曲柄滑块机构运动精度的概率分析与计算

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就机构的运动精度而言，影响其最终使用精度的主要环节有加工、测量、装配、使用环境和条件等。反过来，机构运动精度的高低对加工条件 、测量条件、装配条件的要求也是不同的。在既定条件下，机构的运动精度是否满足设计要求，受到许多不确定性因素的影响 ，因此，它应是-个随机变量。能够体现机构运动精度的具体指标就是机构运动各输出参数的误差 ，它是-个多元随机变量。对于多元随机变量，利用矩阵来分析比较方便 。

考虑到诸多不确定性因素的影响，应该研究产品的实际精度满足设计精度的概率问题 ，即精度的可靠性问题月。对机构而言，机构运动可靠性就是机构在规定的条件下和规定的时间内完成规定功能的能力。

用概率来衡量这种能力的指标，就是机构运动的可靠度。值得指出的是，这里所说的完成规定的功能”实际上就是指机构运动的输出参数误差要能够在规定的使用条件和使用时间内均能满足设计要求。当机构运动输出参数误差超过设计要求时就是机构运动失效。研究机构的运动精度可靠性 ，实际上就是建立机构运动的输出参数与机构运动的输入参数之间的关系方程，并由此导出机构运动精度分析和概率计算模型。

关于机构运动精度可靠性的研究 目前已有不少研究f6I。但目前已有的这些研究至少存在以下两个方面的问题：(1)关于机构运动精度可靠性在不同状态下的规律性探讨比较缺乏。无论是否考虑机构间隙，也无论机构参数服从何种分布，就-个实际工作的机构而言，在任-时刻，它的实际状态只有-种，即该机构运动在此时此刻的实际输出误差是确定的，而这种确定性至少在几个运动周期内可以认为是不变的。因此，必须要研究机构在某个时间片段中-个运动周期内的可靠性变化规律和趋势，这种规律和趋势应该具有普适性，它不以机构实际工作时间的长短而改变；(2)关于机构运动精度概率分析模型的实用性问题。很多文献给出的模型推导过程很详细，但在实际应用中却比较令人费解。即无法从其推导的理论分析模型中导出其实例中所给出的结果。众所周知，从-个理论分析模型到实际应用常常还有-个中间的分析过程，这个过程直接影响着该文献的参考价值。

来稿日期：2012-09-1l基金项目：江苏势技攻关项目(BE2006036)作者简介：陈胜军，(1964)，男.安徽萧县人，博士，副教授，主要研究方向：机械可靠性204 陈胜军等：曲柄滑块机构运动精度的概率分析与计算 第 7期2曲柄滑块机构运动精度及概率分析-般模型2.1曲柄滑块机构的运动精度模型不失-般性，设机构输入与输出关系的确定表达式可用下列方程组表示：， ，尺)0 (1)期中， - ] ，n个独立运动方程向量；[u u Un] ，n个独立机构输出运动向量； [ 。 r，s个独立机构输入运动向量； r2 ]，个独立机构尺度参数向量。

由(1)可求得输入与输出的关系式为：UU(V，R) (2)在时刻 t将(1)式在各随机变量均值处进行-阶泰勒级数展开可得：△ AV AR0 (3)U OV aR式中：AU、AV、△ - 、 、尺的误差向量；OF/OUT、OF/OV 和OFOR -U、 、R的雅克比矩阵。

其中，OFIOU 和AU的具体形式如下：aFUaA，/aul af，/0u2 /0un/Oul /au2 /au/Oul oyo/2 oy./(4)AU[Au Au Au ] (5)其余表达形式类推。

