固体低频内耗力学模型及其测量研究

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On the M echanical M odels and M easurment of Low FrequencyInternal Friction in SolidsZHOUZheng-cun，DUJie，YANGHong， ⅣYong-jian，GUSu-yi(School of Mechano-electrical Engineering，Suzhou Vocational Univevsity，Suzhou 2 1 5 1 04，China)Abstract：The mechanical models and measurements of low frequency internal friction in solids are discussedand described in this paper.There are anelasticity and viscoelasticity internal friction in solid.Free-decay andforced vibration methods can be used to measure the low frequency internal friction.Two-parameter and three-parameter mechanical models can be used to describe the internal friction of materials but they have theirlimitations.No appropriate mechanical model can be used to describe viscoelasticity internal friction，especiallynon-linear viscoelasticity。

Key words：low frequency internal friction；mechanical models；internal friction measurements在外力作用下，固体将产生应变，对于-个理想弹性体，应力盯和应变 遵从胡克定律(Hookess law) ]。

理想弹性体应力和应变之间的关系，必须同时满足三个条件 ：①线性关系，应变对于每-个应力的响应是线性的，即满足波尔兹曼叠加原理，反之亦然；②瞬时性，上述响应总是瞬时达到的，即应变总是和应力同位相 ；③唯-性 ，应变是应力的单值函数，即对每-个外加应力值，都只有唯-的-个平衡应变值 ，与形变或者加载的历史无关.但是，精确的实验表明，物体对外加应力的响应不是完全瞬时的，表1是按应力-应变关系所遵循的条件 ，对不同的力学行为进行分类情况，有理想弹性 、非线性弹性、滞弹性、线性粘弹性、瞬时范性(塑性)。

当-个恒定的外力作用在物体上时，为了响应外力的作用，物体首先产生-个瞬时应变，而后随着收稿日期基金项目作者简介162012-1l O2；修回日期：2012 12 06江苏拾青蓝工程”资助项 目；江苏侍育厅高衅研成果产业化推进项 目(JHZD2012-48)；苏州市工业科技指导性计划(应用基础研 究)资助项 目(SGZ20l2058)周正存(1962 )，男，安徽舒城人，教授 ，博士，主要从事材料工程、凝聚态物理研 究。

周正存等：固体低频内耗力学模型及其测量研究 2013f第2期受力时间的延长，物体继续发生变形，但是变形的速率逐渐降低，在经过足够长的时间之后 ，变形速率降低到零 ，物体不再产生新的变形 .在这个外力的作用下，物体达到了新的平衡状态 .如果固体 的应力-应变关系满足线性和唯-性 ，而不满足瞬时性，则分类为滞弹性.如果应力-表 1 按应力 -应变关系所遵循的条件，对不同的力学行为进行分类应变关系只满足线性关系，而不满足瞬时性和唯-性 ，则分类为线性粘弹性 ，如图1所示 .类似 的情 况是如果应力-应变关系满足瞬时性和 唯-性 ，而不满足线性 ，则是非线性弹性体.如果应力-应变关系只满足瞬时性，而不满足线性和唯-性 ，则分类为瞬时范性(也称为静滞后型非弹性).理想弹性体 、滞弹性体、粘弹性体、瞬时范性应力与应变关系见图1.可以看出，滞弹性与粘弹性的重要区别在于粘弹性体永远不能恢复到零 ，即存在残余变形 ，而 注： 为理想弹性体.b为滞弹性体；。为粘弹性体；d为瞬时范性滞弹性可以恢复到零，粘弹性与瞬时范性的根 图1理想弹性体、滞弹性体、粘弹性体、瞬时范性应力仃与应变s关系本区别在于粘弹性的剩余应变与应力的大小成正比，与应力作用的时间成正比，而瞬时范性的剩余形变不存在这两个正比关系。

固体的弹性已经有了完整的弹性理论和成熟的应用口]，本文不再赘述 .可是，对于滞弹性、粘弹性和瞬时范性的内耗及其测量 ，尽管其理论和测量技术与方法的发展已经有半个多世纪，但由于材料的多样性和其本身结构的复杂性以及内耗对材料结构和状态的高敏感性，使得-方面内耗理论及其测量依据的力学模型还不完全成熟 ，目前还没有形成完全-致的结论，另-方面内耗测量方法及其测试仪器还需改进和提高，本文就低频内耗的力学模型及其测量进行讨论和分析。

