预紧式八翼梁次镜支撑结构的动力学分析

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随着对成像分辨率要求的提高，现代望远镜主镜的口径不断增加 ，次镜的 口径和主次镜之 间的距离也越来越大。在保证望远镜主镜支撑刚度的前提下，对不同指向时主次镜之间相对位置关系和对次镜支撑结构提 出了更高的要求 4]。在现代地平式望远镜中，常用的次镜支撑结构是三翼对称支撑、四翼梁式的十字形 中心支撑以及 四翼梁偏置结构，这些支撑结构简单、制造方便 ]。

但是三翼对称支撑结构和四翼梁式的十字中心支撑结构的抗扭转刚度较低 ，限制了其在大 口径光学系统次镜支撑上的应用；同样，改进的四翼梁偏置结构，虽然通过使用偏置叶片大大提高了抗扭转刚度，但这种结构使得梁片的长度增加，降低了圆周平面内两平动方向的刚度，对成像不利 ]。

采用施加有预紧力的八翼梁十字对称支撑可以在较小梁片厚度 的情况下 ，获得较高 的第-阶谐振频率，从而有效降低次镜支撑结构的重量和对主镜的 中心遮拦 。但这种结构安装 复杂度较高 ，预紧力也会通过连接部分传递到副镜圈 。并且 ，预紧力不可以过大 ，否则会 由于材料蠕变使得预紧力随时间发生变化 。虽然预紧式八翼梁十字对称支撑有以上的不足，但相比三翼梁、四翼梁等传统结构，这种结构仍具有更好的优越性和实用性 ，更加适用于大 口径望远镜的建设 。这-结构在国外的几个大 口径望远镜次镜支撑中已经得到成功应用 ，如 MMT、KECK望远镜 等，但相应的理论研究 比较少 。本文对预紧式八翼梁支撑结构进行 了动力学分析 ，建立了八翼梁次镜支撑的动力学模型，推导了预紧力对八翼梁支撑结构的影响 ，给出了理论计算与有限元仿真得到的结果 ，并进行 了比较 。

2 动力学模型2.1 问题描述典型的预紧力八翼 梁支撑结构如图 1所示 。

支撑梁的-端与环梁连接 ，另-端支撑着次镜组件 ，通过旋紧位于八翼梁末端 的预紧螺母来施加预紧力。为简化，-方面假定次镜及其组件的质量沿着圆周方 向和轴线方 向均匀分布 ，相当于 8根支撑梁在支撑次镜端受到均布载荷的作用发生图 1 次镜室支撑结构Fig。1 Secondary mirror supporting structure振动 ，将这个均布载荷等效为在支撑端处 的集 中质量进行分析 ；另-方面支撑梁 的长细 比为 480，根据 Euler-Bernouli梁理论将 支撑梁 等效 为梁单元处理 。梁的厚度较薄 ，抗弯曲能力较差 ，因而该结构的第-阶振型主要是梁的弯曲振动〖虑结构的对称性 ，振型 曲线的延长线必与次镜 室轴线相交 ，如图 2所示。任选-根梁作为研究对象 ，并将梁延长到次镜室的轴线处建立次镜支撑结构的动力学模型。取支撑梁与环梁连接处为坐标原点 0，振型方向沿 y轴 ，梁 的取 向为 X 轴建立坐标系。梁与环梁 的相交处 0点的连接方式为 铰接，将0点简化为铰支；根据对称原理，梁支撑次第 5期 赵宏超，等 ：预紧式八翼梁次镜支撑结构的动力学分析镜的-端也可以简化为铰支结构 。

f L [/图 2 动力 学分析简图Fig.2 Sketch of dynamic analysis model2.2 模型简化与分解根据以上简化，A 点 和 O 点都为铰支 结构。

并将次镜室的影响近似为-个位于次镜支撑半径上的质量点 M。为 了方便计算这-简化模 型的动力学特性 ，将这-个模型等效为两个更为简单模型的叠加 ，第-个简单模型是不计质量点质量的简支梁模型，如图 3(a)所示 ；另-个简单模型是只计质量点质量的简支梁模型 ，如图 3(b)所示。

D(a)不考虑质量点质量的简化模型(a)Simplifed model without considering mass point(b)仅考虑质量点质量的简化模型(b)Simplifed model with considering mass point图 3 系统简化模 型Fig.3 Model of system3 无预紧力影响下动力学特性计算及模 拟3.1 不计质量点质量的梁模型基频计算简支梁的特征方程为 ：sinflL - 0， (1)其中：94-鲁， 为梁的线密度。

可得其固有频率为 ：力 ( L)懦 . (2)3.2 只计质量点重量的梁模型基频计算首先按 Rayleigh能量法 ，取这-模型的试函数为 ：( )- Yo(z - 2Lx。 L。 )， (3)式中： 。为常数 ，其瑞利商的表达式为 ：0 -[参] (4)将式(3)带入式 (4)得到基频表达式为 ：-丽 . (5)3.3 简化梁基频的计算根据 Dunkerley法，简化梁的基频为 ： (6)3.4 次镜支撑结构的第-阶固有频率以 1.23 1TI望远镜为例 ，八翼梁支撑半 径 L为 0.874 m，次镜室支撑半径 r为 0.11 1TI，八翼梁截面厚度为 0.007 1TI，高度为 0.06 m，次镜室绕光轴的转动惯量为 2.1 Kg·1TI ，八翼梁的材料为07Crl7Ni7A1，固溶和 时效处理后其屈 服极 限大于 960 MPa。根据式(6)可以求出结构的第-阶谐振频率为 11.7 Hz。

