旋转双棱镜光束指向的反向解析解

旋转双棱镜(Risley棱镜，累斯莱棱镜)通过光的折射改变光束传播方向，可用于光束对准、跟踪和扫描系统，实现光束指向的精确控制。旋转双棱镜光束指向系统结构紧凑、指向精度高、动态性能好、可靠性高，在自由空间光通信、光互连、光电对抗、光电探测、激光武器、干涉测量等领域有着广泛的应用1 ]。为精确控制光束指向，探讨两棱镜的方位与出射光束指向位置之间的内在关系g 是重要的研究课题。该课题存在两个需要解决的基本问题：-是如何由两棱镜的旋转角度位置推导出射光束的指向；二是如何由光束的目标指向反向推知两棱镜的旋转方位，也称为反向问题♀决第-个问题有-阶近轴近似、三阶近似、非近轴光线追迹等方法。为实现光束的精确指向，第二个问题的解决更为重要，但关于其研究的报道却较少。因此，系统研究旋转双棱镜光束指向系统的反向问题，探讨得出准确解析解的有效解决方法具有显著意义。

Boisset等基于近轴理论，提出迭代算法求解反向问题l 。Degnan等运用近轴光线矩阵方法，根据光束目标指向来推导两棱镜的方位 。

2011年，Li针对反向问题提出了三阶近似方法1 。这些方法都是基于-阶或三阶近似，其解的准确性受到限制↑期，Yang和 Li分别针对主截面为等腰和直角三角形的旋转双棱镜，利用光线追迹方法推导得出了-组精确的反向解析解 ，为双棱镜系统的大角度偏转应用提供了理论基赐方法导引[9 引。本文分别采用-阶近轴近似方法和非近轴光线追迹方法探讨了旋转双棱镜系统反向问题的完整精确解析解 ，并对两种方法所得结果的准确性进行了对比和实验验证 。

2 基于-阶近轴理论分析反向解析解图 1为旋转双棱镜光束指向系统的结构示意图。两直角折射棱镜 Ⅱ 和 Ⅱ 的直角面相互平行且可绕垂直中心轴 Z独立旋转。两棱镜的顶角分别为 a 和 a ，折射系数分别为和 n。，其旋转角度 0 和 0。分别用棱镜尖端指向与 x轴正向间的夹角描述。入射光束逆 z轴方向入射。出射光束指 向用偏转角 和方位角 ###描述 。

基于-阶近轴理论的中心算法假定单个棱镜总使光束偏向主截面厚端，Ⅱ 和 Ⅱ 对光束的偏转角 和 。只决定于棱镜顶角和折射系数，与棱镜方位及入射光束方向无关 ，表达式为 ：- ( 1( 1- 1)， 2- ot2( 2- 1). (1)基于该近似，中心算法可由图 2描述。0点代表系统光轴(Z轴)方向，两坐标轴 文， 代表光束在 X轴、y轴方向上的偏转角度。以 O点为坐标原点的矢量描述了光束指向，矢量大小代表偏转角，矢量指向与 文 轴夹角代表方位角。

光束逆光轴 /进入棱镜 Ⅱ 出射后，随着棱镜的旋转，偏转矢量 的末端将沿着以 的大小为第7期 周 远，等：旋转双棱镜光束指向的反向解析解n图 1 旋转双棱镜光束指向系统示意图Fig.1 Schematic diagram of beam steering sys-tern with rotational double prisms半径的圆周运动。光束继续入射棱镜 Ⅱ ，偏转矢量 6 的末端将沿着以 6 的大小为半径 的圆周运动。系统总偏转矢量 可看作 和 z的矢量 和。

、 ，、 ，、 ，、 ，、 ，、 /、 / /、、、 、. . ，/，，. ～ ～ - - - -- 图 2 中心算法求反向问题的近似解析解Fig.2 Approximate analytical solutions to reverseproblem obtained by centering algorithm反向问题的求解是针对给定光束目标指向位置的偏转角 和方位角I曰I，推导两棱镜的旋转角度。对于确定的旋转双棱镜系统， 和 。是固定的。以 。， ， 为三边可构造两个全等三角形，因此-个目标指向存在两套反向解，分别表示为 0 。，0 及 0” ，0” 。由几何关系易求得三角形两内角 of和 分别为：a arccos( )，- arccos( )。

