截尾时间下数控机床可靠性分析的灰色模型法

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威布尔分布是瑞典物理学家 W.Weibul在分析材料强度及链条强度时推导出的-种分布函数，威布尔分布对于各种类型的试验数据拟合能力强，对浴盆曲线的3个失效期都能适应，又由于在各个领域中有许多现象近似地符合威布尔分布，因此，它的适用范围很广，是可靠性工程中广泛应用的连续性分布。数控机床是典型的串联式可靠性模型，其可靠性由机床的最弱环节所决定，而威布尔分布模型可以从最弱环节模型导出 ，故在分析数控机床可靠性时，多采用威布尔分布模型。

本文采用三参数威布尔分布模型进行分析，其参数估计较为复杂，常用的方法有概率权重矩法 、极大似然法 、双线性回归法 、相关系数优化法 、灰色模型法 、矩估计法 、Bayes估计法 等，文献[9-10]对各种估计方法进行了对比研究，研究结果表明：灰色模型法适合截尾样本且不需迭代，可直接估计模型的3个参数，无论样本大轩能获得较高精度。

对数控机床进行现场故障数据收集时，最后会获得-个截尾时间 ，考虑截尾时间时计算比较复杂，为了简化计算过程，常舍去该截尾时间，但在文献[11]中提到截尾时间不应被舍弃，它包含部分有用信息，考虑截尾时间所得模型将更加贴近实际。本文对5台某系列数控机床-年的现场故障数据进行整理分析，采用灰色模型 GM(1，1)的直接建模法 对 3个参数威布尔分布模型进行估计 ，通过对比发现：考虑截尾时间比不考虑截尾时间所得模型参数均有所增大，根据威布尔分布的各参数性质，说明了考虑截尾时间时所得模型确实更加贴近实际。在该模型基础上将包含有截尾时问的故障数据用区间法划分，提出采用离散 GM(1，1)建模法 对区间失效数进行估计，通过中点与失效数对平均无故障工作时间(MTBF)进行估计，并与 MTBF观察值以及威布尔模型得出 MTBF估计值进行对比，结果表明该方法准确有效，可以作为工程中对 MTBF估计的-种方法。

1 灰色模型 GM(1，1)的直接建模法对于-般非负离散函数 (t )，t ∈ ， ：t l t R，i∈Ⅳ，在数据生成的基础上，采用线性动态模型，对生成数据进行拟合逼近，建立 GM(1，1)灰色模型的白化方程为：塑 。 ( )：。 ( )d --t。 ( ) 1视 (t ， (t ))为-般时间序列，用(t ， (t ))和(t ， (t ))得到的直线斜率作为两点中间某点处基金项目：国家科技重大专项基金项目(2012ZX04005-021)作者简介：贾现召(1965-)，男，河南偃师人，教授，硕士生导师，主要研究方向为制造系统工程，工业工程收稿日期：2012-12-31第4期 贾现召等：截尾时间下数控机床可靠性分析的灰色模型法 ·13·的白化值 ♂合最小二乘法可得白化方程的系数，其矢量形式为：[口， ] (B B) B ，式 中，B - ÷ ：)]；- 1[ (f ) (tn)]； (2)求解式(1)，得时I司响应 函数为 ：( )cexp(-0 )b。 (3)在确定了发展系数 -n后，为提高模拟精度，可对参数 b、C继续用最小二乘法求其最优值为：[b，cl (D D) D Y， (4)式中，D：。xp -n exp-。 z) exp -。 1 ；l，：[ ( 。) (t2) (tn)] 。

1 1 12 威布尔分布三参数估计三参数威布尔分布函数的累积分布函数为：F( )1-exp[-(苎-二- ) ]， ≥ ，卢>0，叩>0， (5)其中，卢为形状参数，是威布尔分的本质参数，决定着分布曲线的形状；y为位置参数，它是曲线起点的位置，在可靠性分析中表示在 之前的时间不会失效，也被称为最小保证寿命；叼为尺寸参数，表示曲线横坐标的变化，可以表示当 0时威布尔分的特征寿命。

将式两边取两次自然对数有：ln ln flln ，则 - p[吉ln ln ]十 。 (6)令 in in ， (7)记 ( ，t )为-般时间序列，故有：r/exp(f1)y。 (8)式(8)与式(3)有相同的形式，故采用 GM(1，1)直接建模法，可解得卢-1/a，叼c， b。

3 实例分析与预测3.1 模型估计对采集的某系列数控机床-年的故障数据进行分析，采用 GM(1，1)直接建模法估计威布尔分布模型的3个参数，对有无截尾时间这两种数据类型所得结果进行对比。

