基于Hartmann-Shack波前检测原理的微透镜阵列焦距测量

微透镜 阵列作为微光学 领域 的-个重要 部件口4]，因具有高衍射效率和较宽的工作波段而被广泛应用于现代光学系统 中，如光准直 系统56l，三维成像系统口 和 哈特 曼波前 检测 系统 州等 。

同传统的透镜-致，焦距是 微透镜阵列的核心参数 ，其精确检测将影 响光学系统的精度 。随着微透镜阵列加工工艺的提高Do-u]，现代光学系统中使用的微透镜阵列向着子单元孔径小，阵列数多的方向发展[ ”]，这使得微透镜阵列的焦距检测不仅需要较高的精度，而且需要较高的效率。为提高微透镜 阵列 的检测 精度 ，F.Lei和 L.K。

Dang使用光栅剪切干涉仪对微透镜及其阵列元件进行定焦检测 ，测量精度可达 1.5 ，但该方法测量效率偏低 ，不 能完成阵列数较 多的微透镜的检测；Schwider.J等人使用泰曼-格林干涉仪对微透镜进行定焦测量 1 ，该方法逐个对微透镜阵列子单元进行定焦测量 ，不仅效率偏低 ，且精度偏低(约为 7 ～1O )。为提高检测效率，常采用放大率法对微透镜阵列进行测量口 。该方法的测量效率和精度都较高，精度可达到 2 左右 ，- 次能完成多个子单元的检测 ，但受平行光管焦距的限制，较难完成短焦微透镜阵列的测量；而基于光栅衍射法测量时[1 ，由于相邻子单元 间的干扰 ，又很难完成长焦阵列的检测 。

微透镜阵列焦距的检测方法既需要较高的检测精度和效率 ，还需要适用 于不 同焦距类 型的微透镜阵列 。针对上述检测难题 ，本文根据哈特曼-夏 克波前 检测原 理，结 合 图像 清 晰度定焦 技术(Focus Determining Technique by Imaging Defi-nition，FDTID)1 ，提出了利用微透镜 阵列检测平面和球面波前光斑的偏移量来完成微透镜阵列焦距测量 的方法。

2 测量原理哈特曼-夏 克波前 传感 器 (Hartmann-ShackSensor，HSS)检测技术的核心是 ：微 透镜阵列各个子单元将被测入射波前细分，并通 过微透镜阵列成像在相应的子单元焦面上的探测器上 。如图1所示 ，平行光管出射波前为平面波，对微透镜阵列各个子单元，平行光入射汇聚成像在相应的焦点 M 上(图 1中虚线所示)；加入标 准透镜后 ，平行光管的出射平面波前转换为球面波前，由于微透镜阵列子单元较小，其细分的各个入射波前曲率半径变化不大 ，即可将细分 的球面波前看成斜入射的平面波 ，入射角为 a(图 1中实线所示)；根据两次波前成像时像面光斑偏移即可完成测量 。

图 1 哈特曼-夏克 波前传感器检测原理Fig.1 Measuring principle of HSS根据光学成像原理，平行波前入射时光斑中心在子单元的焦点 M 处；当球面波前入射时，像点位于点 Q。由于微透镜阵列为平 凸结构 ，其焦距即为顶点到焦点的轴线距离。根据 HSS波前检测原理 ，微透镜阵列-个子单元的中心点 P，该子单元像面上光斑的中心 Q和被测波前的曲率中心 0共线 ，即△PQM1和△0QN 相似 ，计算焦距 厂：f- af- Ah≈ ·L△，. (1)-S式 中：z为球面波前入射时微透镜阵列表面和焦面间的距离 ；Ah为微 透镜 阵列刻蚀 的球 面镜 矢高，通常 Ah《 ，对焦距的影响可忽略不计。显然 ，通过 FDTID确定 标准透镜和微透镜 阵列 的焦面位置，利用光栅测微仪测量二者间的距离L，再结合采集图像 中平面波前和球面波前的成像光光学 精密工程 第21卷斑 的偏移 s，即可完成 微透镜 阵列 的焦 距测 量 。