解(3)可得：△ f ]f ] (6)au J 勰 J在不考虑输入运动误差的情况下，即AV-O，则式(6)可简化为：AU- ] (7) J式(6)和(7)就是曲柄滑块机构输出误差的-般模型。值得指出的是，针对具体的对象和问题 ，可根据该公式推出更为具体的表示公式，并进-步求出输出误差的随机特性，从而为可靠性分析奠定基矗2.2曲柄滑块机构运动精度概率分析-般模型2.2.1机构运动的极限状态方程机构运动的状态函数为：zlg( )-g( 。，X2，， ) (8)式中： 。 ]-基本随机变量向量；定的功能状态函数。

对于机构而言，其运动输出向量超过某-规定状态就不能满足设计规定的功能要求，即是失效。对于各种极限状态，均应规定明确的标志及边界值。

机构在任意时刻是否能够保持其规定功能，在数学上可用状态函数的数值是否大于 0来表示。根据可靠性工程关于产品两态性的假设，机构运动状态可分为可靠状态和失效状态两种情况。其数学表达为：可靠状态： )>o；失效状态： )<0；极限状态： x)-o。极限状态方程为：Zg(X)0 (9)在解析几何中，极限状态方程g( )D是n维坐标空间OX.X 中的-个n维曲面，即极限状态曲面。因此，机构的可靠域和失效域可分别表示为 ：可靠域：n X lg( )>0 (10)失效域：Q x lg( )<0 (11)二维空间内极限状态方程、可靠域及失效域，如图 1所示。

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由式(12)可得到曲柄滑块机构的极限状态函数为：zg( ) -1△u l (13)2.2-2机构运动的可靠性指标通常所说的可靠性指标卢被定义为m：状态变量z的均值与标准差 or，之比，即：8-丝 ： 1 3 (14)式中： [g( )]和Var[g(X)]-状态变量 )的均值和方差。

根据随机变量的运算规则，由式(13)～(14)可得：丽#x：-P，lavI l5式中： 、 -向量 的均值和标准差；l IA I-向量I△u I的均值和标准差。

No.7July.201 3 机械设计与制造 205在可靠性设计中，可靠性指标卢的大小与可靠度的大小-- 对应：卢越大，可靠度越高；卢越小，可靠度越低。因此常用可靠性指标口代替可靠度。

当基本随机变量服从正态分布，且状态函数z ( )为基本变量的线性函数时，机构运动的可靠度R和失效概率 可通过式(16)-(17)精确计算：R (口) (16)： (-3)I-R (17)式(13)～(17)就是平面连杆机构的运动可靠性-般模型。

3对心曲柄滑块机构运动精度及概率计算模型3.1对心曲柄滑块机构运动精度模型如图2所示，其中：rOB为曲柄长度 rB6"为连杆长度； 为曲柄转角； 为曲柄角速度。

图 2对心曲柄精块机构Fig.2 Slider-Crank Mechan ism由图2可得该机构输入与输出关系的独立方程为：y- c0 -3q/r2Bc - r20ssin2a0 (18)将上式与式(1)对比可知，此处：] 有1个独立运动方程；[Ⅱ。ry，有1个独立输出运动参数； f I] ，有1个独立输入运动参数；R[r。r2] [ rnc r，有2个独立尺度参数。

由(18)可写出如式(2)形式的输入输出关系式为 ：y‰c0sa'V/rc-r20sin2a0 (19)下面根据式(7)来推出对心曲柄滑块机构输出误差的具体模型。

根据独立运动方程(1 8)求各个雅克比矩阵：： Iof，/Ou。l：Iof/oY I：1萼 f 胁。 I：lOft&oh Of/Orac矗 - rBc输入尺度误差向量为：△R：aroB△ ]根据公式(7)可得：△y-叶彘 --- ---：- - -，sc AGc[-2 2 2V c- sin(21)△y(c。 - ros in a IJ△ 筝了 (2)V nc-rOB811 / V k- sin式(22)就是对心曲柄滑块机构的位置输出误差方程。

根据随机变量的运算规则 ，由式(22)可得 AY的均值和方差分别为：- ro sin a ，- 2 l V ∞-r∞slnJ]亍之 c V船 --rOBsinf - 2 1- roesin etf ；肌 1。： rob V 嬲-sin J(23)(24)式(22)～(24)就是对心曲柄滑块机构的运动精度模型。

