电磁驱动球形机器人转弯特性分析

球形机器人具有-个球形或类球形的外壳，以滚动方式行走，具有摩擦孝结构紧凑、密封性好、不易翻倒等优点，在军事、交通、监控、搜救、玩具、娱乐等领域具有广泛的应用前景，是目前机器人研究领域的热点问题之- 。

从上世纪9O年代，美国、芬兰等国家的研究者着手研究、试制球形机器人以来，对球形机器人的研究越来越为人们所重视4 J.二十多年来，国内外的众多研究者提出了十几种内驱球形机器人的驱动方案，但迄今为止，还没有-种球形机器人的驱动方式为大家所公推 J.在运动学和动力学模型和控制策略方面，尽管国内外专家学者在这方面的研究上取得了丰硕的成果，但建模过程中做了若干理想条件假设，忽略了多种耦合作用 m J.同时，由于球形机器人外壳与地面接触近似为点接触，机器人运动过程中的抖动”和亿”成为球形机器人的先天不足，因此，平稳性和可控性成为严重制约球形机器人广泛推广应用的瓶颈”，而球形机器人的转弯特性是影响球形机器人平稳性和可控性的关键因素之-，也是球形机器人研究领域的焦点问题 。

本文在充分借鉴国内外多种球形机器人研究的基础上，介绍了-种电磁驱动全方位运动球形机器人驱动原理，利用分析力学的力平衡、力矩平衡方法，考虑到离心力、陀螺效应等因素的影响，对球形机器人的转弯特性进行了深入的分析，建立了球形机器人中速、高速运动时的转弯半径计算方程。

1 电磁驱动球形机器人驱动原理图1为本文提出的单电磁线圈驱动全方位运动球形机器人结构三维示意图.电磁驱动全方位运动球形机器人装置，包括球壳、磁钢环和内驱结构.机器人球壳由两半球壳组成，在球壳内壁装有磁钢环，磁钢环与球壳内壁固定连接并与球壳同心，左、右半球壳与磁钢环通过螺钉紧固，磁钢环上均匀布置永磁磁钢，相邻两个永磁钢或电磁铁的N极朝向相反.位于球壳内部的内驱结构主要包括：托架、主轴、电机、电磁线圈、飞轮、供电电源以及控制器等.主轴通过轴承与球壳连接，电磁线圈支撑结构的其它部件通过托架悬挂于主轴上，电磁线圈磁极端与任意-个安装在球壳上的永磁钢磁极端或者相邻永磁钢之间的球壳部分相对.控制电路控制两个电磁线圈的极性交替变化，通过电磁线圈的磁芯与永磁磁钢的吸[收稿 日期]2013-o4-11[基金项目]山东省自然科学基金项目(2009ZRA01105)；山东省泰安市科技发展计划项目(20083002，20092016)[作者简介]桑胜举(1965-)，男 ，山东泰安人，泰山学院信息科学技术学院副教授。

第3期 桑胜举等：电磁驱动球形机器人转弯特性分析 83引或排斥力，带动内部驱动机构绕主轴旋转，由此实现球形机器人的前进和后退 ；电机带动飞轮-起旋转，根据角动量守恒原理，球形机器人将按飞轮旋转的反方向旋转，由此实现电磁驱动球形机器人的转向。

1.左半球壳 ；2.右半球元 ；3.磁钢环 ；4.水磁磁钢 ；5.托架6.供电电源及控制器；7.飞轮；8.电磁线圈；9.电机；10.主轴图1 单电磁线圈驱动球形机器人TSR-I机构组成示意图由电磁驱动球形机器人的结构原理图可知，电机带动飞轮-起旋转，根据角动量守恒原理，球形机器人将按飞轮旋转的反方向旋转，由此实现电磁驱动球形机器人的转向运动.电磁驱动球形机器人的详细结构、原理请参阅文献[6-l0]。

2 球形机器人转弯速度根据图l所示的球形机器人结构，将球形机器人等效为三部分：(1)质量为M的均质薄壁球壳，(2)质量为in。的均质圆盘飞轮，(3)质量为 m：的均质圆盘.根据角动量守恒定理可得 ：( ，1J2)∞Jl601 懈 ， ÷m r ， ÷m。r2 (1)式中， 为球壳的转动惯量，.， 为飞轮相对于的转动惯量， 为均质圆盘的转动惯量，r 为飞轮半径，r2为均质圆盘半径，∞。为飞轮角速度，∞为球体角速度。

