基于高斯牛顿迭代算法的三轴磁强计校正

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三轴磁强计被广泛运用于地球物理研究、航空磁测、地质勘探、卫星定姿、矿藏开采、导航、unexploded ordnance(UXO)探测等领域 。但由于在加工过程中，受到机械水平的限制，三轴磁强计本身存在零偏误差、刻度因子误差和非正交误差，影响磁强计测量精度，导致其测量误差达到上百甚至几千 nT，无法满足高精度磁测量系统要求。

收稿 日期 ：2012-09 Received Date：2012-09基金项目：国家自然科学基金(51175507，61171134)、湖南省研究生科研创新(CX2012B012)资助项目第 7期 庞鸿锋 等 ：基于高斯牛顿迭代算法的三轴磁强计校正 1507国外有相关磁强计校正文献，文献 [6]对导航系统中的磁强计进行了校正；文献[7]采用递归最小二乘法校正磁强计；文献[8]提出拟牛顿算法解决磁强计参数估计问题；文献[9]对序贯中心化方法、扩展卡尔曼滤波和无绩尔曼滤波校正算法的校正性能进行了对 比，并对无绩尔曼滤波算法进行了鲁棒性测试，采用全球地磁模型值作为基准值。然而，所述方法有不足之处：1)以全球地磁模型值或者磁强计测量的平均值作为校正算法的基准值，这显然不够精确；2)转动姿态受到限制；3)估计算法对初始参数依赖性强，影响校正精度。

国内，磁强计校正同样受到重视。文献[10]提出了航姿参考系统磁强计校正的点积不变法，同时实现三轴磁强计坐标系的对准，该方法需借助三维 自由度转台对角度进行精确控制。标量校正方法由于更易操作而被广泛使用，标量校正方法的关键在于参数估计 ，目前已经有不少相关理论运用到磁强计参数估计。文献 [11]测量了磁强计绕 z轴旋转的标量误差，提出了基于函数链接型神经网络的方法对三轴磁强计进行校正；文献[12]提出了基于 SVR的三轴磁通门传感器误差修正方法；文献[13]提出基于最速下降法的磁强计正交误差分析与校正；文献[14]采用共轭梯度法校正了三轴磁传感器正交性误差；文献[15]采用循环优化算法校正三分量磁通门传感器；文献[16]提出了基于函数链接型神经网络的总场梯度计误差校正方法，并对梯度计内的 2个磁通门磁力计进行了校正。然而，上述文献中采样策略存在不足：1)采样数据几乎都是绕 z轴旋转，而磁强计在使用过程中有可能绕其他轴转动，甚至其他三维姿态，故采样数据代表性不够；2)静态采样数据，未对动态采样数据的校正效果进行研究；3)采样点个数有限，数据量不足。

本文针对三轴磁强计误差进行分析，对校正模型进行推导，建立了磁强计校正的非线性方程，采用高斯牛顿法对三轴磁强计的校正模型直接进行参数估计 ，实现了磁强计误差校正。利用高精度质子磁力仪测量当地磁场标量基准值，避免了全球地磁模型和平均值法的不准确性¤助无磁转台，实现了磁强计绕 3个轴的分别转动，对磁强计进行充分激励 ，更准确地获取校正参数。

2 校正理论传感器校正模型如下 ” ：[差 ] k 。cios二 k2 cos yosin/ 3墨][三 圣]c·因子； 、B、y为非正交误差角度，B [B ，Bm2，B ]B ·B B M1曰 B 鸭B2，l3 B lBm2M 1 Ⅱ2ln；1M2 ： 。2l2Ⅱ 20；2M3 。322(a1lal2a3la32)Ms 2a32a，3M6 2a31a33M7-2M1b -M4b -M6bM8-2M2b -J)l b -M5bM9 -2M，b -J)I 6 -l 6。M (b ) (6 ) J)l (6 )。l (6 b )M5(byb )眠 (bxb：)(4)当测量 Ⅳ组值后，可以建立Ⅳ个非线性方程，采用高斯牛顿法求解，可计算出9个未知参数，将参数估计值带回式(2)，从而实现传感器的校正。

