旋转双棱镜光束指向解析解

光束对准、跟踪和扫描系统已广泛应用于自由空间光通信、光互连、光电对抗、光电探测、激光武器、干涉测量等领域[16。而引导红外或可见光光束指向和跟踪 目标位置，实现光束的精密指向控制，必须设立光束指向机构。传统的光束指向机构有框架式光束指向装置、反射镜光束指向装置及折射棱镜光束指向装置 ]◎架式光束指向装置绕多个回转轴运动，转动惯量大且存在运动耦合、惯量耦合、以及线绕力矩干扰等问题，其动态性能受到限制，难以实现大范围高精度快速的光束指向调整[7]。反射镜光束指向装置-般只用于汹径光束的指向控制，其光束偏转特性对机械加工及装调误差敏感，故难以进-步改善该装置的光束指向精度和动态性能。作为折射棱镜光束指向装置的典型代表，旋转双棱镜(Risley棱镜)为光束指向调整和扫描提供了-种简单而充满潜力的方式[g]。旋转双棱镜光束指向装置的回转轴位于同-直线，无线绕力矩，无需滑环，避免了导线绕动问题，因而具有结构紧凑，转动惯量小，光束转向速度快，对载体振动不敏感，动态性能好，工作可靠性高的特点。。。

寻求两棱镜的方位与出射光束指向位置之间的内在联系是旋转双棱镜光束指向系统实际应用面临的基本问题L1 。由两棱镜的旋转角度位置推导出射光束的指向，是该项研究的基础前提。

传统方法多采用-级近轴近似来解决该问题，即将两棱镜都看作楔角很小的光楔，光束在棱镜主截面内偏转恒定的角度，双棱镜系统对光束总的偏转角度就是两棱镜偏转角度的矢量和81 引。

该方法是近轴条件下的薄棱镜近似，只适用于偏转角较小的双棱镜系统，对大角度范围光束转向的应用需求，还需要探讨精确的求解方法。利用如 ZEMAX等商业光学设计软件，虽然能得到精确的光束指向，但它是数值迭代方法，无法得出光束指向与棱镜方位的解析关系↑期 Yang和采用光线追迹方法分别对不同结构的双棱镜系统推导了光束指向随双棱镜角度位置变化的解析关系式，为双棱镜系统的大角度偏转应用提供了理论基赐方法导引[1，14]。

本文分别采用-级近轴近似方法和非近轴光线追迹方法探讨了光束指向随双棱镜角度位置变化的解析关系，对比分析了两种方法所得结果的准确性及适用条件并设计实验验证了研究结果。

2 -级近轴近似方法图 1为旋转双棱镜光束指向系统的结构示意图。两直角折射棱镜 Ⅱ 和Ⅱ2可绕共同中心轴z独立旋转 ，其直角面相互平行且垂直于 Z轴 。棱镜 Ⅱ 和Ⅱ 的顶角分别为a 和a。，折射系数分别为 和 ，其旋转角度 0 和 用棱镜尖端指向与 X轴正向间的夹角描述。入射光束逆 Z轴方向入射，出射光束指向用偏转角 和方位角0描述 。

- 级近轴近似方法将棱镜 Ⅱ 和 Ⅱ 看作顶角较小的光楔，它们对光束的偏转角分别表示为：1-a1( 1～ 1)， (1)-a2(n2- 1). (2)假定光束的偏转方向为偏向棱镜主截面厚端，与棱镜方位及入射光束方向无关。基于该近似，光束经过双棱镜系统后的指向可用中心算法第6期 周 远，等：旋转双棱镜光束指向解析解兀l图 1 旋转双棱镜光束指向系统示意图Fig.1 Schematic diagram of beam steering systemwith rotational double prisms得出，如图 2所示。0点代表系统光轴(Z轴)方向，两坐标轴 ，&代表光束在X轴、y轴方向上的偏转角度。以 0点为坐标原点的矢量描述了光束指向，矢量大小代表偏转角，矢量指向与 锻轴夹角代表方位角。光束逆光轴 z射入系统(0点)，从棱镜 Ⅱ 出射后，随着棱镜的旋转，偏转矢量 的末端将沿着以 的大小为半径的圆周运动。光束继续入射棱镜 Ⅱ ，偏转矢量 的末端将沿着以 的大小为半径的圆周运动。系统总偏转矢量 可看作6 和6。的矢量和。

