基于半参数回归模型的制造过程加工误差流建模与分析

Stream of Variation Modeling and Analysis for Manufacturing ProcessesBased on a Semi·parametric Regression M odelZHANG Lei - ZHANG Zhisheng ZHOUYifan DAI Min SHI Jinfei 1，3(1.Mechanical Engineering School，Southeast University，Nanj ing 211189；2.M echanical& Electrical Engineering Schoo1.Xuzhou Institute ofTechnology，Xuzhou 221018；3.Nanjing Institute ofTechnology，Nanjing 21 1 lOO)Abstract：To model the stream ofvariationS propagation and accumulation in multi-station manufacturing processes，the relationshipsam ong the input eI邮 ，system erors，random erors and output el娜 at a station ale investigated and a corresponding model an d itssolution method are presented.Based on Taylor formula and the practical experiences assumptions，a semi-parametric regression modelis proposedto denote the relationship between station input error8 and output erors by the parametefized method and the relationshipbetween station output errors and system CrO by the non-parametric method.By calculation of the smoothing parameter using ageneralized cross validation method an d the regularize matrix on the practical experiences，a penalized least squares method is used toofertheparamecandnon-parametric estimation oftheproposedmode1.Atwo-stationgrinding exam pleistakentoillustratethattheproposed model is able to not only model correctly the variation propagation and accum ulation in multi-station manufacturing processes、 mthe separationofsystemeroand random ero。butalso show agoodinterpretabilityandapplicability。

Keywords： Stream ofvariation Semiparametricregressionmodel Penalizedleast squaresmethod System errors Random erors0 前言制造过程中存在着加工误差流，即输入加工系·国家 自然科学基金青年基金(71201025)、江苏省 自然科学基金(BK2011608)和高等学校博士学科点专项科研基金(20110092120007)资助项目。20121114收到初稿，20130416收到修改稿统的坯(工)件误差随着加工工序有序地转换为输出工(零)件误差的过程，它表征了制造过程中零件误差形态的变化，是制造系统不可逆过程中有关变化率的-种广义流1]。对误差流的研究旨在建立与其相关的数学模型，探寻误差的传递和累积规律，为提高零件加工精度，辨识加工误差源，消减质量变2013年 8月 张 磊等：基于半参数回归模型的制造过程加工误差流建模与分析 181异奠定基矗罗振璧等[1 基于迭代映射和突变论构造了两类加工误差流动态模型，提出了加工误差流控制的原理、策略和方法。LAWLESS等[3-4]采用-阶自回归 AR(1)模型对误差流进行建模，并着重分析了测量误差对模型的影响。JIN等I5首次发现了平面零件装配过程中的 重定位”现象，采用状态空间建模方法，建立了平面刚体零件装配过程的多工序误差流模型，该方法已被拓展用于三维装配过程建模[6-7。HUANG 等[ 9研究了零件三维制造过程的误差传递规律，建立了多工序制造过程的线性状态空间模型。ZHOU等m进-步归纳了误差的矢量表示方法，提出了-种基于微分运动矢量的线性状态空间模型用于描述制造过程误差传递 。之后，LOOSE等J和 ABELLANNEBOT等L1 分别对线性状态空间模型进行了改进和补充。国内学者苗瑞等1 也应用状态空间方法对误差流的建模问题进行了分析和探讨。此外，还有学者提出了误差流的 e质量控制模型酬，基于质量控制的网络模型l 和融合多元统计过程控制和变异流方法的误差传递模型l 等。

但是，上述对误差流的建模和分析还处在线性模型阶段，且所考虑误差源的种类较少，有测量误差 ，定位误差[5，基准误差[8.9 等。-般来说，制造过程是个极其复杂的非线性过程，影响零件制造质量的原始误差多种多样，这些原始误差通常都是综合交错在-起对制造质量产生影响的，且其中很多原始误差的影响带有随机性。本文将考虑制造过程的非线性特质，首次建立加工误差流的半参数回归模型，将工序系统误差和随机误差分离出来，并用实例证明所建立模型的适用性。

1 加工误差流的半参数回归建模如图 l所示的具有Ⅳ个工序的多工序制造过程，工序 f-l的输出尺寸 - 作为工序 f的输入尺寸，经过工序f后输出尺寸 (i1，2，，N)。这种输入输出关系设为 f -1) (1)式中，f(xi-.)表示输入尺寸在制造工序f上的变化规律。 是工序 的系统误差，考虑到系统误差是个有-定规律变化的量，设为函数 (.)，它与工序f的加工原理、机床设备、刀、夹、量具等的制造误差和工艺系统的动态精度及过程中的热和力等因素相关联。 )可能是个高维函数，为了避免 维数祸根”和方便后续问题的处理，这里假定 )是个- 维函数；且由于制造过程的系统误差-般与时间相关，故设墨(·)：墨(f)。 为工序f固有的随机误差， ～N(0， 2)，且 (f1，2，，Ⅳ)间相互独立。这样式(1)可写成 厂( -1) (f) (2) 带 1 W 1 5I W i 5N WN图 1 N个工序的制造过程将 厂(誓-1)在 -1 l10处进行泰勒展开(Xil'o为工序i输入尺寸的基本尺寸 ，有-1) ) (xi-1- ) ×(Xi1-Xil，0)： (. ～。- -。，)，式中，，1，2，，q，。 -l- 1.0表示的是工序 f的输入尺寸与输入尺寸基本尺寸的尺寸偏差。实际加工 中 ， I -1-xi1.o I《xil'0，所 以 I( -1-XilIo)/-1.。l<1，对其进行-次截断，得到/( -1) ( o)f ( -1，0)( -1- 1.o) (3)将式(3)代入式(2)，得到- 厂(. -1.0)f -1，0)( -l-Xi-l，0) (f) (4)考 虑 ( ..o)： 实 际 加 工 中 ， - 般f(Xi-l，0)≠ .o( 。是工序 输出尺寸的基本尺寸)。

