新型3-CPS／RPPS机构的动力学分析

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38机械设计与制造Machinery Design & Manufacture第 10期2013年 10月新型3-CPS／RPPS机构的动力学分析李 徽 一，杨德华1,2(1．中国科学院 国家天文台 南京天文光学技术研究所，江苏 南京 210042；2．中国科学院 天文光学技术重点实验室，江苏 南京 210042；3．中国科学院 研究生院，北京 100049)摘 要：多自由度并联机构在各工程领域有着广泛的应用背景。在补充新型3-CPS／RPPS机构运动学中速度分析和加速度分析的基础上，以牛顿一欧拉方程为主要工具，对动力学反向问题进行了基础的理论研究和分析，以Pro／E动力学分析工具辅助完成了动力学正向问题。并在分析过程中，对比了传统Stewart平台和该新型串并机构。该分析方法和流程对多自由度机构研究提供借鉴和参考。最后通过对大型射电望远镜中主动面板的误差敏感分析，指出了该机构部分运动解耦的优势及其应用前景。

关键词：串并机构；六自由度机构；动力学分析；牛顿一欧拉方程；部分运动解耦中图分类号：TH16 文献标识码：A 文章编号：1001—3997(2013)10—0038—04Dynamics Analysis of a NoveI 3一CPS／RPPS MechanismU Huill3．YANG De—hua ，(1．National Astronomical Observatories／Nanjing Institute of Astronomical Optics ＆ Technology．Chinese Academy ofSciences，Jiangsu Nanjing 210042，China；2．Key Laboratory of Astronomical Optics＆Technology，Jiangsu Nanjing Instituteof Astronomical Optics＆Technology，Chinese Academy of Sciences，Jiangsu Nanjing 210042，China；3．Graduate Universityof Chinese Academy of Sciences，Beijing 100049，China)Abstract：Multi—DOF mechanism has U wi如 potential application and bright prospect in most engineering domains．It presentsa basic theoretical study and an integrated dynamic analysis on the basis ofveloc and acceleration analysis ofkinematics ofa novel 3一CPS／RPPS mechanism by the method of Newton-Euler dynamical equations and Pro／E dynamical analysis tooLAdditionally，the comparison is put forward between the classic Stewart platform and this novel Serial-Paralel-Concept—based (SPC—based)mechanism- This process ofanalysis could be referredfor the study ofmulti-degree me chanism．Finally，this novel SPC—based mechanism appears to manifest its advantage ofpart motion decoupling and prospective applicationaccordingto the error senshiv analysisforthe active segment support ofsegmented miror$oflarge radio telescope.

Key W ords：Serial-Parallel Mechanism；6-DOF Platform；Dynamics Analysis；Newton-Euler Equation；Part MotionDecoupling1引言自Stewart将并联六自由度机构引入飞行模拟器 ，以Stewart平台为代表的并联机构由于其运动精度高、刚度大、承重能力强等优点在实验室和工业中已经得到了广泛的应用。通过大量实验和研究，科研工作者们在 Stewart平台的基础上提出、设计和改进了诸如的DETLA脚和HExA【引等并联机构，这些机构在各种特殊应用环境下有不尽相同的特殊物理特陛。迄今为止，大量不同体系的关于运动学、奇异性、误差、工作空间和动力学的研究方~t4-, 为并联机构的设计，制造和改进提供了坚实的理论基础和丰富的实验数据。

然而，传统 Stewart平台的工作空间相比于同量级大小串联机构的工作空间要小很多。为了获得稳定的精度和低程度的振动，由于平台的旋转对称性，要求Stewart平台的六个驱动器的精度保持一致。在局部几个自由度精度高于其他的自由度的应用情况下，例如大型望远镜的子镜运动中，其 piston和 tilt／tip方向的运动误差对成像质量的影响远远高于其他自由度方向的运动误差，如果采用Stewart平台，为了保证子镜较高的运动精度而选择六个精度较高的驱动器则很不经济。

这里将介绍一种新型串并结构的3-CPS／RPPS机构，其优势在于不仅结合了并联机构的高负载、高精度和高刚度和串联机构的较大工作空间，并且还实现了特别适合于在支撑大型望远镜子镜的部分解耦运动。并联机构的动力学分析是建立动力学模型的来稿日期：2012—12—15基金项目：国家自然科学基金支持(10973025)作者简介：李 徽，(1986-)，男，江苏洪泽人 ，硕士学位，主要研究方向：精密机械与精密测量；杨德华，(1973一)，男 ，安徽当涂人，博士，主要研究方向：天文望远镜结构设计与分析第10期 李 徽等：新型3-CPS／RPPS机构的动力学分析 39基础，是进行机构动力性能评价及动力学优化设计的必要条件。