图 2 中心算法推算偏转角和方位角Fig.2 Altitude and azimuth calculated by centeringalgorithm为 ：偏转矢量 在 ， 轴上的投影分量分别- 1COS 01 2COS 02， (3)1 sin 01 sin 02. (4)则出射光束的偏转角 和方位角 ###可通过下式计算：- / 2 l 2cos(O1- )， (5)tan###-恕 害羞. ㈤3 非近轴光线追迹方法入射光束逆 Z轴方向入射，其光线矢量表示为单位矢量：s (O，0，- 1) ， (7)棱镜 Ⅱ 左界面法线矢量可表示为：，l1- (sin口1 COS 01，sin 1 sin 01，COS口1) ， (8)应用矢量形式的斯涅尔定律可得棱镜 Ⅱ 左界面折射光线矢量：；i： [；-(；i·五 )五 ]- √1-去击(； ·五 )。。

(9)棱镜 Ⅱ1右界面和棱镜 Ⅱ 左界面相互平行，不改变光束的传播方向。入射到棱镜 Ⅱ 右界面的入射光线矢量为：s；： . (10)棱镜 Ⅱ 右界面的法线矢量可表示为：n2- (- sin O/2COS 02，-sin a2 sin 02，COS口2).(11)应用矢量形式的斯涅尔定律可得棱镜 Ⅱ。右界面的折射光线矢量：；z：，l -(； · ) ]- 。 承虿 。

(12)综合式(7)～(12)可得出射光的方向余弦：rK-a1 COS 01a3 sin口2COS 02L-a1 sin 01 a3 sin口2sin Oz ， (13)Ma2-a3COS a2其 中：n - -n2nl sin Oil(c。s - F-面sin )； l o 1 √n 。 1口z- -鲁( F -c。s a sin20，1)；口3- - (n1 sin口2 COS，AO-a2COS d2)41-n；(口1 sin a2 COS△ -n2COS O/2) ；AO02-0(14)则出射光束的偏转角 和方位角###分别为：-arccos(-M )， (15)第6期 周 远，等：旋转双棱镜光束指向解析解硅(在 1 550 nm波长处折射系数为 3.478)。由式(13)～(15)求得图 3(a)和(b)对应系统的最大偏转角为 10.678 2。，图 3(c)和(d)对应系统 的最大偏转角为 39.272 7。。

比较图 3(a)和(c)可知，△ 为负值，这表明系统偏转角的-级近轴近似解比非近轴光线追迹解校系统的最大偏转角越大 ，两解的差异越 明显。两棱镜角位置之差为 0。时，两解差异最显著 ，此时系统偏转角达到最大值 ；两棱镜角位置之差为 180。时 ，△ 为 0。，此时出射光束无偏转 。图3(b)和(d)展示了方位角差值 △###。两棱镜角位置之差为 180。时，出射光束无偏转，为系统奇异点，方位角 ###无意义；两棱镜角位置之差为 9O。

时，两解差异最显著；两棱镜角位置之差为 0。时，AO为 0。。

图 3(e)和(f)与图 3(c)和(d)相对应 ，展示 了l△ I、1 A0 I随出射光束指向的变化关系。由图可知，l AcpI、l A0I的分布关于两棱镜中心轴对称，出射光束偏转角越大，偏转角两解之差I△ l越大。方位角两解之差 I A0l在偏转角为 0。和最大时其值为 0。。当光束偏转角为某-值时，J A0l存在极大值▲-步分析表明，该偏转角对应的两棱镜角位置之差为 9O。。

由以上分析可知，当双棱镜系统对光束的偏转角较小时，传统的-级近轴近似法的计算结果与非近轴光线追迹法的结果相差较小，-级近轴近似法可用来描述出射光束的指向。当光束偏转角增大时，两方法的计算结果差异变大，-级近轴近似法难以准确描述双棱镜系统的光束指向。

5 实验验证双棱镜光束指向实验系统由激光器、旋转双棱镜 系统及光屏构成 ，其示意图如 图 4所示。激光器发出波长为 532 nm的绿色光束垂直入射双棱镜系统，控制器控制伺服系统驱动两棱镜旋转以调整出射光束指向，测量光屏上光斑 P的坐标位置( ，P )来计算出射光束的偏转角 及方位角###。两棱镜材料为 K9玻璃，顶角为 1O。，实验中光屏离双棱 镜的距离为 3 m。实验时，从 0-始每隔 3O。设置两棱镜的角位置，即每个棱镜设置 12个角位置实验点，共组合 12×12套棱镜角位置值。针对每套棱镜角位置值，测量出光屏上光斑点 P的坐标以算出光束偏转角 及方位角### 。基于这些角位置值分别用-级近轴近似方法和非近轴光线追迹法求出对应的光束偏转角 ，和方位 ### ，### 。