使用 Ansys对八翼梁支撑结构进行模态分析。如图 4所示 ，次镜室采用实体单元划分网格 ，八翼梁使用梁单元建模 ，在无预紧力作用下计算得第-阶固有频率为11.6 Hz，其-阶振型如图5图 4 有限元模型Fig.4 Finite element analysis model光学 精密工程 第21卷所示。从计算结果上可以得 出，理论计算和有限元方法计算得到的结果非秤近 ，从而验证了这种简化的合理性和可行性 。

图 5 第-阶模 态振型Fig.5 Model 14 预紧力的作用及有限元模拟根据两个简化模型分别讨论预紧力对次镜支撑结构的影响。

4.1 预紧力对不计质量点梁模型的影响根据 Kirchhoff动力学模型 ，可以得 出这种情况下的动力学表达式8]：EJ I y"Sy dx 4-Pl y'Sy dx- l d ，(7)其中：P为预紧力。从上式可以推导出以下的频率：n：- [ 口 P]. ㈣针对第-阶模态 ，化简后可表示为 ：l ≠。- l 0√ 1 T， (9)竹 H I 其 中：P - ，这个公式称为两端铰支边界条件下细长压杆临界压力的欧拉公式[9 。

4.2 预紧力对只计质量点梁简化模型的影响在 2.2.2节 中，使用 Rayleigh能量法时 ，仅考虑梁本身的弯曲势能 ，而 当给梁施加轴 向的预紧力时 ，伴随着梁的弯曲变形 ，梁的势能还需要包括梁克服预紧力所作的功，所以 ：肛[骞] 出 塞] 如- 塞]。

- - - - - - - - - - - - - - - ～ (10)带入整理有 ：广---- 厂 1 1 P≠o- 1 1 po/ . (11)v l o-2 l其中：P 2168EⅡ瓦 二 二 二 面 二 (12)P 是关于 L和 r的函数 ，其大 小与次镜 支撑的设计参数有关 ，在 P 中的分母项 中，存在 L- 2r项 ，这表示 ，当质量点位于简支梁 中央时，这种结构不受预紧力的影响 ，而这-结果也得到 了有限元模拟的验证 。

4.3 施加有预 紧力的简化模型基频的计算根据 Dunkerley法 ，将 1 lP≠。和 囝 1 IP≠。带人式(6)即可求得预应力影响下的简化模型的基频。

4.4 有限元计算和理论计算结果对比在 Ansys中，通过赋梁 的初始应变来施加预紧力 ，得到有限元仿真曲线。对照图 6可知 ，当预紧力 为 20 kN 时，结构 的第- 阶模 态值达到 23Hz，是未施加 预紧力 时的二倍 。所以，使用施加预紧力的八翼梁支撑结构能够在较胸面积梁的前提下 ，获得较高 的抗扭刚度，从而达到降低次镜支撑重量 和减小遮拦 比的设计 目的。图 6中 ，结构的第-阶模态 随预紧力的增加而增大 ，并且理论曲线与有限元曲线趋势-致 ，大小相似，从而证明了这种方法 的可行性。曲线末 端两者稍有偏差 ，究其原因有两点 ，-是所使用的试函数不能完全准确表征振型曲线 ；二是在使用 Rayleigh能量法时 ，未能全面包含梁的势能。

本例中根据有限元实验所得到 的曲线图，可图 6 有限元计算结果与理论值对 比Fig.6 FEA results VS theoretical results第5期 赵宏超 ，等 ：预紧式八翼梁次镜支撑结构的动力学分析以将其划分为两个区域，如 图 7所示 。 将式(5)和式(12)带人式(13)可得 ：091 lP≠。-√ ，(L'r)，(14) o - ∥ u其 中：f(L，r)是关于 L和 r方程 ，易证 ：当 < L时， >o。

所以，预紧八翼梁次镜支撑结构 的第 -阶模态值随预紧力及次镜室支撑半径 r的增大 而增大 ，随次镜室转动惯量的增大而减校故合 理设计次镜室结构能够有效提高预紧式八翼梁次镜支撑结构的动力学性能。

图 7 有 限元计算结果标度Fig.7 Scales with FEA simulati。n 5 结 论在第-区域，模型的第-阶模态值与预紧力是正相关的，但 在这- 区域 ，由于 l，≠。和l ≠。相差不大 ，所 以此时模型 的模态值受两个简化模型 的共同作用 ；在第二区域 ，预紧力很大，此时 n l ≠。>4n J ≠。，不计质量点的梁模型的第- 阶模态值远大于第二种简单模型的第-阶模态值 ，所 以在这个 区间内，根据式(6)，可忽略质量点梁模型的影响，简化模型的第- 阶模态值变化等同于第二种简单模 型受预紧力影 响的变化而变化 ，如 图 7所示 。此时，模型的第-阶模态的圆频率值与预紧力的关系为 ：厂----面1 IP≠0-n 1P-D/1r . (13)