动力学分析方法包括牛顿一欧拉法、拉格朗日法、虚功原理等等。

主要采用牛顿一欧拉法来描述和解决问题。

2坐标和符号系统2008年对亚毫米波射电望远镜的研究中，文献n唯三摆臂支撑机构的基础上提出了一种新型摆臂式六自由度机构旧。如图 1所示，三摆臂支撑机构以正三角形机架为基础，三个顶点处分别用圆柱关节垂直于机架平面连接三个水平旋转悬臂，并用球铰连接悬臂另一顶点和被支撑镜面。之后，他们用圆柱副替换了圆柱关节，将三个摆臂设计成移动副，并用六个线性步进电机驱动相应的运动副，自然地得到了3-CPS六 自由度机构样机，如图2所示。从理论的角度分析，这种新型的六自由度机构属于串并结构。

上部的动平台和下部的基座通过三组串联的传动链并联。为了使得运动解耦，每组传动链都由两个驱动器正交连接。

图 1三摆臂支撑机构草图Fig．1 Sketch of Three Sway Arms Suppoming Mechanism图2摆臂式六自由度机构样机Fig．2 Prototype of 6-DOF Mechanism with Sway Arm s这种新型机构的两种形式 ，如图3所示。即CPS和 RPPS结构。以左图为例，该机构的上下平台都是等边三角形。三组垂直杆和底部下平台分别以圆柱副连接，三组水平杆和上部动平台分别以球铰连接，各组水平杆和垂直杆之间为直角。为了简化分析，将球铰看作一个交点并且忽略运动副之间的摩擦力。

图3两种新型串并六自由度机构CPS和RPPSFig．3 Two Novel Types of Serial-Parallel 6-DOFMechanism CPS and RPPS为了便于后续的分析，在机构底部平台上建立世界坐标系和在机构上部动平台上建立随动坐标系 ，并定义符号，如表1所示。

表 1参数符号说明表Tab．1 Description of Parameters and Symbols世界坐标系0— —Y—Z动平台的随动坐标系0 -X 一l， 一曰 下部平台的支点尬 水平杆和垂直杆的交点只 球铰中心上部动平台质量厶 上部动平台在随动坐标系下相对质心的转动惯量矩阵h 第i组垂直杆的杆长f 第i组水平杆的杆长n 第 i组垂直杆的单位矢量，恒为ro0 1]n 第 i组水平杆的单位矢量，且由机构几何关系知， 分量恒为0第 i组水平杆的矢量第 组水平杆的角速度矢量自 第 i组水平杆的角加速度矢量R， 随动坐标系 相对于世界坐标系 的变换甜 上部动平台在世界坐标系 下的角速度矢量上部动平台在世界坐标系 下的角加速度矢量， ，和 点 在随动坐标系下的坐标分量g 重力加速度3机构的运动学分析并联机构的运动学分析是机构动力学分析的基础，只有正反两方面求解出并联机构的空间位置，运动速度和加速度问题后，动力学分析才有可能进行下去。文献【 已经详细分析了该新型六自由度机构的空间位置正反解问题，即，包括已知各杆长度变化量求解上部动平台的六 自由度位移的运动学正向问题和已知上部动平台的六自由度位移求解各杆长度变化量的运动学反向问题。为了简化分析过程，根据已知的空间位置正反解分析，将点 和 坐标设为已知量。这里以3-CPS机构为例，对机构中相关杆件的速度和加速度进一步的求解。

3．1机构的速度分析考察向量 曰 并带人点 的坐标有：Li [x。 Zpf J+ 0 (1)两边求导，由于点O到B 距离恒定，故求导后为O，于是有：￡l=oJxR[x1 J+ (2)由于机构的部分解耦能力，式(2)点乘相应的方向向量得到竖直杆和水平杆的速度并整理有：机械设计与制造No．10Oct．2013T(R[ z Txn
1)T(R【 ] ) 川：，] (3)其中，∞和 的导数正是需要求解的上部动平台相对于世界坐标系下的角速度和平移速度。

3．2机构的加速度分析加速度可以在速度的基础(3)上继续微分得到，考虑到水平杆的矢量求导即为考察向量 的 和Y分量整理有。

n (R[ × )tl, T(R( ] × )【 ×( × [ Zp )) ++( ×R【 IT+于)( ×( ×R[ 。 Zp )n= (4)其中方向向量 的导数可以通过下面得到：= (5)4机构的动力学分析由于该新型机构不同于传统 Stewart平台，采用的是串并结构，如果在分析上部动平台受力时，将杆组当作一个整体直接列方程，则方程数小于未知数，动力学分析无法进行下去。因此这里的动力学分析以球铰为断开点，分为水平杆的动力学分析和上部动平台的动力学分析两部分。如此，三个水平杆提供三个方程，上部动平台的六个 自由度的加速度提供六个方程 ，正好可以解出三个球铰中总计九个分量的力。

4．1水平杆的动力学分析虽然已经将球铰理想化成一个点来处理，由于实际的设计和加工中的种种因素，水平杆到上部动平台之间依然会存在高度差，用球铰到点 之间的杆示意，如图4所示。