由图 2可知，第-套近似解 。，0 为：0 1- ###-a，0 2 ###p；第二套近似解 、 为：0 1- ### a，0”2 ###-(2)(3)(4)(5)3 非近轴光线追迹法分析反向解析解图 1中当光线逆轴 z入射时，基于矢量形式的斯涅尔定律对旋转双棱镜系统进行非近轴光线追忌得出射光的方向余弦(K，L，M)为：fK - a1 COS 0l a3sin a2 COS 02L 1 sin 01 a3 sin a2sin 02 ， (6)LM 口2-a3 COS a2其中 ：口 1 -n2sln口l(cos口1- )，1口 -- ( COS sin )，1n3： - (口1 sin a2cosAO- 口2COS a2)dl- ；(a1 sin a2cosA 0-a2 COS a2)。，AO 02- 0 (7)则出射光束的偏转角 为：- arccos(- M ). (8)对于确定的旋转双棱镜系统， 、7"/ 、a 、a固定 ，分析式(6)～(8)可知，偏转角 仅撒于两棱镜的方位夹角I△ J- l -0 I。给定光束目标指向位置的偏转角 后 ，由式(6)～(8)可得 ：1△ 1 arc。s( z×(1-n；-( )。)))。

(9)为得到两棱镜的旋转角度 0 和 0 ，可采用两步法[ ]。第-步是保持其中-个棱镜不动，旋转另-个棱镜，使两棱镜方位夹角达到式(9)限定的值，此时出射光束的偏转角达到目标值；第二步是在保持两棱镜的方位夹角不变的条件下同时旋转两棱镜，使出射光束的方位角达到目标值。对第7期 周 远，等：旋转双棱镜光束指向的反向解析解0图 4 非近轴光线追迹法两组解中两棱镜旋转角度的差值 ：/x- I - 2 ：0 2 - 1Fig.4 Difference of tWO prisms rotation angles in twogroups of solutions by nonparaxial ray tracingmethod：△-0 l - -0 2，- lO- l- 2. 3- 4- 5l06-420. 2lOl05 实验验证l04.2 两种方法得到反向解的比较利用两种方法得到的第-组解 0 ，0 与 0 ，0 ： 相对应，第二组解 ， 与 ， 相对应。

两种方法所得结果存在差异，依次表示为 A -0- 0 l、A 2- 0 2 - 0 2、A”1- h- l、A”2- 2 -。 ，其 比较结果如图 5所示。由图可知 ，- 阶近轴近似方法与非近轴光线追迹方法所求得的反向解存在较大差异。对于 10。偏转角的目标指向，两种方法求得的棱镜旋转角度的差值大于 4。。两种方法求得的反向解差值的出射光束指向分布关于系统中心轴旋转对称，相同偏转角下差值相等。目标位置偏转角越大，两种方法所得结果的差异越大。

图 5 两种方法得到反向解的比较Fig.5 Comparison of reverse solutions obtained by two methods双棱镜光束指向实验系统由激光器、旋转双棱镜系统及光屏构成，其示意图如图 6所示。激光器发出波长为 532 nm 的绿色光束垂直入射双棱镜系统，控制器控制伺服系统驱动两棱镜旋转以调整OO出射光束指 向，通过测量光屏上光斑 P 的坐标位置( ，P )来计算出射光束的偏转角及方位角的实验值 和### 。两棱镜材料均为 K9玻璃，顶角为 1O。，实验中光屏离双棱镜的距离L为3 m。