理想状态下 ，当标准 透镜 的焦 距远 大于 被测微透镜 阵列 的焦距 时 ，平面 和球面波 前像 面 的位置基本 -致 。实际测量 过程 中 ，二者存 在- 定的轴 向位移 ，需要 根据几何 光学知 识进 行估算和修 正 ：- ff p△厂- - ， (2)式 中：△为标准透镜与微透镜阵列组成 的光学系统的光学间隔；F为标准透镜 的焦距 ；L为标准透镜 和微透镜阵列间的空间距离 。

3 测量结果测量过程中为获取球 面波前 ，利用-个 色差校正较好的双胶合透镜作为标准镜 ，将它放置在被测微透镜阵列光路前产生相应的球面波前 。如图 2所示 ，检测系统由 He-Ne激光器 、聚光镜 、平行光管 、标准透镜 、微透镜阵列、CCD探测器和光栅测微仪组成 。

图 2 检测 系统示意 图Fig.2 Illustration of measuring setup微透镜阵列焦距检测主要分 3个步骤 ：(1)利用图像清晰度函数定焦技术确定标准透镜的焦面位置 ；(2)将被测微透镜阵列移入检测光路，并将CCD探测器移动至微透镜阵列像面附近，同样利用清晰度 函数完成对微透镜阵列各个子单元的测量，并利用光栅测微仪测量微透镜阵列与标准透镜焦面间的距 离 L；(3)将标准透镜移 出检测光路 ，测量微透镜阵列各个子单元在平面波前和球面波前入射时光 斑的偏移量 S，即可完成微透镜阵列焦距的测量。

该测量方法的核心技术是利用 图像清晰度函数完成对标准透镜和微透镜阵列的定焦测量。由于计算简单 ，基于图像梯度能量算 法的清晰度 函数可用于定焦检测 ，其定焦评价 函数为：G- [ ]。[ ] ，g - 翌曼 ：[g (z1， )-g( ， )] ，g - 塑 -[g (Iz， 1)-g(z，.y)]。。

(3)式中：g (z， )为光轴上坐标 z处采集 的图像光强分布函数，3，Y为采集图像上的像素坐标。根据图像处理知识 ，越接近焦面，CCD探测器采集的图像越清晰，其图像梯度评价函数值越大，即焦面上函数为极大值。定焦测量时，CCD探测器放置在微位移台上，由步进 电机驱动在被测透镜焦面附近 ，以确定 的步距逐帧采集图像 ；将采集的图像依次编号，并计算其相应图像的梯度定焦函数值，通过定焦函数变化曲线，完成对标准透镜和被测微透镜阵列的定焦测量 ：L - Lo (M- )·t. (4)式中： 为标准透镜定焦函数曲线全大值时采集图像的编号 ； 为微透镜阵列像面上第 i行第列 的子单元的定焦函数 曲线全大值时的图像编号 ；t为步进电机 的步距 ；L。为两次定焦时初始位置间的距离。

根据 HSS波前 检测原理 ，当球面波 前入射时，微透镜阵列细分 的球面波前 由于 曲率半径变化较猩看成斜入射的平面波前 。斜入射的平面波前的法线与主光轴的夹角为 a，即微透镜阵列子单元中心与其像面上光斑中心的连线方向。由于球面波前由标准透镜产生，其曲率中心位于透镜的焦点位 置，即：微透镜阵列子单元中心 ，该子单元像面上的光斑中心和标准透镜的焦点共线 。

光学 精密工程 第21卷分析 ，所引起的偏差低于 0.01肚m，合成可得 U -0.2 Fm 。

4.2 衍射光斑中心距测量不确定度 U衍射光斑的中心距 S的测量原理与 d相同，其检测不确定度 U -0.2 Fm。

4.3 焦面间距离测量不确定度 U标准透镜和被测微透镜阵列焦面间的距离 L引起的测量不确定度，主要由标准透镜及微透镜阵列的定焦误 差引起 。定焦误差分为两类 ：CCD探测器的定焦误差和检测系统的光路误差 。

