典型柔性铰链转角柔度对比分析

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柔性机构l是-种利用机构中柔性构件 自身的弹性变形来完成运动、力和能量传递及转换的新型机构，与传统刚性机构相比，柔性机构具有重量轻、便于整体加工、易于安装和维护等优点。同时，由于采用-体化加工，使得柔性机构有效的消除或大大减少了传统刚性运动副间的间隙、摩擦、磨损及润滑等复杂问题，具有很高的可重复性日。因此，柔性机构在需要实现精密定位的领域得到广泛应用，如，机器人微运动机构、高精度光纤对准装置、高精-窿照相机等日。作为柔性机构的基本变形单元，柔性铰链在柔性机构中扮演着重要的角色，它相当于传统刚性机构中的运动副，是实现柔性机构功能的重要构件。椭圆形柔性铰链、圆形柔生铰链、双曲线形柔性铰链和抛物线形柔性铰链其柔性部位形状相对简单且完全对称，便于设计，加工难度孝费用低，具有更高的应用价值，在柔性机构的设计中得到较多的应用，四种柔性铰链统称为典型柔生铰链。柔性铰链的转角变形是实现柔性机构功能的主要变形量，在构建柔性导向支承 、具有毫米级运动范围的大行程精密定位系统时，柔性铰链结构需要产生较大的转角变形才能实现柔性机构的大范围运动。为避免柔性铰链结构产生塑性变形，在进行大行程柔性机构设计时，如何确定柔性铰链结构的形式，使所设计韵柔性机构在相同载荷作用下产生较大的运动范围是设计者必须面对的问题。因此，需要对典型柔性铰链的转角柔度特性进行对比分析，以确定大行程柔.生机构H设计时的基本变形单元。

2转角柔度计算公式转角柔度计算是设计柔性机构时的重要环节，国内诸多文献 寸柔性铰链的转角柔度计算公式进行了推导，但这些研究工作均是针对某-特定柔性铰链进行的，所建立的转角柔度公式涉及的参数多、结构形式复杂，在现有的计算公式基础上难以对比研究它们的转角柔度特l生，而有限元分析方法需要大量的建模丁作，耗时较多，建立含有共同参数的转角柔度公式是实现转角柔度特性对比的前提。为此 ，在推导了柔性铰链通用转角柔度计算公式基础之上 ，引入两个无量纲参数 ，通过将典型柔性铰链的柔性部位边沿曲线表述为圆锥曲线的形式，建立了含有共同参数的典型柔性铰链的转角柔度计算公式。

2.1通用转角柔度计算公式定义-个柔性铰链所需结构参数，如图 1a所示。图中：6-来稿日期：2012-11-16基金项目：国家 自然科学基金资助项目60674052作者简介：闪明才，1979～，男，河北人，在读博士，主要研究方向：大行程精密定位及控制；马树元，1960-，男，博士生导师，主要研究方向：精密测量 、光机电～体化! 明才等：典型柔性铰链转角柔度对比分析 第9期柔性铰链沿z轴方向的宽度；最旭度；2 -长度 ；c-- 口口深度。

转角柔度计算公式的建立基于下述假设：1凛性铰链的柔性部位沿过旋转中心的纵轴和横轴几何对称；2柔性铰链的分析是基于小变形的欧拉-伯努利梁理论，由力和弯矩产生弯曲变形，忽略剪切和扭转的变形；3柔性铰链的-端固定，另-端为自由端。

a结构参数图图 1柔性铰链结构参数及受力图Fig·1 Flexible Hinge Structure Parameters and Force Diagram柔性铰链通常应用在二维平面运动范围内，受力分析，如图1b所示。点 1处位移和载荷的关系为：乏 yF,式中： ，-在力 ，作用下点 1处沿 Y方向的位移量 ； -在弯矩·和力 t共同作用下点 1处绕z轴的转角变形量。

由互等定理嗍，可得：c坩 2f ：根据卡氏第二定理河 ㈩ 为弹性应变能： 争 4其中， . . ，lbt 综合式1～式4，可以得到柔性铰链的通用转角柔度计算公式为： 12 f。z, 1 52.2典型柔性铰链的转角柔度计算公式分别将椭圆形、直圆形、抛物线形和双曲线形柔性铰链的结构参数带人式5得到的各个典型柔性铰链的转角柔度计算公式形式复杂、包含的参数多，为简化转角柔度计算公式，便于对其转角柔度进行对比分析，引入两个无量纲参数： ： 2
，
c 6l卢：寺 -由几何知识可知，通过-个平面按不同的角度与-个圆锥相交可得到椭圆、圆、抛物线和双曲线。分别将椭圆形 、圆形 、抛物线形、双曲线形柔性铰链的柔性部位的边沿曲线表述为圆锥曲线，典型柔性铰链柔性部位边沿曲线的平面坐标图，如图2所示。

Vi 1 1! 叫图2柔性部位边沿曲线坐标图Fig.2 Edge Curve Graph of Flexible Parts各个典型柔性铰链的圆锥曲线方程为： ：x-aY-争-cy-争： 乙 ∽- #：·f n t4 4r由式7可分别得到各个典型柔性铰链柔性部位的可变厚度函数t ：
。
：抖2c- 2-t
c ：2 -2 ： 1- - 8th 2如c -1其中，0≤ ≤2n，ie，c，p，h依次代表椭圆形、圆形、抛物线形和双曲线形柔性铰链。

式6、式8带入式5可得典型柔性铰链的转角柔度计算公式 ：c,
, e
- 6o6o/.