1 固体低频内耗及其测量方法1.1 固体的内耗振动着的物体，即使与外界完全隔绝，其机械振动也会逐渐衰减下来，这种使机械能耗散为热能的现象称为内耗 ，即固体在振动中由于内部的原因而引起的能量损耗.根据内耗产生的机理不同，内耗又可分为滞弹性内耗(线性和非线性)、粘弹性内耗(线性和非线性)、静滞后型(非滞弹性)内耗 ].根据内耗的定义 ，不论哪种原因产生的内耗，其表达式都为 1， (1)式中：Q 表示内耗值； 是振动-周的相对能量损耗；因子- 的作用是将振动-周的相对能量损耗变成单位弧度的相对能量损耗，因为-周等于2n rad。

在测量内耗过程中，线性滞弹性内耗表现为在-定的振幅范围之内，内耗值与应变的大小无关，而与测量频率有关，而非线性滞弹性引起的内耗，既依赖于振幅，又与测量频率有关.静滞后型内耗与测量频率有关，也与应变振幅有关.线性粘弹性不依赖于施加的应力振幅或应变，但依赖于频率。

1.2 固体内耗测量方法和量度内耗的量度方法有多种，除了内耗比较大时，直接测量应变落后于应力的位相角 外，常用的方法有两类：共振系统的实验方法(自由衰减法和强迫振动法)和波传播法。

第24卷 苏州市职业大学学报1)自由衰减法是将振动系统的振动激发后，停止激发，让系统进行自由振动，由于试样存在内耗和振动系统存在外部阻尼，自由振动的振幅将逐渐减小.自由衰减法直接测量的量是振动的振幅和频率.因为振动系统的振动能与其振幅A的平方成正比，所以内耗可以写为 11/1每 1[1-exp(-2 ， (2) ～ 2兀 2兀 J2兀式中 称为振幅的对数减缩量，定义为 In÷ ， (3)式(3)的意义是相邻两次振幅比的自然对数.可以推断 ，自由衰减可以测量任何-种滞弹性体和粘弹性体产生的内耗。

2)强迫振动法是在内耗测量中不断用-个选定的频率o92兀厂激发振动系统的振动 ，这 激发频率 ，∞称为圆频率.激发振动的应力采用正弦形式，可以写为仃 0 sincot， (4)其中6r0是应力振幅.在应力和应变是线性关系条件下，应变s与应力具有相同的形式，但是应变落后于应力-个位相角 ，于是应变可写为ss0 sin(wt- )， (5)式中s。是应变振幅，振动-周损耗的能量AWcrdc. (6)将式(4)、式(5)代入式(6)并完成积分，可以得到AW 1tsinb， (7)在计算振动系统的储能 时，外力对系统做的功是r crds，在1/4振动周期中，外力所作的功损耗了 ，系统的储能为W ： o-de- . (8) l将式(4)、式(5)、式(7)代人式(8)，并完成积分，可以得到W亡仃0so cos . (9)综合式(7)、式(9)可以得到强迫振动法测量内耗的表达式Q～tanb. (10)这个结果说明tanb可以作为内耗的量度，但是条件是应力和应变成线性关系，因此，这种量度对于应力和应变成非线性关系的内耗则存在误差 。

3)波传播法 .在共振法中，弹性波在试样中传播时形成驻波，而在波传播法中，弹性波是行波，经-系列计算内耗值为Q～： ， (1 1)7式中：v为声速；.厂为频率；仅是传播单位长度的对数衰减量。