由此可得球形机器人的转动角速度计算公式：cJ：， cJ ( .，。 )： J。 (2) ， · 末 ·3 转弯半径的几何分析球形机器人转弯半径的大小是影响机器人运动性能的-个重要指标 .转弯半径越小，球形机器人改变运动方向越灵活.本节采用几何分析的方法，对球形机器人低速运动时转弯半径的表达式进行分析证明。

图2为球形机器人转弯示意图.AB为球形机器人转弯时与地面接触面，0为等效摆的偏转角，R为球形机器人的半径，△表示AB的长度，)表示球形机器人的转弯的角速度。

由图2所示的几何关系可知：AA1Rcos0lBBIReos0l-AsinOl (3)球形机器人经单位时间后，将转过角度)，A、B点分别滚动到A 和B 点，则：AA2 (oRcosO泰 山 学 院 学 报 第35卷BB2∞(RcosO1-Asin01) (4)(a)机器人结构图 (b)路径图 2 球形机器人转弯半径示意图而AAO2A2(wRcosO1)/pLAO2B2(wRcos01-Asin01)/(p-△) (5)上式中，P为球形机器人的转弯半径。

LAO2A2( (Rcos0l-Asin01)-(wRcosO1))/Arosin01 (6)(wRcosO1)/prosin01 (7)ptan 01R (8)即： PR/tanOlRctanOlRtan0 (9)式(9)为球形机器人低速运动时，等效摆的转角与转弯半径的关系式.若运动过程中等效摆的偏转角0保持不变，球心运动轨迹为半径PR/tanO。的圆.当0。达到临界值(90。)时，球形机器人可以实现零半径转弯。

4 球形机器人转弯半径的深入探讨当球形机器人高速运动时，离心力和陀螺效应必然会对球形机器人的转弯半径带来影响.本节分两种情况，讨论球形机器人转弯半径与机器人速度之间的关系。

4.1 球形机器人中速运动时的转弯半径图3为球形机器人中、高速运动时运动分析示意图。

。)二、 、. lZ- ///// ////// / yx图3 球形机器人高速运动时转弯分析图球形机器人以为 的角速度转动时，球形机器人球壳和等效摆所产生的离心力分别为： 和 ，设球形机器人与地面的摩擦力为 ，则有：第3期 桑胜举等：电磁驱动球形机器人转弯特性分析 85FJIfMpw：FPm(p-rsin(01- )) ： (1O)tot∞，p式中，M为球形机器人质球壳质量，m为等效摆的质量，P为球形机器人的转弯半径，r为等效摆长度， 为球壳的向心力， 为等效摆的向心力，0 为等效摆相对于球形机器人初始位置的偏转角度，为球形机器人相对于初始位置的偏转角度，∞，为球形机器人的转弯角速度， 为球形机器人的速度，则离心力 和 可表示为：FuMpto：Mv2/PFpm(p-rsin(0l- ))∞；nlv /p-mrsin(01-02)v2/p (11)根据系统力与力矩平衡可得：F，FM (12)RFfmgrsin(0l-02)rFPCOS(0l- )) (13)为简化问题，设(0 - ) O，则：sin(0l- ) (0 -6I2)COS(0l-62) 1 (14)则根据(13)可得：Ff FP /pmy -mrsin(01- ) /p -(M，I)移 /p (15)由式(14)得：mgrsin(0l-6I2)rFecos(0l-62)mgr(0l- ) (16)mgrOl-mgr02rmvZ/p将式(15)代人式(16)得：R(Mm)v2 mgrOl-mgr02珊 /p (17)即：尺( m)v2mgrO1P-mgrp02rmv (18)当 较小时，有：02tan02 (R/p) (19)因此得到球形机器人中速转动时转弯半径表达式：p mgr 01 mgr 01(20)在式(20)的推导中，根据(0。-0e)-0的假设，做了近似简化，且忽略了(15)的极小项(mrsin(0，-62)t，2/p )，因此，式(20)不能作为球形机器人控制算法的依据.尽管如此，从式(2O)可以看出，当速度越大时，球形机器人的转弯半径越大，而速度越小，转弯半径也越小，当 -0时，即球形机器人以低速运动时，式(20)可简化为：R R 、P - - - 21 01 tan01 、式(21)与球形机器人低速运动时，等效摆的转角与转弯半径的关系式(9)完全-致。