图4水平杆受力分析示意Fig．4 Sketch of Force Analysis for Horizontal Arms将水平杆 以平移副为界分为两段，分开点为D 。对于D ，已知其长为s∽质量为m 质心距离 D 点水平为s 竖直为以 ，在世界坐标系下相对质心的转动惯量矩阵为厶 。对于D ，已知其长为 s ，质量为 m ，质心距离 点为 S ，在世界坐标系下相对质心的转动惯量矩阵为 。d为MD 的质心与球铰之间垂直距离。此球铰处建立该水平杆的局部坐标系，y 为杆伸长方向，即rti 为竖直方向，即n／z X 方向符合右手定则。设球铰处的力可以按该局部坐标系分解为 ，R和 。容易得知，只有沿 X。方向的力 使水平杆相对于 点有沿竖直方向的力矩。于是以点为支点，分析竖直方向的力矩，可以列出D 段的欧拉动力学方程为：一 被+(‘ +，删) 一( 十 ) X(-Oi(6)式中：％『一一向心力、科氏力 、杆伸长加速度和质心在旋转下的加速度的总和旭 广向心力和质心的角加速度。

这样就解出了三个球铰中应力的一个分量，而每个应力剩下的两个分量共六个未知数则需要在动平台的动力学分析中解决。

4．2动平台的动力学分析设 为动平台质心在世界坐标系下的位移加速度，其是动平台在世界坐标系下的平动加速度圾 由于上部动平台在世界坐标下旋转引起的加速度 ExT+wx(toxT)之和。

则，上部动平台动力学方程如下：一 3+ [量][曼]一主i=l ×T
8 ‘ ×∞ (rxt)上面的分析完成了对球铰中应力的求解，只要再分别分析水平杆的MD和DP段就可以计算出移动副中的水平驱动力和圆柱副中的垂直驱动力。

4．3机构正向动力学分析类似于并联机构的运动学问题，动力学也分为正向动力学和反向动力学。上面的求解中，已知机构的上部动平台六自由度的加速度求解出各个驱动器提供的驱动力，属于反向动力学问题。另一方面，正向动力学定义为，已知给定的驱动器中的驱动力和初始机构的各组杆长及速度，求解机构上部动平台的加速度以及运动后位姿 、速度和加速度。

如果按上面的欧拉动力学方程反向求解，由于各变量如位姿、速度和加速度之间互相关联，无法按照解析的思路一步一步列出方程并求解。这里引人：=M(T，Ot，卢，，，)( ， ，卢，y) _Ⅳ(T， ，JB，y，T， ，卢， )+G(T， ， ， ) (8)式中：M( 、y)—机构的惯性矩阵；N(T，Ol，卢，y，于，＆， ， )—科氏力和向心力及其力矩；G( 、 )—重力及其重力矩。

根据已知的驱动力和机构的初始各组杆长及速度 ，将方程改写为：O 0 1 0 O O 0 O O ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． 【 =×f +于 No．100ct．201 3 机械设计与制造 41图5 Pro／E仿真下的上部动平台加速度变化曲线Fig．5 Curve of Acceleration of Upper Move Platformin Pm，E Simulation Environment这样就可以计算出在初始条件下的机构六自由度加速度。

之后，机构的位姿和速度通过在分割短小的时间片下的积分来实现。借助 Pro／E动力学分析工具，给定驱动电机驱动力，求解上部动平台质心的加速度变化曲线，如图5所示。样机上部动平台半径为400mm，下部三角形机架外接圆半径为250mm，杆组运动行程为(0--40)mm，矩阵中各构件的质量及转动惯量由Pro／E计算得到，在此略。图中 ，Y和 方向加速度中的突变点，是由于机构某一垂直杆走到行程极限。

5结论 、新型部分运动解耦的 3-CPS／RPPS机构在亚毫米波射电望远镜中主动面板支撑系统中具有经济实用的应用前景。杨德华等人提出应用在射电望远镜主动面板技术中的一种新型主从面板支撑系统 63，并且以30m射电望远镜为例[】71，详细分析了该面板系统各 自由度方向上的位置误差敏感性 ，并得出，piston和 tilt／tip误差是引起图像畸变误差的主要因素。

从误差敏感性的分析出发，提出的串并机构较好的符合了主从面板支撑系统特点。根据部分运动解耦特陛，piston和 tilt／tip运动主要由竖直杆控制，而其他三个自由度运动取决于水平杆。

如此，对不同精度要求的运动副中分别采用精度不同的驱动器则变为可行。

在补充了新型3-CPS／RPPS机构的速度和加速度的基础上，完整地分析了机构动力学问题。主要采用了欧拉动力学方程对该机构的动力学问题进行了详细的数学分析。该理论分析过程不仅进一步完善了新型3-CPS／RPPS机构的理论模型，为该机构今后的设计，测试和改进提供了数学基础，还为类似的串并机构的动力学问题提供了借鉴。

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