同，或者假设入射光为完全非偏振光(如氙灯、溴钨灯)，或者假设入射光为完全线偏光(如激光)，此时入射光的实际偏振效应将影响仪器矩阵的定标精度。此外，这些方法均假设定标单元中1/4波片的方位角和相位延迟是理想的。而在实际应用中，元件方位角和相位延迟的误差会降低M wp-1 O0 COS 202COS 8sin 2020 (1- COS )sin 202COS 2020 sin 3sin 202仪器矩阵的精确定标 。

鉴于传统定标方法的不足，本文提出了-种基于非线性最小二乘数据拟合算法进行偏振定标的新方法。该方法将入射光的斯托克斯参数口和定标单元中波片的方位角和相位延迟与仪器矩阵的所有矩阵元-起作为未知参数，根据偏振光学传输理论建立 了探测光强与未知参数之间的函数关系式，设计非线性拟合方法拟合实际探测光强随定标装置方位角的变化曲线，进而得到斯托克斯椭偏仪的仪器矩阵。该方法将传统方法的误差源作为未知参数随仪器矩阵-起由非线性最小二乘拟合求解 ，有效避免 了这些误差 源引起 的定标误差。

2 仪器矩阵的非线性最小二乘拟合定标原理图 1为斯托克斯椭偏仪仪器矩阵的定标光路示意图。光源发出的光束经过定标单元 (起偏器和 1/4波片组合)后，由斯托克斯椭偏仪探测得到4个光强，记为 I。 -[f。，J ， ，，。] 。设定入射光的归-化斯托克斯矢量 为 S. -[1，S ，S ，S。] ，根据偏振光传输理论，探测光强 J。 与入射光的斯托克斯参数 Si 有如下关 系：IⅢ儿-rXM wPM pSi ， (1)式 中：x-0(1- COS )sin 202 COS 202sin。202 COS& os 02- sin 3cos 2020- sin 8sin 20zsin 3cos 202COS第8期 侯俊峰，等：斯托克斯椭偏仪的非线性最Ib-乘拟合偏振定标MP：厶COS 201COS 201sin 201 COS 201Osin 201sin 201 COS 201sin220，O其中：r为系统透射率，x为被测斯托克斯椭偏仪的仪器矩阵，Mw 和 Mp分别为定标单元中波片和起偏器的 Mueler矩阵， 和 分别是偏振片和波片的方位角， 为波片的相位延迟。

nl斯托克斯椭J 偏仪I起偏器 波片图 1 斯托克斯椭偏仪仪器矩阵定标光路示意图Fig.1 Block diagram of calibration system of Stokesellipsometer S instrument matrix非线性最小二乘拟合方法中被拟合参数的选择如下 ：(1)选用消光比大于 10 000：1的起偏器 ，可以认为起偏器是完美 的，此 时入射光 的圆偏振分量不影响实际定标。因此，仅选择入射光的斯托克斯参数中两个线偏光分量 S 和 S 作为未知参数即可；(2)校准过程中，波片快轴相对于起偏器透射光轴存在的误差为 。此外，由于制造误差，定标单元的波片可能并非精确的 1/4波片。假设波片的相位延迟为 ，非线性最小二乘拟合定标中将和 作为未知参数；(3)系统透射率 r和仪器矩阵x的 15个矩阵元作为未知参数 。

最终 ，公式(1)写为：1。ut： F(r，Sl，S2，Oo， ，3Ool，3O02，3O03， 10， l，3O12，13， 20，3O21， 22，3O23，3O30，3O31，3O32，3O33，01，02). (2)定标单元中，起偏器和波片分别以步长 A045。独立旋转，获得 64组调制偏振态，斯托克斯椭偏仪探测得到 64组光强，记为I。 (mAO，nAO)，0-mAO，02-nAO(m，7z-1，2，8)。利用非线性最小二乘拟合方法求解公式(2)中的所有未知参数，拟合函数如式(3)所示，其中 i代表每-组光强的个数。由 matlab库函数 lsqcurvefit拟合得到所有未知参数，从而获得斯托克斯椭偏仪的仪器矩阵 x。

8 8 4-rim∑∑∑(j0 ( ， )-lo (mZhO， ) l、 m l 1 - 1(3)非线性最小二乘拟合方法的困难在于拟合初值的选择。如参数较多，全局优化时不同的拟合初值可能会有不同的拟合结果。尽管还有诸如蒙特卡洛法、遗传算法、RBF神经网络、支持向量机等算法，可以用来寻找全局最小值，但这些算法不是非常复杂，就 是非常费 时，效果 并不如意 。因此，寻找-组合适的初值使得本文所用的非线性最小二乘拟合偏振定标方法的拟合结果接近于真实状态，对于斯托克斯椭偏仪的偏振定标有重要价值 。

