离面准李特洛色散光路的光程差

李特洛色散结构是光线垂直光栅阶梯反射面入射的-种经典色散结构。该结构下，闪耀波长处的光线沿原路返回，且能够获得最大光谱分辨率1]， ，它还具有结构简单紧凑等优点，广泛地应用于棱镜、光栅色散系统以及可调谐激光器李特洛谐振腔中l3 ]。然而，在光谱色散的实际应用中，入射、衍射光束的重合给元件布局造成困难。为此，发展出了入射光和阶梯反射面法线间存在很小偏角的准李特洛光路。

当该偏角垂直于光栅色散方向时，称为离面准李特洛(OP-QL)光路，它在保证衍射效率的同时有效解决了元件布局问题 ， 。

离面角的引入不可避免的给光路带来新的变化 ，研究掌握这些变化，是改进优化光路的必要条件。其中代表性工作是 Peter Lindblom[ ，他将 Beutler[。]和 Namioka[13提出的凹面光栅光程函数推及至球面反射镜系统，并推导了OP-QL光路的光程差(OPD)。这些有关光程差的研究 ，均默认准直镜、光栅、成像镜的子午和弧矢光束相互对应 ，因此通过直接将各个元件在对应面内的光程差相加来获得整个光路的子午光束光程差(子午光程差)和弧矢光束光程差(弧矢光程差)。但实际上离面角的存在使得光束发生旋转，准直镜、光栅和成像镜三者的弧矢光束不再相互对应，这样简单相加有悖事实。本文首先分析 OP-QL光路中各元件子午、弧矢光束的相互关系，接着提出求解球面镜沿任意方向光程差的方向导数法，进而导出OP-QL光路的光程差，并以实例验证本文的分析结果。

1 OP-QL光路中各元件子午、弧矢光束的相互关系如图 1所示，OP-QL光路由准直球面镜 M 、闪耀光栅、成像球面镜 Mz组成，光栅为孔径光阑。来 自点光源 A的光经M 准直后倾斜入射在光栅上，光栅将光束色散成为不Condensing mirror(M2)Hg.1 Off-plane quasi-Littrow(OP-QL)dispersion mounting收稿日期：2012-11-13。修订日期：2013-03-04基金项目：国家自然科学基金项目(21105055)资助作者简介：张尹馨，1978年生，天津大学精密仪器与光电子工程学院讲师 e-mail：yinxin###tju.edu.cn通讯联系人 e-mail：yanghd###tsinghua.edu.cn第 7期 光谱学与光谱分析 1993同方向的单色平行光，而后经 Mz会聚成为不同位置的单色像点。

分析该光路会发现：对于M ，轴外点A和光轴 U1形成子午面-U O L 面，与之垂直的 W 0。U 为弧矢面；对于光栅G，其栅线只有与U 0 L 面平行，才能使该面(或与之平行的面)内以离面角 7入射的光无色散的以反射角-7出射，因此包含栅线和法线的面将是光栅的子午面--LN面，与之垂直的面是弧矢面-w0N面；对于M2，其子午面平行于栅线方向，即 L2 02 U2面，而 W2 02 U2面为弧矢面。

至此可以得出结论，来自准直镜、光栅、成像镜的子午光束将--对应。但对于弧矢光束，情况则不同〖察光栅色散方向含WO轴的弧矢光束，由于离面角和入射角的共同作用，该光束在 M 上不是对应含 w 01轴的弧矢光束 ，而是对应于含O P 的光束，该光束相对于 M 的弧矢光束轴旋转了角度铆。同理，沿弧矢方向出射的衍射光束也不再与Mz的弧矢光束对应，而是对应于旋转角度 的含02 P2的光束。由图中几何关系可得 和 为tan(- )- tan)'tan/ (1)ta - tan)'tanO (2)其中i和0分别是光束在光栅主截面上的入射角和衍射角。

在像面F 上，子午光束将对应MM 方向-平行 02 L2，弧矢光束将对应于KK 方向-平行Pz P2 。

综上分析可见，OP-QL光路中各元件的子午光束--对应，而弧矢光束的旋转使得光栅弧矢光束对应的是球面镜上与其自身弧矢方向成确定夹角的光束。因此，不能认为系统弧矢光束光程差就是各元件弧矢光束光程差的直接叠加，必须解决相互间有旋转的光束光程差如何叠加的问题。

2 球面反射镜的光程差为求解两个反射球面镜在非子午和弧矢方向上的光程差，我们提出了用方向导数来求解的方法。

ZXFig.2 Schematic layout of the spherical mirror球面反射镜系统如图2所示，球面镜曲率半径为R，球面顶点0(0，0，0)，曲率中心C(R，0，0)，相对孔径为 h。