但无论用试切法、调整法还是数控加工，末次切削均按照图样的中差尺寸编程加工，以使最终尺寸落在公差范围内的概率最大。故根据上述实际加工经验对 厂( 1.。)做如下假设f(xi1.0)Xi， Xi，o f-薯，。 。 (5)式中，。

为工序f的中差尺寸， 和 分别表示。o的上下偏差， 表示 .。的公差带～式(5)代入式 (4)， 并 令 Xi-.oYi， -l- -1.oYi-1，( )/2ai，厂 ( .1o) ，可得f - 1 ( ) (6)式(6)即为单-尺寸特征误差的多工序误差流模型。

若令 Y - ，则式(6)可写成 f-lSi(f) (7)式中，屈(f.1，2，，N)表征了输入的尺寸误差对输机 械 工 程 学 报 第49卷第 l5期出的尺寸误差的影响程度，即误差复映程度，本文定义其为传递系数。式(7)表示制造单元的输出尺寸误差和输入尺寸误差存在着确定的函数关系，和制造单元的系统误差存在不确定的函数关系。

若在工序f上测量n个零件的m个尺寸特征，每个零件所体现的系统误差不同，共有n个系统误差水平，传递系数屈在每个尺寸特征上发生不同变化，共有m个传递系数，由式(7)得，， Pi，kYi-1，j， ( )wi， fl，2，，NJ1，2，，n k1，2，，m (8)式(8)写成矩阵式为令∑kl∑ ：，kl.1届.2：Yi-1，1，1Yi-1，2，1Yi-1 ，1，- 1，1，2Yi-1，2，2Yi-1，el，2(f1)8i( )：Si( ).1，： .- (f1 f2 ) l∑ 。， ∑ ：， ∑ J 厂J，l 州 m 、kl kl kl /B ( J ，： ， )S( ( )si(t2) ( )T ( ，。 -wi，)则式(9)可写成LB XS (1∞nx1 x州 m xl ×l n×1式(10)即为多工序多尺寸特征的误差流模型，也是个标准的半参数回归模型，、即制造过程的加工误差流可用半参数回归模型描述。式(10)将与观测值(上)函数关系已知的输入误差部分( )完全参数化( )，将函数关系未知的、难以用函数关系表达的系统误差S用抽象函数( ( ))表达，与完全参数模型和非参数模型相比，兼顾了二者的优点。基于式(10)，下面将采用半参数回归理论来研究多工序误差传递和累积的有关性质。

2 加工误差流半参数模型参数和非参数估计式(10)中，这里值得注意的是基于 ， 估计传递系数x，并能够得到关于系统误差 和随机误差 的描述。由补偿最小二乘法，根据式(10)，其对应的误差方程为VBXS- (11)式中， 、 分别为 和 的估计。根据最小二乘原理V PVman (12)式中，P为对称正定方阵，是观测值三的权阵。由于此时方程含有mn个未知量，而方程只有 m个，故无法得到唯-解。为此，需要修改平差准则，-个合理的选择为[20]V PVaT砖 man (13)式中， 是-个给定的非负纯量因子，在极化过程中对 和 起平衡作用，称为平滑因子；R为适当给定的正定矩阵，称为正规化矩阵。此时可把平差问题归结为-个条件极值问题。

由Lagrange乘数法，构造函数 PV TR 2K (放 -上- )(14)式中，KLagrange常数。n (14)分别令 0，： 0及 ：0可得KPV (15)K-aRS (16)K0 (17)将式(15)代入式(17)，并考虑误差方程式(11)得BT BT 丑TPL (18)令ⅣBTPB，由于Ⅳ可逆，故有： Ⅳ- TPL-N- B f191由式(11)左乘 P，再由式(15)、(16)，得PBX(PaR)SPL (20)式(19)代A.N式(20)得七 H； ∑。

2013年 8月 张 磊等：基于半参数回归模型的制造过程加工误差流建模与分析 183(PaR-PBN～ BTP) (P-PBN- BTP)L(21)令 PaR-PBN- BTP，贝0 M- -PBN- B P)L (22)由式(11)、式(19)和式(22)-T得传递系数的估计值、 系统误差的估计值 和观测值改正数V。