计算步骤如下：(I)将所有故障时间 (带”表示截尾时间，h)按从小到大顺序排列。

(Ⅱ)采用 Johnson方法 计算数据的顺序号，t，( )J( )(n1-.，( ))/(n2- )。

(II)采用中位秩公式估计其分布函数，F( )(J( )-0.3)/(n0.4)。

· 14· 河 南 科 技 大 学 学 报 ：自然 科 学 版(Ⅵ)由式(2)得 o，再由式(4)得 b、c值，则模型参数p-1/a， C， b。

数据整理过程见表 1，其中截尾时间只计算 I，( )。若不考虑截尾时间，则取 J( )i，重复步骤(3)～(6)进行参数估计，得出的模型参数与截尾时间下所得的参数进行对比，对比结果见表 2。

将以上所得结果代入式(6)得到 的估计值，计算其与原始数据的相关系数，见表 2♂果显示两种数据类型所得模型的相关系数都很高，说明了灰色模型 GM(1，1)的直接建模法具有高精确性，而考虑截尾时间时所得模型参数比不考虑截尾时间所得模型参数有所增大。根据威布尔分布三参数的性质，位置参数的增大表明了数控机床的最小保证寿命的增加，尺度参数的增加表明机床的特征寿命的增加，因此考虑截尾时间所得模型更加符合机床实际工作情况。

表 1 故障数据整理表表 2 对 比结果3.2 MTBF的预测MTBF的观测值根据式(9)进行计算：TBF No，式中，N。为试验中机床故障总数； 为试验中第 i次故障和前-次故障的间隔时间。

(9)第 4期 贾现召等：截尾时间下数控机床可靠性分析的灰色模型法 ·15·则 MTBF的观察值为：MTBF 12 741.15 h/22 579.15 h。

通过所得威 布尔模型计算 MTBF得 ：r钾 1MTBFJ · t)dt 71F( 1)51.285 h545.018 h×0.946 7567.25 h。

- P本文通过划分区间来对 MTBF进行预测，这里将所采集数控机床故障数据按照经验公式划分为6组，计算其各个区间的失效数，令 t t t 是第 i个区间的左端点、中点和右端点的值。用 m (i)表示(0～t)的失效个数，则第 i个区间的失效数 n 为 n m (i)-m (i-1)，有截尾时间时，m，(i)处理为区间最大的失效数据的序列号。

以 1～6组失效数为背景值，建立离散 GM(1，1)模型，对更大的区间进行预测，通过计算中点和失效数来对MTBF进行估计。

作 1-AGO生成，建立白化方程式(1)，其离散响应序列为：n [n： - ]exp(-o ) ， (1O)Ⅱ a则预测模型为：五 0.455 9， ： 13.056 5， ∞ 8. 397 7，∽ 筇： -元 1 1.691 2 exp[-0.455 9(i-1)]，i2，3，.-。 (11)根据文献[15]可知：对递增数列，若0.3<-a<0.5，GM(1，1)可用于短期预测，中长期预测慎用。

本文失效数据为递减数列，得到发展系数为 0.455 9，故只用来进行 5步预测，由此可得 7～11组预测值，如表3所示。

表 3 数控机床 M丁8F预测表表 3显示 9～1l组的失效数已经非常小，不足 0.5次，说明数控机床连续工作 2 300 h以上的能力低，又由于采用 M(1，1)模型进行预测时，预测越远，误差越大，故用9～11组进行 MTBF的预测是不足取的。由这 8组的中点值与失效数计算得 MTBF588.93 h。该结果与 MTBF的观察值和威布尔模型计算的MTBF值的误差最大只有3.6%，说明基于区间法的离散 GM(1，1)建模法正确有效且精度高。

4 结论(1)两种数据类型所得模型的相关系数都很高，说明了灰色模型 GM(1，1)的直接建模法精确性高。

(2)考虑截尾时间所得模型参数比不考虑截尾时间所得模型参数有所增大，根据威布尔分布三参数的性质，说明该模型更加符合实际工况，因此，工程实际中为了获得更真实准确的模型，需要考虑截尾时间对模型的影响。

(3)以区间失效数为背景值建立离散 GM(1，1)模型，预测得该数控机床的MTBF估计为588.93 h，通过对比MTBF的观察值和由威布尔模型计算所得MTBF值，误差在3.6%以内，说明了该方法准确而且精度高，可以作为工程实践中对MTBF估计的-种方法。

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