P(u，z，例)是球面上的任意反射点，A(x，Y，O)为物点，B(z ，Y ，O)为共轭像点，那么AOB为主光线，APB为任意光线，r和r 分别是物距和像距。令F为光线APB的光程，有FAPPB，那么F将随P点位置的变化而改变，设任意方向置，则F在P点沿茁向的方向导数为蓑f，- c。s OFc。s OFc。s (3) I P瓦o十 o十P点在球面镜边缘时，似 有最小值，对于石向的任意点均有∞ ≤ - (4)√(2F h-/4 h-1)1当Fh3时，cosgx0，即9x /2， ≈ /2- ，此时式(3)可简化为瓦3F≈ 3Fc∞w 3F si (5) 0S 令 1 0P l：k，则有Z kcosy·W - ksin根据 Beutler[。 及 Namioka[ 的凹面光栅光程函数，令光栅常数为无穷大，可得到球面镜的光程函数 F的表达式，当球面镜为准直镜，即 rtCo时，F在 P点沿石方向的方向导数为蒹-尼 ( - )sin2(rl- )]号 。s。 ( - )， - -COSa、-2r r ，c。s ( - ) 0 1 J十2kScos4 ( ) ( - )-ks in2COy(4r- 曼R )(÷- ) r ， r R，。(专- ) (÷- 2cosR 2R2 )- 2，卫 r 。 I r Rks s2in，4， 1- COsa) (6)特别的，若在式(6)中令 -O即为子午方向的光程变化率，令 - /2即为弧矢方向的光程变化率。由费马原理可得球面镜子午和弧矢焦点位置分别为嘲- RCOS； - R (7)- )可见，式(6)包含着子午方向、弧矢方向的光程变化率，并拓展到了任意方向。根据光程差的定义，可进-步得到主光线(AOB)与任意光线(APB)的光程差为△F-r百3F (8)至此，以式(6)和式(8)为核心我们可以方便的计算球面镜任- 光线与主光线问的光程差。并称该方法为求解球面镜光程差的方向导数法(本文简称方向导数法)。该方法为研究包括OP-QL光路在内的各种由多个光学元件组成的复杂光路提供了必要工具。

3 QL-OP光路的光程差函数进-步运用方向导数法可解决离面自准直色散光路中的1994 光谱学与光谱分析 第 33卷光程差问题。由第 1节可知，发散光被 M 准直，经闪耀光栅衍射后各波长光束仍为平行光，而后 M2将其会聚至像面。该过程中，虽然理论上平面光栅不产生像差，但它却改变了来自准直镜的光束宽度 ，并且把准直镜产生的任何像差都传递至下-级光路[91。因此，系统边缘光线与主光线的光程差将为 M 和 M：z在对应方向上边缘光线和主光线的光程差之和，即△F- OF，dk 象dkz- ·如z(9)由图 1和光程函数的推导过程可知，光源 A、像面 F 、边缘光线将共同决定 △F。在OP-QL光路中，光源A和像面F 分别位于M 弧矢焦点和 Mz弧矢焦面处，在系统子午方向上有 。 ； - 亳I (1O)1rsl r2 2那么中心波长处任意子午光线与主光线在 F 面的光程差为△F -△F 1△F- 2-I F， 1dl1l F，胍2dl2J f1 J- l2(11)其中，zt和zz分别是入射和出射光栅的子午光束宽度Zl- ；l2- -cosy (12) COSI COSot2将式(11)展开，并按与像差的对应关系整理，可以得到△F - F . F F s砷.ab。

(- /2≤ ≤ /2) (13)其中.- ( )Ⅲ△ -- (-丽sin4 al十 sin4 az)(15)LXFM.rph. - - (1osi -1)(10 si z )] (16)再考虑与光栅弧矢光束相对应的系统光束(Tg妨称类弧矢光束)的光程差。此时有- 1鲁--z z-1毫-， (17)1 1 r2rs2令 K -l O1P I-IlP 1 l，Kz-l 02P2 I-1 02P 2 l，光栅刻划宽度为 ，当满足条件 - /2≤ ≤ w /2时，K1- ；K2： -wgc-os (18)那 么△F - 1△F陆2-l F， ldk1l F， 2dkr0 0 2 rJ K 1 J -2(19)将△F 展开并按像差分类整理后有△氏 △F - △R6 amua △F 卿.ab. (2O)其中- - (21)com a - - 絮 (2) 。 4尺2 。 R哦 - (1oSi0s n2- 1)-坠 (10 inz。 -1)-4R； 。 ～( - ) 4R1 0 l 2 JlK4cos4qcos3a1. - ! 丝。

4R 4Ri( - ) (23)至此，OP-QL光路的子午光束和类弧矢光束的光程差表达式都已得到。它不但如实反映出离面角产生的光束旋转问题，而且可直接计算出系统沿垂直色散方向和色散方向的光程差。这为进-步研究系统的像差，改进和优化系统提供了更准确的理论工具和分析方法。

4 实例验证由OP-QL的光程差表达式可知，系统光程差是光栅孔径的函数。对于实例设计，我们可以用上述解析方法计算并绘制子午光束和类弧矢光束光程差随 和W 的变化曲线。