4.2 球形机器人高速运动的转弯半径当球形机器人的速度很高时，不仅仅要考虑离心力的影响，同时，还应考虑陀罗效应的影响。

由式(1O)可知： ( m)pro； (22)设球形机器人系统的力偶向量和角动量向量分别为 、 ，球形机器人系统角速度向量和转弯角速度向量分别为 、 ，，而球形机器人系统角速度标量和转弯角速度标量分别为∞、∞，，球形机器人绕旋转轴的转动惯量为 ，垂直于旋转轴的转动惯量为凡 图3所示的XYZ坐标系的单位向量分别 ，86 泰 山学 院 学报 第35卷、 、z 坐标系的单位向 、 则：t，∞，后 (23) - 警 ，× (24) ， . - ∞ . n ∞ l·. kcos 02· -sin02· ； 0.·. ∞，cos02· -sln02· )- - 1tO· ∞ cosO2· (∞-∞，sin 02). (25)所以，球形机器人的角动量 为： ，cos · (tO-∞，sin02)· (26)由图中的受力分析可知，系统的力偶为：Tmgrsin(01- ) PCOS(01-02)- F，mgrsin(01- )m，.p 2 cos(0l-02)-R(Mm)p∞； (27)由式(23)得： - ·1 ，× ∞2，cos 2· ×盎，y∞，(∞- ，sin02). × ∞2，cos 2(-sin02) .， ，(∞-cIJ，sin02)(-cos02) - ( ；c0s sin y ( - ，sin02)COS02)·I (28)所以，系统的力偶标量还可表示为：T.，.If∞2 cos sln JvtO，(tO-∞，sin02)COS02 (-，盯-Jv)n，：cos sin .，y∞，tOCOS02 (29)由于球形机器人的对称性，可知：JM-'Jv (30)则：TJvto，tOCOS02 (31)根据式(31)和式(27)可得：Jvto O)COS02mgrsin(0l-02)m，p∞2，cos(0l-02)-R(Mm)pto； (32)。.toRcos02p∞， (33)·· ∞，toRcos02/p (34)将式(34)代人式(32)得：-Jrto2R-cos-mgrsin( 1-6l2)-mrcos(01-02-)to2R2cos- -R(Mm)-tO2R2cos (35)P p p ，，n ： 堕 墨 (36)m -------------------------------------------------------------------------------： ， 1 、grsin(01-02) ，式(36)即为球形机器人转弯半径的精确表达式。

由于陀螺效应的作用，当系统稳定时，0 趋近于零，式(36)可表示为：p：-JvtO-2R--R-(M- -m-)-tO 2-R2-- m r eo-s(-01---02-)tO2R2(37)m n------------------------------------ ，11、 grsin(0l-02)当(0l-02) 0，由于sin(01-02) (0l-02)，c0s(0l-02) l且考虑到 02.tan02 (R/p)P：-Jvto-2-R-R-(-M--m-)tO-2-R2---mrc-os-(0-1 --0-2)-tO-2R-2-m-grR(38)m ，～ ， 、 。 grO1 、当∞-O时，可得：P - (39) 面 第3期 桑胜举等：电磁驱动球形机器人转弯特性分析式(39)、(21)与球形机器人低速运动时，等效摆的转角与转弯半径的关系式(9)完全-致，从而证明了考虑陀螺效应的作用时，球形机器人转弯半径的正确性。

5 结论本文将改变质心和角动量守恒两种驱动工作原理结合在-起，提出-种电磁驱动全方位运动球形机器人驱动原理：通过电磁线圈的磁芯与永磁磁钢的吸引或排斥力，带动内部驱动机构绕主轴旋转，由此实现球形机器人的前进和后退；电机带动飞轮-起旋转，根据角动量守恒原理，球形机器人将按飞轮旋转的反方向旋转，由此实现电磁驱动球形机器人的转向运动.本文从几何分析的角度，推导出球形机器人低速运动时，转弯半径的表达式，并利用分析力学的力平衡、力矩平衡方法，考虑到离心力、陀螺效应等因素的影响，对球形机器人的转弯特性进行了深人的分析，分别建立了球形机器人中速、高速运动时的转弯半径计算方程，与低速运动的转弯半径公式对比分析发现，当条件-致时，转弯半径的表达式完全-致，从而验证了所建立的转弯半径计算公式的正确性。