高斯牛顿迭代法被广泛运用于非线性问题，其基本思路是使用泰勒级数展开式去近似地代替非线性回归模型。

然后经过多次迭代，多次修正回归系数，使回归系数不断逼近非线性模型的最佳回归系数，最后使原模型的残差平方和达到最校待估参数向量 W(n)迭代过程如下：W(/1，1)W(n)AW(n) (5)式中：/，是迭代次数 ，参数变化量表示如下：AW -[ (w).，(w)] .， (14')P(W) (6)式 中：.，(W)为 待 估 参 数 的雅 克 比矩 阵；P(W) [P (W)， (w)，， (w)r为待估参数误差向量；P为待估参数的数量。

3 仿真结果设当地磁场总量真实值为 48 193 nT，磁强计噪声为高斯白噪声，均值为0，方差为20 nT，磁强计设置参数如表 1所示。根据磁强计的设置参数和理想磁强计的测量值，可获取实际磁强计测量值。通过高斯牛顿法对磁强计参数进行估计，参数估计结果如表 1所示，可知估计值1508 仪 器 仪 表 学 报 第 3 4卷与真实值-致。参数估计结果代入传感器校正模型，从而实现校正。校正结果如图 1所示，可知传感器误差明显得到抑制，误差幅度大大降低。均方根误差(RMS)作为-项重要的数据特性统计指标，被广泛运用到传感器校正结果评估中。定义如下：㈩ 式中： 、B 、B 为传感器分量输出值；曰 为当地地磁总量真实值；Ⅳ为测量点数。校正后，RMS误差从 162.135 nT降低到 1.467 nT。校正前误差幅值达到405.146 nT，校正后误差幅值降低到 13.457 nT。

表 1 磁强计参数估计结果Table 1 Estimation result of the magnetometer parameters图 1 仿真校正结果Fig.1 Calibration resuh in simulation为了测试高斯牛顿算法校正性能与噪声的关系，对不同噪声下的校正结果进行比较。设噪声方差分别为5 nT、10 nT、20 nT和30 nT，校正精度与噪声关系如图2所示。

10O测量点(a)5 nTOO测量点fb110nT200U lU0 200测量点(d)30nT图2 不同噪声幅度下的传感器校正结果Fig.2 Calibration resuhs under differentnoise levels噪声方差为5 nT时，校正后的误差幅度从395.403 nT降低 到 3.549 nT，RMS误 差 从 162.136 nT降 低 到1.467 nT。噪声方差为 10 nT时，误差幅度从 395.582 nT降低到7.621 nT，R.MS误差从 163.244 nT降低到2.998 nT；噪声方差为 20 nT时，误差幅度从 408.183 nT降低到13.457 nT，RMS误差从 165.088 nT降低到 5.801 nT。噪声方差 为 30 nT时，误差 幅度从 414.004 nT降低 到20.094 nT，RMS误差从 166.561 nT降低到 8.527 nT∩知随着噪声幅度增大，高斯牛顿算法的参数估计性能受到影响，校正残留误差幅度增加，传感器校正精度降低。

8 6 4 2 u， 咖锄 上u辆 菩卿蹈O 加氮 三 量 加∞ 澳 ㈦∞ mu， 曾1咖距上u辆 咖距4 3 2 1 上u、 咣咖第7期 庞鸿锋 等：基于高斯牛顿迭代算法的三轴磁强计校正 15094 实验及结果分析4.1 实验系统实验中对-款Mag3300三轴磁强计进行校正。实验系统包括无磁转台、笔记本电脑、mag3300三轴磁强计、质子磁力仪，磁强计安装情况如图3所示。磁强计分辨率为 1 nT，工作温度为-20～50 oC，测量范围为0～±100 000 nT，非正交误差约为0.5。。磁强计探头直径为 34 mln，长度为75 nqn3。采集界面由CBuilder编写，通过 MATLAB进行数据处理。采用质子磁力仪测量地磁场真实标量值。

