有理三次Bezier曲线的参数化研究

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有理三次Bezier曲线的参数化研究第17 卷第4 期 纺 织 高 校 基 础 科 学 学 报 Vol . 17， No . 4
2004 年12 月 BASIC SCIENCES JOURNAL OF TEXTILE UNIVERSITIES Dec. ， 2004
文章编号: 1006- 8341( 2004) 04- 0331- 03
有理三次Bezier 曲线的参数化研究
李亚利， 秦新强， 童徐
(西安理工大学 理学院， 陕西 西安 710048)


摘要:应用重心坐标推导出有理三次Bezier 曲线的表达式， 通过给定的4 个控制顶点和位于
这些顶点凸包内三次有理曲线上的-点，反算出了该点的参数和内权因子.研究了在保持曲
线形状不变的条件下， 空间有理三次Bezier 曲线权因子变换和参数变换的等效性.
关键词: 有理三次Bezier 曲线;权因子;参数变换;形状控制
中图分类号: O 29; T P 319文献标识码: A
NURBS 方法在CAD/ CAM 与计算机图形领域获得越来越广泛的应用， 它为标准解析形也为自
由型曲面的精确表示与设计提供了-个公共的数学形式.有理Bezier 曲线是NURBS 曲线的特例，有
理Bezier 曲线在计算机辅助设计与制造中的应用较为广泛， 在统-，精确，简洁地描述二次曲线，曲
面方面起着无可替代的重要作用，且有权因子可供设计人员选择[ 1～3]
.本文研究了已知空间4 个控制
顶点和位于这些顶点的凸包内在三次曲线上的-点，反求该点的参数和内权因子，讨论了权因子改变
与参数变换之间的关系.
1空间有理三次Bezier 曲线
设空间有理三次Bezier 曲线为
r ( t)

3
i 0

iB
3
i ( t ) bi


3
i 0

iB
3
i ( t ) ， 0 ≤t ≤1， ( 1)
其中bi 为空间曲线不共面的控制顶点， B3
i ( t) Ci
3 ( 1 - t )
3- i
t
i
，且
i > 0 ( i 0， 1， 2， 3) ，
i 为控制
顶点的权因子.曲线r( t ) 上的点与参数t ∈[ 0， 1] 是--对应的关系[ 4]
.
指定曲线r ( t) 上-点p ，要求曲线r( t ) 在参数t t

∈( 0， 1) 处插值点p ，即r ( t

) p .点p 关
于控制顶点b0， b1， b2， b3 的重心坐标为(  0 ，  1，  2 ，  3) ，


3
i 0
 i ≡1， 即有p

3
i 0
 ibi ，于是有
p r ( t

)

3
i 0

iB3
i ( t) bi


3
i 0

iB3
i ( t

)

3
i 0

iB3
i ( t

)


3
i 0

iB3
i ( t

)
bi


3
i 0
 ibi. ( 2)
( 2)式等价于
iB3
i ( t

)  iW( t

) ， i 1， 2， 3， 其中W( t

)

3
i 0

iB 3
i ( t

) . 因此，权因子作为插值数
据可计算如下:
i [ W ( t

) / B3
i ( t

) ]  i
， i 0， 1， 2， 3.即

收稿日期: 2004- 04-08
基金项目: 陕西侍育厅专项科研计划资助项目( 02JK048) .