图4 双棱镜光束指向实验系统示意图Fig.4 Schematic diagram of experimental system fordouble-prism beam steering图 5将两种方法的计算结果与实验结果进行了比较。图 5(a)和(c)展示了出射光束偏转角和方位角的-级近轴近似解与实验值之差，分别表示为 △ 1(△ l- 1- )和 △###l(###l-### )。图 5(b)和(d)展示了光束偏转角和方位角的非近轴光线追尖与实验值之差，分别表示为 △ (A- z- )和 △###2(A###2-###2-### )。当 01和 之差为 180。时，出射光束指向中心光轴方向(即图4中的虚线方向)，方位角无意义 ，出现奇异点 。因此在图 5(c)和(d)中，当l 0 -0 l-180。时，△###和 △### 无值。

分析图 5(a)可知，△ 为负值，这表明偏转角的-级近轴近似解比实验值校两棱镜角位置0 和 0 之差为 0。时 ，I△ I最大 ，即偏转 角的-级近轴近似解相对实验值偏差 最大。0 和 之差为 180。时，Acp 接近 0。。图 5(c)描述了方位角- 级近轴近似解与实验值的差 异。0 和 之差为 90。时，I△### l值最大。

图 5(b)和(d)对非近轴光线追尖与实验值进行了比较，可知 △ 和 A0。的值在 0。上下波动。实验中存在的误差使出射光束偏转角和方位角的实验值均偏离非近轴光线追尖，导致了△ 和 A0 相对零值的偏离。尤其当0。和 之差接近 180。，即出射光束指向中心光轴附近时，I AO l显著增大。这是由于当光斑 P越靠近图4中的 O点，光束方位角的测量值对 P的坐标值( ，P )测量误差越敏感。

实验中影响光束指向精度的主要因素包括系统加工误差、对准误差、标定误差以及测量误差。

光学 精密工程 第21卷图5中采用的-级近轴近似解和非近轴光线追迹解都是针对加工和装调理想的系统，按照标称的光学及结构参数推导得出。但实验中由于加工或环境因素的影响，-些实际参数，如棱镜的折射系数、顶角等，将不可避免地偏离标称值，因此产生实验误差。在系统装调时，光轴或机械轴的对准误差，如棱镜倾斜、旋转轴倾斜等，也将为实验带来系统误差。在系统标定时，存在棱镜角位置的零位误差、光屏坐标标定误差等。实验中还存在(a)△ 1- 1-46 结 论(c)△###1-###1-棱镜角位置误差、光斑位置坐标测量误差等偶然误差。这些误差对光束指向精度的影响有待深入研究 。若忽略实验误差影响进行对 比分析 ，出射光束偏转角和方位角的非近轴光线追尖与实验值符合较好，而相应的-级近轴近似解与实验值存在明显偏差。-级近轴近似法得出的偏转角偏小，且光束偏转越大，该偏差越明显。两棱镜角位置之差为 9O。时，-级近轴近似法得出的方位角与实验值偏差最大。

(b)△ - -(d)△02-02-图5 两种方法计算结果与实验结果的比较Fig.5 Comparison of results among tWO methods and experiment本文利用-级近轴近似方法和非近轴光线追迹方法探讨了旋转双棱镜的光束指向机制，并由两棱镜的角位置推导出出射光束的指向。分析出射光束偏转角和方位角的-级近轴近似解和非近轴光线追尖，并与实验结果比较表明，非近轴光线追迹方法推算出的光束偏转角和方位角值与实验值符合较好，而传统的-级近轴近似方法的推算结果与实验值存在偏差。-级近轴近似方法推算出的光束偏转角偏小，且系统对光束的偏转角越大，该 偏差越 明显 。当两棱镜 角 位置之 差为90。时，-级近轴近似方法推算出的光束方位角与实验值偏差最大。因此，对于光束偏转角较大的旋转双棱镜光束指向系统，传统的-级近轴近似方法推算结果准确性低，需要采用精确的非近轴光线追迹方法来探讨其光束偏转机制。