1.3 固体内耗的力学模型理想弹性体的力学模型可以用-个胡克弹簧来表示，但对于产生内耗的非弹性应变还需增加-个充满理想粘滞液体的阻尼活塞来表示.因此，将胡克弹簧和阻尼活塞串、并联组合起来，可得到描述内耗行为的力学模型，两者并联的称为两参-Voigt模型 ，如图2(a)，适合用来描述蠕变，串联的称为两周正存等：固体低频内耗力学模型及其测量研究 2013年第2期参；/Maxwel模型 ，如N2(b)，适合用来描述应力弛豫或理想的粘性体，由于两参量的Voigt模型缺乏晶体的即时弹性响应特征，需用两参量的Voigt模型附加-个弹簧来弥补，这样就得到由-个两参量的Voigt模型串联-个弹簧的三参量Voigt模型，如图2(c)，这个三参量Voigt模型可以用来描述蠕变和应力弛豫.但是，用三参量Voigt模型描述应力弛豫并不如蠕变那样直接，因为没有单-元素确定模量弛豫，因此 ，需要考虑用适合于描述应力弛豫的另外的三参量模型 ，这个模型是-个两参量的Maxwel模型并联-个弹簧组成 的，如 图2(d).由于三参量 的Voigt模型和Maxwell模型具有相 同的应力-应变微分方程 ，两个模型是等效的，Nowick把图2(c)和图2(d)称为标准滞弹性 固体模型[4.因此，任何-个 (a)Voigt模型 (b)Maxwel模型 (C)三参量Voigt模型 (d1三参量Maxwel模型三参量模型都能描述滞弹性 图2 固体内耗的力学模型固体，但三参量的Voigt模型描述蠕变最方便，而三参量的Maxwell模型最能描述材料的应力弛豫性能。

用两参量的Voigt固体模型进行计算，内耗值与施加的循环应力的频率成正比，即tanb：TI(o， (12)在恒应力条件下，弛豫时间 ， (13)可以看出，内耗-频率曲线的斜率是恒应力条件下的弛豫时间 。

用两参量Maxwell模型进行内耗计算，内耗值与施加的循环应力的频率成反 比，即tan k， (14)在恒应变条件下的弛豫时间 孚， (1 5)可以看出，内耗-频率曲线的斜率是恒应变条件下的弛豫时间 的倒数。

用三参量的Voigt模型进行计算，内耗值为胁 蕊 (16/，r/0)k2)r1 ) ( ∞ 用三参量的Maxwel模型进行计算，内耗值为taIl西 k2q(-oE盔(毛 )叩 国 (17)如果用四参量模型来描述内耗，有2个四参量模型，～个 Voigt模型与Maxwel模型串联组成，另-个是 Maxwel模型并联-个弹簧再串联-个粘壶，如图2(a)和图2(b)所示，通过计算得到：Voigtt参量模型的内耗tan 。

72缈 ( j2)，7 Maxwell四参量模型的内耗tan kl 警 ] 7CO. [(毛 )叩∞2 。当然，如果用五参量模型来描述内耗，计算过程和结果更复杂。

童工丁叩 第24卷 苏州市职业大学学报1.4 带振动系统的内耗力学模型在实际测量内耗的过程中，都要通过-个振动系统激发样品，也就是说样品的内耗是与振动系统的内耗在-起的，这样更增加了内耗的力学模型的复杂性，为了准确地描述实际测量样品的内耗值 ，文献5将振动系统加入图2和图3的模型中再进行讨论和计算.如图4中(a)、(b)、(c)、(d)分别是带振动系统的Voigt模型、Maxwel模型 、三参量Voigt模型和三参量Maxwel模型，图5中(a)、(b)分别是带振动系统的四参量Voigt模型和四参量Maxwel模型，四参量模型的内耗表达式非常复杂 .文献[6]计算发现，含振动系统的力学模型的内耗值与不含振动系统的内耗值有区别，如表2所示。

。。。- 。密盯。。。 - !s I盯(a)Voigtl参量模型 (b)Maxwell参量模型图3 四参量模型-个F山F(a)Voigt模型F个FF(b)Maxwel模型 (c)三参量Voigt模型 (d)乏参量Maxwell模型图4 与图1对应的含振动系统的力学模型表2含振动系统的内耗值tan0及其与不含振动系统的内耗值tan 之间的关系tan0-二- 。

㈦ 0)F 。.j多r 舌 周正存等：固体低频内耗力学模型及其测量研究 2013年第2期Hermida 建议了-个非线性的粘弹性力学模型，如图6所示.这个力学模型相当于-个标准滞弹性三参量Vogit模型串联-个非线性相应的-个粘壶，很清楚，这个粘壶的粘性不是常数，它依赖于应力，应力与应变速率之间的关系方程为考sinhCo ， (216"0 ll1 ) L ，这里吾和c不依赖于应力 ，但依赖于温度 ， exp(- /kv)，c (2kT)，是激活体积 ，尼是Boltzmann常数，△ 是激活焓， 是指数前 因子。