2 61丽otarctan僻 61et arctan僻 3

x35ot 3州 12- 9101112No.9Sept.201 3 机械设计与制造2.3有限元法验证转角柔度计算公式采用有限元分析软件建立各个典型柔性铰链模型，单元类型选择4节点6自由度的shel63，采用智能网格划分，在柔性部位最旭度处对网格进行优化 ，其中圆形柔性铰链的有限元模型，如图 3所示。在关键点 1和 2处施加大小相等方向相反的力偶来实现单位力矩 ，各个典型柔性铰链宽度为固定值 6：0.01m，弹性模量和泊松比以铍青铜材料为参考：E126GPa，/z0.3，参数 f、。和 c取多组不同数值，有限元分析和理论公式计算结果最大误差不超过 10%，证明理论公式的正确性。同时，理论计算结果均大于有限元分析结果，这是由于理论模型的推导是基于欧拉伯努利梁假设条件 ，忽略了剪切和扭转变形，只考虑了外加载荷引起的弯曲变形。

图 3圆形柔性铰链有 限兀模型Fig.3 Finite Element Model of Circular Flexure Hinge3转角柔度对比分析通过观察转角柔度计算公式可知qr-V典型柔生铰链转角柔度与弹性模量 、柔性铰链的宽度b成反比。为对比研究转角柔度，以圆形柔性铰链的转角柔度为比较基准，定义转角柔度比函数 ： √e，P，h 13J0将式9～12带入式13得 ：14 2 35 03X/-10。arccot、/ 2a2a1516在大行程柔性机构的设计中，柔性部位的厚度t和切口深度c决定着柔性机构沿 Y轴方向的长度。为保证大行程柔性机构具有合理的Y向长度值，给 取 3个固定的值分别研究椭圆形柔性铰链、抛物线形柔性铰链和双曲线形柔性铰链与圆形柔性铰链的转角柔度比函数 随参数卢的变化情况，结果，如图4a～图4c所示；参数卢固定时，转角柔度比函数 随参数 的变化情况，如图 4d所示。

由图 4可知：1当参数 增大而卢减小时，转角柔度比函数. 增大；2对于相对较大的参数 和相对较小的参数口，椭圆形柔性铰链、抛物线形柔性铰链和双曲线形柔性铰链的转角柔度大于直圆形柔性铰链的转角柔度，即转角柔度比函数 大于 1，且椭圆形柔性铰链的转角柔度最大；3对于参数口的某-同定值，参数 存在-个临界值，当O/大于该临界值时，双曲线形柔性铰链的转角柔度大于抛物线形柔性铰链的转角柔度；当 小于该临界值时，抛物线形柔性铰链的转角柔度大于双曲线形柔性铰链的转角柔度；综上可知，在进行大行程柔性机构设计时，以椭圆形柔性铰链作为基本变形单元，在相同的载荷作用下，可以使柔性机构获得更大的运动范围。

4结论在进行大行程柔性机构设计时，为避免材料的塑形变形，需要选择转角柔度较大的柔性铰链结构作为基本变形单元。而现有的典型柔性铰链转角柔度计算公式涉及的参数多、结构形式复杂，难以对比研究它们的转角柔度特l生。为此，以卡氏第二定律为理论基础推导了柔性铰链的通用转角柔度计算公式；引入两个无量纲参数，通过将典型柔性铰链柔性部位的边沿曲线表述为圆锥曲线形式，求得柔性部位的可变厚度函数，在此基础之上，建立了含有共同参数的各个典型柔性铰链的转角柔度计算公式；有限元分析结果与理论公式计算结果误差小于10%，从而验证理论公式的正确性。

以圆形柔性铰链的转角柔度为基准，定义了转角柔度比函数。对比分析了典型柔性铰链的转角柔度。分析结果表明，椭圆形柔性铰链具有较大的转角柔度。为确定大行程柔性机构设计时所采用的柔性铰链结构的基本形式提供了理论依据。

卢a椭圆形与圆形柔性铰链卢b抛物线形与圆形柔性铰链机械 设 计 与 制造No.9Sept.2013口c双曲线形与圆形柔性铰链d 固定图4转角柔度比函数Fig.4 Angle Compliance Function