- 般情况下，理想的斯托克斯椭偏仪的仪器矩阵x的每-行代表斯托克斯椭偏仪的-个偏振状态，该偏振态可以由归-化的Stokes矢量描述 ，即：[ 1l 12 1 3 14]-[1 COS 2pcos 2 COS 2/sin 2sin 2 ， (4)其中：pE[-45。，45。]， ∈[-90。，90。]代表偏振空间所有可能的偏振态 。本实验中所选 的拟合初值如公式(5)所示。然后利用随机模拟的方法，随机模拟给出可能的斯托克斯椭偏仪拟合参数的真值，利用式(5)的拟合初值做非线性最小二乘拟合，求解得到的拟合参数与模拟真值之差定义为参数拟合误差。通过 1 000次模拟，分析参数拟合误差的大小以判断所选的拟合初值是否满足要求。公式(6)为模拟真实值的选择范围，几乎涵盖了各种可能的偏振定标系统状态。

图 2为随机模拟结果 ，1 000次模拟 中仪器矩阵的拟合误差在 1×10-。，由此可见本文使用的非线性最小二乘拟合方法及初值的选择是有效的。

[r，S1，S2，Oo， ， o1， 02， 03， 10，3O11， 12， l3， 20，2l， 22， 23， 3o， 3l， 32，z33 joL1，0，0，0，7c/2，0.5，0.5，0.5，0.5，0.5，0.5，0.5，0.5，0.5，0.5，0。

5，0.5，0.5，0.5，0.5]， (5)rE E0.1，13；S1，S2 E[-0.1，0.13；∈[-10。，10。]；3E[40。，140。]；pE[-45。，45。]； ∈[-90。，9O。]. (6)该方法将传统方法的误差源(入射光的斯托2 2 o 光学 精密工程 第21卷10- 1X 10-3圈X10-30 500 l 000 0 500 l 000图 2 非线性拟合方法的误差估计Fig.2 Error evaluation of nonlinear fitting method克斯参数、波片的方位角误调和相位延迟)作为未知参数随仪器矩阵-起由非线性拟合求解，避免了这些误差源引起的测量误差。

3 测量 实验 与结果3.1 实验装置根据上述原理建立的实验装置示意图及实物图分别如图 3、图 4所示～配有高精度稳压电源的溴钨灯作为入射光源，出射光束经过光纤耦合器转化为准直度小于 0.3。、光斑小于 5 mrn的准直光束，并通过定标单元被斯托克斯椭偏仪调制和接 收。定 标 单元 中起 偏 器 的 消光 比大 于10 000：1，波片 1在 中心波长 532.4 nITl处为近1/4波片，由步进电机控制两元件旋转，转动精度优于 2 ，由计算机控制360。自由旋转。

实验中，被测量的斯托克斯椭偏仪 由两个KDP电光晶体 KDP 和 KDP。、波 片 2、检偏器和光纤光谱仪组成。高压调制器以倍频的关系控制两 KDP两端电压的快速反转，从而实现入射光斯托克斯参数的完全调制。光纤光谱仪主要包含微型光栅和线阵 CCD，可以同时得到多个波长处的光强值 ，可测光谱为 300～1 100 nm。

3.2 测量结果- 般情况下，入射光的斯托克斯参数、波片的方位角误调和相位延迟随波长变化。由于这些参数的不确定性，单-波长处的仪器矩阵定标可能无法比较和分析非线性最小二乘拟合方法和传统方法的差异 。为 了克服这-困难 ，实验 中利用斯托克斯椭偏仪中光纤光谱仪的优势同时定标 500～ 700 nm波段的仪器矩阵。实验中分别使用非线性最小二乘拟合定标方法、四点定标法和 E-P定标法测量了 KDP型椭偏仪的仪器矩阵x，测定标茧元斯托克斯椭偏仪图 3 斯托克斯椭偏仪仪器矩阵测量装置示意图Fig.3 Scheme for measurement system of Stokes el-lipsometer S instrument matrix图4 斯托克斯椭偏仪仪器矩阵测量装置实物图Fig.4 Measurement system of Stokes ellipsometer s量结果如图 5所示 。