内耗经计算为 图6 四参量非线性粘弹性模型Q～tan F， (22)式中：tanb是标准滞弹性固体的内耗；F是非线性粘壶产生的内耗，F的表达式见文献[7]。

Haneczok 分析建立了-个实际粘弹性体弛豫模型 ，-些研究者用这个模型解释了-些材料中的高温背景内耗现象 .在理想的粘弹性体中，按Maxwell模型计算的内耗值为1Q- . f23)CO而对于-个实际的粘弹性体，其内耗值为1Q～ ， (24)式中：CO是测量的角频率 ；f是弛豫时间。

Q ， ，q) sin(zrq/2、cos(Jrq/2)(coT) (25)对于理想的弹性体q0，对于理想的牛顿流体ql，对于实际材料0

Khonik等 研究了金属玻璃中的不可逆结构弛豫，并对线性加热速率 的情况建立了-个Maxwel类型的力学模型 ，其内耗表达式为Q-：旦 ： GNo.(2CAT7式中：G是剪切模量；叩是剪切粘性；092 是角频率；Ⅳ0是弛豫中心的依赖于温度体积的谱密度；g2是基本弛豫体积 ；c是对外应力起定位作用的常数 ；A3.1 3×1 0 eV/K.-些研究者用这个模型研究金属玻璃的超低频粘弹性内耗以及应变振幅依赖性的粘弹性内耗 H。

1.6 固体内耗的测量固体内耗的测量始于20世纪4O年代 ，测量内耗的倒扭摆(称为葛氏摆)是我国著名的内耗专家葛庭燧[4 发明的，从而可以用同-试样测定内耗、动态模量亏损、在恒应力下的蠕变和恒应变下的应力弛豫.他在文献[15]中全面总结了扭摆内耗仪的发明和内耗研究的开拓与发展过程，概述了用滞弹性测量方法研究金属中晶粒间界和滑移带的力学性质，首次观测到晶粒间界内耗峰(作为温度的函数)，测出了晶界弛豫激活能，指出了晶体晶界的滞弹性效应及其与晶界结构和特征的关系、冷加工产生的内耗峰以及与之有关的-些非线性滞弹性 内耗 ，很多研究成果属原创，这些成果说明内耗技术的应用为材料微观结构的变化及其机理研究提供了-个重要手段 .之后，国内很多从事内耗研究的机构 (包括葛庭燧所在的研究组)在葛氏摆的基础上对测量低频内耗的装置进行优化 ，改进其机械结构，提高其 自动化程度、测量精度和测量参数范围，扩展功能范围(如测量液体内耗、薄膜内耗等的内耗仪)等 。

在国内，朱震刚等 " 于20世纪80年代研制出了自动化程度较高的、能用计算机控制的多功能内耗仪，能在连续升温或阶梯升温以及真空条件下测量不同频率或不同应变振幅条件下的内耗-温度谱和内耗-相对动力学模量谱，使测量效率增加、数据采集和数据处理更为方便.朱震刚 还研制了疲劳内耗仪，这种内耗仪能自动测量微应变(最低达1 0 6量级)、低频拉压疲劳动态过程中的超声衰减和声速变化，以及每-循环的内耗值，从而获得试样内部的缺陷组态变化，以此可判断试验材料的抗疲劳2l第24卷 苏州市职业大学学报性能.周浩等 o 研制了拉伸内耗仪和真空蠕变内耗仪，拉伸内耗仪可以在室温和高温下测量材料在拉伸形变过程 中的内耗和应力～应变曲线，从而可获得应力-应变曲线与内耗的关系；真空蠕变内耗仪可以在真空条件下测量材料在蠕变过程 中的内耗变化，从而可以对同-试样同时进行 内耗、蠕变试验，以此可以判断材料蠕变对内耗的影响.上述这些具有不同功能的内耗仪比早期的内耗仪在 自动化程度、数据采集和处理、测量精度、测量参数范围、测量功能等方面有很大进步 .丁喜东等 。 对内耗仪(现称为低频力学谱仪)的机械结构和测控系统以及软件等方面进行了改进 ，使仪器结构、测控系统、数据处理、软件等方面更加科学，测试功能进-步扩大.丁喜东等 对固体内耗仪测控系统进行了改进后，使最高工作频率由原来的l0 Hz提高到500 Hz，频率的分辨率 由原来的1%提高到0.05%，测量精度由原来的1×10 4提高到优于3×10 ；朱震刚 研制的液态力学谱仪，在研究聚合物流体结构转变及其机理方面取得了许多其它物化手段无法得到的结果。