3.2对心曲柄滑块机构运动精度概率计算模型对于对心曲柄滑块机构，根据式(12)可得到其运动不失效条件为：lAY I<[AY] (25)曲柄滑块机构的极限状态函数为：z )[△y]-IAy I (26)曲柄滑块机构运动可靠性指标为㈣：卢：丝 ： (27)O"z、/ 式中：I AY I-曲柄滑块机构运动输出误差的绝对值；[AY-曲柄滑块机构运动输出误差的允许值，为巳知量；心圳和O'Ear]-lAY l的均值和标准差；]和 ]-[△y]的均值和标准差。

曲柄滑块机构的运动失效概率 为： (]8) (28)曲柄滑块机构的运动可靠度 为： (--3)：1- (29)式(20)-(24)就是对心曲柄滑块机构运动精度概率计算模(20) 型。

4算例已知某对心曲柄滑块机构尺度参数如下：row：(5005)mm，rnc(7507.5)mm，机构运动位置允许误差机械 设计 与 制造No.7July.2013为 14.5ram，机构运动位置允许误差的极限偏差为(±1.5)film。试分析该机构的可靠性♀：为了利用这里所建立的模型进行计算，首先要明确有关参数：Aro(-5)miI1，△r (±7.5)mm，roB500mm，r750 mm， E(IAr 1)5ram， E(IAr)7.5mm。根据误差理论中极限误差与其标准差的关系可得：Archto" ，△r 其中，t为置信系数，它的取值与要求的精度有关。对于机构尺度参数多数服从正态分布的情况来讲，按照 3r原理取值能够满足工程精度要求。因此，oAr ， . 。若对机o lArosl/35/3rnm Arl/375/3mm构的位置运动误差有更高的要求 ，可以认小的 t值，这应在机构设计阶段确定。同理：[△l，]14.5mm， E([△，，])14.5mm，1.5/30.5mm。该机构在不同运动状态下的失效概率计算结果，如图3所示。

/f 1/，l -、.I- - - /- - - - ◆-PR PF图 3埘心曲柄滑块机构运动可靠度Fig.3 Slider-Crank Mechanism Kinematic Reliability罔 3中，横坐标 ol表示角度；曲线 PR表示机构运动町靠度，曲线 表示机构运动失效概率P如图 3表明：在-个运动周期内，曲柄滑块机构在起始位置即ct-0。时，运动精度的失效概率达到最大，可靠度达到最小值 ；在(0～180)。的变化过程中，机构运动失效概率呈递减趋势 ，可靠度呈递增趋势，在 al 80。处，机构运动失效概率达到最小值 ，机构运动可靠度达最大值；在(180～360)。的变化过程中，机构运动失效概率呈递增趋势，可靠度呈递减趋势 ，在 a360。处 ，机构运动失效概率达到最达值，机构运动可靠度达最小值。机构在前半周(0-180)o和后半周(180-360)o各对应点处(如 a90。和 a270。)处的运动失效概率对应相等。

5结论将矩阵分析理论和可靠性极限状态理论181应用到曲柄滑块机构的运动精度概率分析及计算中，建立了具有普遍意义的曲柄滑块机构的运动精度模型和概率分析模型；以对心曲柄滑块机构为具体对象，给了曲柄滑块机构的运动精度模型和概率分析模型的具体应用方法，并由此导出了具有实际应用价值的对心曲柄滑块机构的运动精度和概率计算模型。

根据算例可以看出，机构在-个运动周期的不同状态(即O/0。取不同的数值)，其实际的运动输出误差是不同的，并由此导致其相应的运动失效概率和可靠度也各不相同，且运动失效概率和可靠度的数值变化具有周期性。这对于机构的早期设计和加1二制造具有指导意义。