通过分析发 现，在波长为 500～600 nm 时 ，对于仪器矩阵的第 4列，3种定标方法的结果相- 致，这表明定标单元 中波片 1的相位延迟 的小角度误差对 四点定标法和 E-P定标 法的测量精度影响甚微；而对于仪器矩阵的前三列，四点定标法和 E-P定标法的结果相-致 ，但与非线性最小二乘拟合法有偏离。其主要原因是两种传统方法中假设入射光是完全非偏振的，且认为定标单元中波片 1的方位角不存在误差。由非线性最小二乘拟合法的参数拟合结果可知，入射光并非完全非偏振光且波片 1的方位角存在误差；当波长大于 600 nm后，四点定标法和 E-P定标法的结果基本保持-致，但与非线性最小二乘拟合方法偏离较大，这是由于波片 1的相位延迟随着波长变大而愈加偏离 90。(见图7)，四点定标法和 E-P定标法中波片 1为准 1/4波片的假设不再成立，从而引起两种方法的测量误差。

第8期 侯俊峰，等：斯托克斯椭偏仪的非线性最小二乘拟合偏振定标 19l9120010O2/nm00O；t/nmNonlinear least-square fitting method ······Four-point calibration method -------E-P calibration methed图 5 斯托克斯椭偏仪的仪器矩阵x定标结果Fig.5 Calibration results of Stokes ellipsometer S instrument matrix X1ONOIllinear least-square fitting method Four-po int calibration method - - E-P calibration methed图 6 修正后斯托克斯椭偏仪的仪器矩阵 x定标结果Fig.6 Calibration results of Stokes elipsometerS instrument matrix x after correction5 0 5 l 5 0 O -n0光学 精密工程 第21卷图 7 波片 1的相位延迟与波长的关系曲线Fig.7 Relations between retardation of waveplate 1and wavelength将非线性最小二乘法拟合得到的入射光的Stokes参数 S ，S ，波片 1的初始方位角误差和相位延迟 作为已知量修正四点定标法和 E-P定标法。修正后测得的仪器矩阵如图 6所示，3种方法的结果基本保持-致 。由此表 明，非线性最小二乘拟合方法在偏振定标过程中有效地提高了测量精度，避免了入射光源的偏振效应、定标单元中光学元件初始方位角和相位延迟误差对测量精度的影响。

采用反演的方式 来估计仪器矩阵的准确性，即通过测量各角度下的光强值，结合仪器矩阵反演出对应角度的斯托克斯分量，将其与理论值进行对比分析。测量方法为：将校准单元中起偏器的方位角固定为 0。，以 10。为步长，从 0。到 360。

旋转波片，由此产生 37个不 同的偏振态 ，同时用斯托克斯椭偏仪对上述 的偏 振态进行测 量得 到I；然后用定标得到的仪器矩阵 x(见图 5)和 I带入式 S-X～I，求得波片对应角度下 4个斯托克斯分量的实验值。定义斯托克斯参数测量值与理论值之间的平均偏差为：，37AS - l s -s I，( -o，l，2，3)，(7)0 /式中：S 为斯托克斯参数的测量值，S 为理论值 。

定义斯托克斯参数的总均方根(RMs)偏差为：AS、/△S ASiASi. (8)图 8为中心波长为 532.4 FITI处 3种方法斯托克斯参量实验值与理论值的对比。AS的测量结果如图 9所示。由图可知，当波长为 500～600nm 时，非线性最小二乘拟合方法 获得 的斯托克斯参数的总均方根 (RMS)偏差约 为 1.6 ，较传统定标 方法 (四点定标法和 E-P定标法 的 RMS约为2.1%)提高约 0.5 ；波长大于 600 nm时，系统信噪比的降低使得新方法的测量精度降为2.4 ，但由于波片 1的相位延迟远远偏离 90。(见图 7)，这使传统测量的误差显著增大，远大于非线性最小二乘拟合方法的测量误差。

theoretical valoes- - - - - - - - Nonlinear least-square fiting calibration mhod Four-point calibration methodu - - - · - - - - - - E-P calibrationmethod respectively图8 波长为 532.4 nm处 3种方法斯托克斯参量实验值与理论值的对比Fig.8 Comparison between theoretical and experimentalvalues of Stokes parameters by three methods图 9 斯托克斯参量的总均方根偏差Fig.9 Total RMS of Stokes parameters第8期 侯俊峰，等：斯托克斯椭偏仪的非线性最小二乘拟合偏振定标 l9214 结 论本文提出了仪器矩阵的非线性最小二乘拟合偏振定标方法，理论上设计了该方法的定标原理，建立了对应 的定标系统 ，对 KDP型斯托克 斯椭偏仪进行了定标，并与传统的四点定标和 E-P定标的结果进行了对比和分析。实验结果表明：在波长 500～600 nm 处，新 方法获得的斯托克斯