而对该实例设计，用ZEMAX进行光线追迹，也可以得到不同孔径光线与主光线的光程差的具体数值。比较两者的偏差是验证 OP-QL系统的光程差函数的有效方法。

表 l给出两个代表性的设计例以验证结果 ：凶梯光栅OP-QL光路(Model 1)和中阶梯光栅 OP-QL光路(Model 2)，具体参数如表 1所示。图3是ZEMAX中的三维光线追迹情况 。

Table 1 Parameters of OP-QL mountings图4为 Model 1在子午或类弧矢方向的光程差随光栅孔径的变化曲线，其中图4(a)是利用式(13)和式(20)解析计算的曲线与光线追坚果的对比，图4(b)为它们之间的误差曲线∩以看到解析法求出的曲线与光线追迹的结果能很好吻合。最大偏差随孔径的增大而增大，若以追迹的结果为基准，在光栅子午或类弧矢方向的最大孔径处，子午方向的绝第7期 光谱学与光谱分析 1995对偏差为-0.32 ttm，相对偏差为 1.56 ，在类弧矢方 向上绝对偏差为-O.05 ttm，相对偏差为3.14%。

图5为Model 2在子午和类弧矢方向的光程差随光栅孔径的变化曲线♀析法求出的曲线与光线追迹的结果吻合得呈套也很好。以追迹的结果为基准，在子午或弧矢方向的最大孔径处，子午方向上绝对偏差为 0.22 btm，相对偏差为 2.18 ，在弧矢 方 向上 则 绝对 偏 差为 - 0.04/zm，相 对偏 差 为1O.57 。

Fig.3 Models of the OP-QL dispersion mounting(a)：M odel 1：using echelette grating；(b)：Model 2：using echele grating14l2lO-O.3- O35.O.4.40 -3O -2O .10 0 10 20 3OAperture ofEehelette/mm Aperture ofechelette/mmFig.4 OPD between the meridian or near-sagittal rays and the chief ray in model 1(a)：Calculated results and zemax outcomes；(b)：Absolute deviation between calculated results and zemax outcomes. 1O0 -50 O 50 lO0Aperture ofechelle/mm Ape rture ofeehelte/mmFig.5 OPD between the meridian or near-sagittal rays and the chief ray in model 2(a)：Calculated results and zemax outcomes；(b)：Absolute deviation between calculated results and zemax outcomesm o 0 舢 叭 舭ur Ⅱ(I q n10∞ 《 --In、IDI苗lA 勺 拿-。田 《8 6 4 2 O 目T1，o 01996 光谱学与光谱分析 第 33卷5 结 论综合Model 1和Model 2可以看出：(1)曲线如实反映了光程差随孔径的变化关系。当物点 A和 F 分别在 M 弧矢焦点和Mz弧矢焦面时，F 面 KK 向的像差较小，象散的存在使得MM 方向的像斑展宽较大，因此，子午光线较弧矢光线与主光线的光程差随孔径的增大更为迅速。(2)解析计算值与 ZEMAX追坚果存在着偏差。主要原因是 ：①Beutler用级数展开求解光程函数时只保留了低级次项，光程差函数仅References能体现初级像差，而ZEMAX光线追坚果包含高级像差对光程差的影响；②计算时假定入射光栅的为理想平行光，光栅对光程差无贡献，而实际上球面镜的像差使得人射光栅的光线并非理想平行光，对光程差有微弱影响。相对偏差较大的均为光程差绝对值qld，的点，在这些点处，微续对偏差就会导致较大相对偏差。

综上所述，本文揭示了OP-QL光路中离面角引起光束旋转，球面镜和光栅的弧矢光束不再相互对应的特性；所提出的方向导数法能求解球面镜沿任意方向的光程差；所导出解析方法能准确的求解离面自准直色散光路光程差。

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Optical Path Difference in Off-Plane Quasi-·Littrow Dispersion MountingsZHANG Yin-xin ，YANG Huai-dongz ，HUANG Zhan-hua ，JIN Guo-fan1.College of Precision Instrument and Opto-electronics Engineering，Key Laboratory of Opto-electronics Information Technolo-gy(Tianjin University)of the Ministry of Education，Tianjin University，Tianjin 300072，China2.State Key Laboratory of Precision Measurement Technology and Instruments，Tsinghua University，Beijing 100084，ChinaAbstract The present paper analyzes the relative relation between the meridian and sagittal rays in off-plane quasi-Littrow (OP-QL)dispersion mountings.ItS concluded that the ofplane angle wil cause the rotation of the beam and result in the mismatchbetween the sagittal beams on different optical elements.Therefore the total optical path difference(OPD)should be an accumu-lation of corresponding beams instead of the sagittal beam of each element itself.Then，a directional derivative based method iSput forward to calculate the OPD for spherical mirrors in various directions.Based on the method，the numerical OPD for OP-QL mountings is solved.Finaly，this methodology is validated with both eehelette and echelle examples。

Keywords Optical path difference；Off-plane quasi-littrow mountings；Sagittal raysCo rresponding author(Received Nov.13，2012；accepted Mar.4，2013)] ] ] ] ] ] ] ] ] ] l 2 3 4 5 6 7 8 9 K[ rL rL [ rL rL rL rL [ rL