在上述解算过程中，平滑参数 和正规化矩阵都是要预先给定的量。其中平滑参数 通常采用广义交叉核实函数 G(口)计 ∑(厶-G(口)-JI.生----- (23)I 1-二打(.，( )l、 n式 中 ， J(a)M (I-M)B(B P(I- ) )- ·BTP(I- )，称为帽子矩阵；五为观测值的平差。

的选取与具体问题有关。在机械加工中，如果测量的观测值是在时刻 f1，t2，， 得到的-个时间序列，而认为相邻时刻的模型误差 与S 的差别不应太大∩令 ∑ (童，- ) ，此时可以选择如下形式的正规化矩阵[20]G n-1，： G G- 1 1- 1 1(24)这时因rank(R)n-1

(1)校验传递系数 ：文献[1]通过建立加工误差流的-维迭代模型曾对传递系数作出判断：在提高精度的加工工序中，0< <1；在增大加工误差的加工工序中，1< 。

(2)由于传递系数 反映的是工序问误差的复映关系，-般来说，这种复映关系较不明显，其值很杏近于 0，故可以对由屈组成的矢量 的估计值 做 是 否 为 0 的 假 设 检 验 ： 设 (届， ，， ) ，检验假设为 ： 0，f1，2，，m。为了与平滑因子区分，可设显著性水平为 al 。 由 于 方 差 的 估 计 为 - -i)/I-。，㈣，J(a)为帽子矩阵∩得检验统计量：T / √cf～f(/)，其中 表示B(B-P(I-M ) 的对角线上第i个元素， 为自由度为 厂tr(I-.， )的t分布的统计量。拒绝域为JT J≥ /：。如接受假设 ，则可认为上道工序的误差复映为零，本道工序的尺寸误差主要来源于该工序的系统误差和随机误差。

(3)对 随机 误差 做 正 态性检 验 ： 因为 ～N(O，0- 2)，所 以可检验 诸元素是否符合正态分布。

3.2 算例加工轴类零件的 60和#3o外圆，粗磨工序尺寸为 60.11 ， 3 0.1103；精磨工序尺寸为t60.01o0l19，#30.O10l3。顺次记录230个零件实测尺寸与基本尺寸之差，由式(9)分别确定 和三，建立本例数学模型：由式(23)计算 为 O.O5，式(24)取 皿，取P为单位观测权阵，由上述补偿最小二乘法解算过程估计粗磨工序至精磨工序的传递系数矢量 和 精 磨 工序 系 统 误 差 ，分 别 得 到 ： (0.0015，0.1086) ， 如图2所示。由上述估计可得精磨工序随机误差估计 如图 3所示。

(1)由 (0.001 5，0.108 6) 可知，传递系数介于 0和 l之间，工序是由粗磨至精磨，是提高精度的加工工序，与文献1]的预判相符。

机 械 工 程 学 报 第 49卷第 15期g图2 精磨工序系统误差图3 精磨工序随机误差(2)屈0.001 5，趋近于零∩对 屈是否为 0作假设检验： ：届0。设显著性水平 0.05，由上例观测值 Z的方差 为 O.075， B( P(J- ) ) 矩阵对角线上的 ，：0.1l2 5X 1旷3，统计量T毫/ √ ～f(厂)，ftr(t-.，( )-22，t0.025(22)2.073 9，拒 绝 域 为 (- ，2.073 9uf2.073 9，-)，计算 1.89不在拒绝域内。故接受原假设 。即可判定粗磨工序的误差复映对于精磨工序的尺寸误差没有影响。

f3)由分离出的随机误差图，使用 Matlab的jbtest函数 做 .jarque.bera正 态 性 检 验 ，得 到hjbtest( 1-0，可证明其服从正态分布。

综上所述，可证明所建立的半参数回归模型在分析工序误差流时是适用的，并由上例分析可得所提出的半参回归模型能够为实际质量控制提供如下支持。

(1)模型的传递系数体现了多工序间的误差传递的影响关系：由传递系数矢量 ，若 较大，则本道工序受前道工序误差输入影响较大；反之较校进-步，还可由 的矢量元素判断尺寸特征中哪个受前道工序误差传递影响较重，哪个较轻。如上例：60外圆几乎不受粗磨输入误差影响；而30外圆受粗磨工序输入误差影响较之要大。

(2)由于所建立模型可分离系统误差和随机误差，故可由模型估算的系统误差获得本道工序系统误差变化的规律，判断是否存在变值性系统误差。

进-步，还可根据估算结果进行系统误差预测。如上例图2，系统误差呈现出某种潜在的规律性变化，为质检人员进行下-步分析提供了依据。

4 结论(1)对制造过程加工误差流进行半参数回归建模，建立了输出误差与输入误差的参数化关系，与系统误差的非参数化关系。

(2)与完全参数化建模方法和非参数化建模方法相比，本文提供了工序系统误差和随机误差的数学描述，具有更好的解释性和适用性，为加工误差流的分析提供了全新的思路和方法。