图3 实验系统Fig.3 The experimental system4.2 实验步骤测量时选择长沙郊区磁场稳定地点，避免铁磁物质过多的环境 ，以保 证校 正地点 磁 场梯 度忽 略不计。

Mag3300磁强计固定于无磁转台，借助该转台对磁强计进行姿态控制。磁强计通电后 ，预热 5 min，保证其内部温度基本稳定，电路板工作完全正常。实验中，采用绕轴采样策略，磁强计绕 、y、z轴分别旋转数圈，转动过程中不断采集磁场测量值 ，采样频率为 20 Hz。

4.3 实验结果质子磁力仪测量的地磁场真实总量值为48 193 nT，利用高斯牛顿算法对磁强计进行参数估计并校正。该算法收敛速度快，迭代4次后参数收敛。绕 轴转动测量值校正结果如图4所示；校正后，RMS误差从 1 133.887 nT降低到36.964 nT。绕 l，轴转动测量值校正后，RMS误差从1 317.554 nT降低到 20.921 nT。绕 z轴转动测量值校正后，RMS误差从 1 303.994 nT降低到 15.664 nT∩知，Mag3300绕 3个轴的校正效果均良好，校正后误差降低 2个数量级，传感器精度明显提高。图4中，校正前的标准波形为正弦波，该波形由零偏、刻度因子和非正交误差引起。经过校正后，该波形被大幅抑制，从而减少三轴磁强计的转向误差。由于传感器各轴参数、轴间正交性不-致，以及传感器安装位置的差异性，导致传感器绕不同轴转动时，总量值变化情况存在差异。

图4 绕 轴转动测量值校正结果Fig.4 Calibration result of the magnetometerrotating around X axis单轴磁传感器误差主要为零偏和刻度因子误差 ，但三轴磁传感器还存在非正交性误差。另外，在传感器运用过程中，磁强计的姿态可能任意变化，而不是绕某个轴转动，所以为了估计的参数更具有代表性，把传感器绕 3个轴转动的测量数据全部用于参数估计和校正。这样 ，测量数据更能体现传感器在三维姿态变化激励出的参数，更加准确和具有实用意义。绕 3个轴转动的校正结果如图5所示，校正后 ，RMS误差从 l 247.338nT降低到l81.603 nT，可知通过高斯牛顿法校正后，传感器误差降低-个数量级。由图5可知，在 3个轴的数据全部用于校正的情况下，传感器的校正效果比绕 3个轴单独分别校正时效果略差。而且存在剧烈振动，这是因为磁力计存在非线性和磁滞 ，在姿态转动完整、对误差充分激励的情况下，传感器的非线性和磁滞更加明显。但是传感器各轴的非线性和磁滞不-致 ，故振荡程度有所不同，这与算法本身性能无关。

0 200 400 600 800 l 000测量点图5 绕 3个轴转动测量值校正结果Fig.5 Calibration results of the magnetometer rotatingaround X，Y and Z axes5 结 论三轴磁强计的零偏、刻度因子和非正交性误差影响其测量精度。本文对三轴磁强计误差进行了分析，推导了基工u莉 ￥t咖舶，1510 仪 器 仪 表 学 报 第 3 4卷于标量法的校正模型，提出了基于高斯牛顿算法的参数估计方法，对非线性校正模型直接进行迭代求解。采用高精度质子磁力仪提供标量基准值，改进了采用平均值和全球地磁模型的不足。无磁转台满足了三轴磁强计绕 、l，和z轴分别转动，保证了其测量数据具有更高的代表性。转动过程中，磁强计连续采样，采样策略更符合实际情况。

实验结果表明，磁强计绕其 3个轴的采样数据经过校正后，误差分别降低 2个数量级。该方法操作简单、可靠性高，能大大提高三轴磁强计测量精度，在航空测磁、卫星定姿、矿藏开采、地质勘探等方面具有良好的应用前景。