实验中，目标指向位置的偏转角目标值分别取1，7，1O。，方位角从 0。起每隔 22.5。取-个目标值。

由这些目标指向位置分别用-阶近轴近似法和非l 2 3 4 5 6 7 8 9 O O 0 O O O O O O 5 5 5 5 4 3 3 2 2 O O -曩 ㈠5 5 5 5 5 0 之 0 0 4 4CJ 5 5 5 O 0 也 0 0 45 5 5 5 5 4 4 3 3 2 2 1 l O -- 光学 精密工程图 6 双棱镜光束指向实验系统示意图Fig.6 Schematic diagram of experimental systemfor double-prism beam steering近轴光线追迹法解算反向解并依此设置两棱镜的角位置。逐个测量光屏上光斑 P的坐标位置(P ，P )，结合光屏距离算出相应的偏转角和方位角的实验值。-阶近轴近似法第-套解对应的实验值记为 和 ### ，非近轴光线追迹法第-套解对应的实验值记为 和### ，将两种方法的实验值与目标值相比较以探讨它们的准确性。

图 7展示了两种方法第-套解对应的出射光束偏转角的实验值 和 ，其中图(a)、(b)、(c)对应的目标转向角分别为 1，7和 10。。由图可知，非近轴光线追迹法对应的转向角实验值 较接近目标值。-阶近轴近似法对应的实验值与目标值存在偏差，且出射光束偏转角越大，与目标值的偏差越大。图 8展示了两种方法第-套解对应的出射光束方位角的实验值与目标值 ###。

的差值 △### (△### -### -###。)和 △### (△### ###- ###。)，图(a)、(b)、(c)对应 的 目标 转 向角分别为1，7和 1O。。受实验误差的影响，△### 在 O。值上下波动，而 △### 值整体偏离 0。。

实验中，两棱镜的旋转角度值由角度传感器测得，其测量准确度撒于传感器精度及旋转零位置的标定精度。出射光束偏转角及方位角的实验值和### 由光屏上光斑 P的坐标位置(P ，P )推算得出，其准确性 撒于 P 和 P 的测 量精度。另外，棱镜的加工误差、系统的装调误差等都将-定程度地影响实验结果。文献[15]对旋转双棱镜光束指向系统的误差源及它对光束指向精度的影响做了详细的论述。比较较 7、图 8所示的实验结果可知，相对出射光束偏转角，方位角的实验值波动较大，实验误差较明显，且光束偏转角越小，方位角的实验误差越大。该现象源于偏转角和方位角对光斑 P的坐标值( ，P )测量误差的敏感性差异。

第 21卷由图 6可知：～ ctan(平 )，tantanp户，P ≥ 0，P ≥ 0 27r，P ≥ 0，P < 0。

7r，P < 0(1 7)由于P 《：L，P 《L，则由式(16)和(17)可知，对( ，P )测量误差不敏感，而( ，P )测量误差对 ### 的影响却不可忽略。由P ，P 的测量误差劬 和 ，导致的### 的改变量为：1e 1 P 3p - py3pz · 8由式(18)可知，光束偏转角越小， P；越小，而沁 越大。

. 2.2 瓣 .。 量 。 譬。 ～篡. 。 ， . .1100 150 200 250 300 350(。

- -- --1 -- --- -- --- 1 -- -- --- -- -1 -- --- -- --- -r --- -- -- r- -- --- -- --- 0 D 0 n 口 0 a a 0 a 啐] li1 l：：：：： ........J.. ....... .. .. . .. .J............................. .. .. ..， .. ， ，. ..I.。........。.................. ..... ...， .....，。

图 7 两种方法第-套解对应的出射光束偏转角实验值Fig.7 Experimental values of deviation angles of OUt-going beams corresponding tO the first group ofsolutions by two methods0/(。)(a)1。

/ / 、 -匿 匿-。vm --第7期 周 远，等：旋转双棱镜光束指向的反向解析解 1699O0el(。)(C)10。

图 8 两种方法第-套解对应的出射光束方位角实验值与目标值的差值Fig.8 Difference between experimental values and re-quired values of azimuth angles of outgoing beamscorresponding tO the first group of solutions bytwo methodS综上所述 ，若忽略实验误差 的影响 ，利用非近轴光线追迹法推算的反向解与实验结果符合较好；而相应的-级近轴近似解与实验结果存在偏差，且出射光束偏转角度越大，该偏差越明显。