0。 0 5 10 15 20Serial numberofimagegathered4.3.1 CCD探 测 器定 焦不确 定度 U测量 过程 中，利 用 Watec公 司生 产 的 Wat-535EX2型 8位黑白相机进行定焦测量 ，设 置步进电机的步距为 0.1 mm，分别在标准透镜和微透镜阵列焦面附近采集 图像 。步进电机移动 CCD探测器分别在标准透镜和微透镜阵列焦面附近逐 帧采集图像并依次将图像编号。以采集的图像编号为横坐标，以图像评价函数值为纵坐标，利用 Matlab软件分析梯度评价函数的变化趋势并确定其极大值。图像梯度评价函数曲线如图 5和图 6所示 。

：0 5 10 15 2OSerial number ofimage gathered0 5 10 15 20Serial numberOfimagegathered图 5 标准透镜定焦曲线Fig.5 Focus determining curves of standard lenss nm of A。

图 6 微透镜阵列子单元定焦 曲线Fig.6 Focus determining curves of MLA sub-lens由于 CCD探测器噪声的影 响，定焦 曲线出现小范围的波动 ，利用二次曲线对 图像梯度 函数进行拟合 。3组测量结果表明，利用 图像梯度评价 函数可将标准透镜和微透镜阵列的某-子单元焦面确定在 同-帧图像上 。分别计算不 同子单元区域 的图像梯度评价函数，-组图像采集可完成微透镜阵列多个子单元的定焦检测 。分析可得，图像梯度评价 函数分的定焦精 度 U 不超过 电机 的步 距 0.1m m 。

4.3.2 光栅 测微 仪测量 不确定度 UCCD探测器两次采集 图像 的初始位置距离 L由光栅测微仪测量，其示值误差为 3 m，取其测量不确定度 己， 2为 3 Fm。

4.3.3 检 测 光路 不确 定度 UL3检测光路引起的测量不确定度主要是由平行光管的调焦产生的。利用实验室常用的 F-550平行光管，用自准直法进行调节使星点板敲位于平行光管物镜的焦面上，从而使得出射波前为平面波前 。根据人眼清晰度法的调焦 ，取人眼极限分辨率a 为 1 ，检测光源波长 为 550 nm，高斯 目镜 的焦距.厂 。 为 50 mm，数值孔径 NA 为 0.1，计算平行光管调焦的不确定度 为 78 m。根据几何 光学1 9 8 7 6 5 。 羞 l 9 8 7 6 5 4 0 暑 曼 。

第5期 朱咸昌，等：基于 Hartmann-Shack波前检测原理的微透镜阵列焦距测量 1127垂轴放大率公式计算 由此产生 的标准透镜 的定焦不确定度为 1.45肚m；微透镜阵列的定焦不确定度为0.02 m，合成测量不确定度 U 。为 1.45 m。

根据误差合成原理 ，焦面间轴 向测量不确定度U 为 0.1 mm。以不确定度最大的子单元为例：d：87.37m，5-30.34 gm，L-18.04 mm，计算误差源的误差灵敏度 ：(7)综合分析 ，各类测量不确定度及合成不确定度如表 1所示。

表 1 测量不确定 度Tab.1 Measurement uncertainty取置信 因子 k-2，其 扩展不确定度 为 231.2gm。分析表 明，该方法 的测 量精度为 3 。由此可知 ，用该方法测量微透镜 阵列焦距 ，不仅具有较高的检测精度，还具有较高的检测效率。

5 结 论本 文根据 HSS波前 传感 器 检测 原 理 ，结 合FDTID，提 出了- 种 微 透镜 阵 列焦 距 的测 量 方