在国外，内耗研究主要集中在欧洲、美国和 日本.与国内相似，内耗仪的改进和提高之处也集中在机械结构、自动化程度、测量精度、测量参数范围和功能范 3 .Swartz3叫研制了-个用于测量由位错引起的内耗和模量变化 的扭摆仪 ，有两个温 区不同的样品室 ，低温的是80～400 K，高温的是290～1 000 K，应变精度是4×l0 ，应变范围是2 X 10 ～2×10 ，能测量到1/104的模量改变.HarbotlepⅥ用- 种内耗仪在较低的温度范围(77～300 K)测量中子辐照薄膜的低频内耗，设计的这种内耗仪主要特点是具有单-振动模式，可以忽略较高的寄生频率 .Barrow等 研发了-种高精度的内耗测量仪器 ，测量温度低至4 K且测量精度很高，用-个峰值检波器和-个输出传感器来保持应变振幅，并提供-个与阻尼水平相适应的输出应变，这个内耗仪特别适合测量低内耗.Woirgard等 副研制的-个新式扭摆能在很宽的频率范围测量内耗-频率曲线，在10 ～10 Hz频率范围用测量的相角滞后得到低内耗和高内耗，通过不同的实验显示这种方法获得的值较精确 .Brandner等 设计和制造了-个测量 内耗的倒扭摆，测量的频率范围是l0 ～200 Hz，温度低至4 K.Gribb等 研制了-种用于高温测量 内耗的高精度扭摆，测量温度高达1 400℃，扭矩的精度高达2×10 Nm，角位移精度4×10 rad，应变精度5 X 10 .San等 叫设计和制造的内耗仪测量的低温端与Brandner的内耗仪几乎-样 ，达4.2 K，测量的应变幅度低至2×l0 .Tondellier等3 对内耗仪进行改装用以测量半导体中的位错运动，测量频率为10 ～10 Hz，相角滞后的精度达到10 ～l0 rad.Guti6rrez等 剐研制了-种高性能极低频率的强迫振动扭摆，测量的频率可以低至10 Hz。

从上面可以看出，国外内耗仪的精度比国内高，频率和应变振幅所能达到的最低值小，最低温度比国内低得多，而最高温度比国内高得多，所以国内内耗仪的测试功能有待提高。

在应用方面，国内的企业很少用内耗仪，而在 13本，几乎所有钢铁公司都有内耗实验室，都有先进的内耗设备 .目前，在有关材料研究和开发的机构和实验室，使用美国TA仪器公司生产的DMA(动力学分析仪)来测量阻尼性能比较普遍 .除此之外，内耗测量用的内耗仪或者称作低频力学谱仪大部分都是自制或者本国生产的，如 日本的Nihon Techno-Plus Co.，Ltd生产的各种内耗仪在 日本的科研机构和企业应用相当普遍，但在其它国家相对较少。

2 结论由于材料的多样性和其本身结构的复杂性以及内耗对材料结构和状态的高敏感性 ，使得内耗理论和其测量依据的力学模型还不完全成熟 ，内耗测量方法及其测试仪器还需改进和提高.两参量的Vogit以及Maxwel模型不能用来描述实际固体的内耗，含振动系统的滞弹性固体的三参量力学模型适合描述应力-应变关系成线性关系的滞弹性内耗，但实际测量 内耗时，由于振动系统的共振频率难以计算，使测量产生误差.对于非线性的滞弹性则没有合适的力学模型，现有的内耗测量基于的原理与线性滞弹性内耗-致，有待完善.还没有-个理想的力学模型来描述粘弹性内耗，尤其是非线性粘弹性.国内的内耗仪在精度、测试参数的范围逊于国外.TA仪器公司生产的DMA应用于内耗测量比较普遍。

周正存等：固体低频内耗力学模型及其测量研究 2013年第2期