散乱点云数据曲率估计方法

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散乱点云数据的曲率估计是基于点的计算机图形学的基本问题之-。高斯曲率、平均曲率等微分量可以用来解决计算机图形学领域的各种基本任务，其中包括平滑、分割、特征提娶分类、曲面重构和注册等。因此，发展计算曲率等微分量的算法受到了广泛重视。

曲率估计方法大多是针对曲面的流形表示(比如多面体网格 )，或者是有向的数据点集(如带有法向量信息的点 )。直接从散乱点云计算曲率信息这方面的工作相对比较少，这其中解析曲面逼近微分量是-种通常的做法 -1o 3，即用解析曲面局部拟合输入点集，然后计算逼近曲面的曲率。

主要步骤是，先估计采样点处的法向量，然后基于法向量建立局部坐标系局部拟合曲面，计算曲率。这类方法实际上是两步方法，间接地依赖于采样点处法向量的估计，另外没有引入稳健统计方法。

近年来，稳截归技术 -16]已广泛用于计算机图形各领域中。当-个给定的点云中存在噪声时，对局部形状的稳健估计是非常有用且重要 的。Wang等 在 2008年提出了-个新的稳健估计-最大核密度估计 ，它基于非参数核密度估计技术 ，可以容忍超过 50%以上的离群点。虽然该估计对离群点是非常稳健，但是窗宽作为-个重要参数，需要预先给出。Sheung等 基于局部拟合曲面和最大密度能量估计来计算点云数据法 向量。Kalogerakis等 提出了-种点云曲面曲率的稳健估计方法，在 M-估计的尺度下，算法根据局部观察的法向量差分得到了曲面采样点处曲率张量的最大似然估计。

工作包括：1)对文献[15]提出的最大核密度估计使用固定窗宽的不足进行了改进，提出了变窗宽的最大核密度估计，窗宽的计算是数据驱动的；2)基于变窗宽的最大核密度估计和解析曲面逼近，提出散乱点云稳健曲率估计方法。该方法既不依靠网格重建，也不依赖带有法向量信息的点集。算法是-步方法，即输入只是邻域内的点 ，中间不需要计算法向量信息，输出包括高斯、平均曲率等。

1 变窗宽最大核密度估计设 Y 是因变量，( ， )是自变量，经典的线性模型可以描述如下：Y n01 Xiw0 ef；i1，， (1)其中0(0 -，0 ) 是回归系数。误差项 e 通常假设服从正态分布 N(0， )。

收稿日期：2013-01-30；修回日期：2013-03-04。 基金项 目：国家自然科学基金资助项目(60873095)。

作者简介：张帆(1977-)，男，陕西西安人，高级工程师，博士研究生，主要研究方向：计算机辅助几何设计、计算机图形学； 康宝生(1961-)，男，陕西咸阳人，教授，博士生导师，主要研究方向：计算机图形学、图像处理； 赵建东(1984-)，男，陕西延安人，硕士，主要研究方向：计算机图形学、图像处理； 李娟(1981-)，女，陕西西安人，工程师，硕士研究生，主要研究方向：图像处理。

第6期 张帆等 ：散乱点云数据曲率估计方法 1663X计值 - ㈩ iw )与实际观察值 Yf之间的差： In Ll- l-Y - n0l- -Xiw (2)回归方法的 目的就是通过最携 (比如 M.估计)或者最大化数据残差的-个 目标函数来估计回归系数。文献[15]提出的最大核密度估计(Maximum Kernel Density Estimator，MKDE)假设内点服从高斯分布，且占据了数据点的相对多数。当-个模型拟合正确，内点的残差应该旧能接近于零。

因此 ，残差空间原点 P0处具有零残差值的概率密度应该旧能得高。设 。是残差空间尸0的概率密度。MKDE可以写为：arg maxf。 (3)设 ri .. 是n个残差点集，核为K，窗宽为h的核密度-厂 定义如下 ：K( ) (4)MKDE使 用 产生 最小 均 方积 分误 差 (Minimum meanIntegrated Squared Error，MISE)的 Epanechnikov核 ：K( )：f0·5ci (d2)(1- )， < (5) L0， 其他其中 c 是 维单位球的体积。残差空间是-维的，因此 ，d1，C ：2。MKDE作为稳健估计量，可以容忍超过50%以上的离群点 。

窗宽h是核密度估计的-个重要参数，文献[15]中MKDE的窗宽h需要预先给出，而且是固定不变的，这给实际应用带来不便。本文使用基于数据驱动的窗宽计算方法 ，采用文献[20]建议的-个简单的过平滑窗宽选择： [ (6)其中：r1R( )l ( )dxr1 . u2(K)I K(x)dxor是局部噪声尺度，可以用文献 [21]中的稳健中值尺度估计： 1.4826 f1 ) i (7) 、 /7， - W ， 这里把基于式(6)和式(7)计算窗宽 h的 MKDE称为变窗 宽 的 最 大 核 密 度 估 计 (variable-bandwidth MKDE，vbMKDE)。由文献[15]易知，vbMKDE也是基于非参数核密度估计技术的稳健估计量，可以容忍超过 50%以上 的离群点，并且窗宽 h是数据驱动计算的，不需要事先给定。

2 曲率估计vbMKDE可以用来找到能够最好拟合采样点 X邻近局部形状的二次曲面 ，其基本思想是 ：从给定的采样点 X的邻域N(x)内随机选择P个点来拟合-个二次曲面Js，根据式(4)和式(5)对这个拟合s计算得分。上述过程重复 m次，在 m个拟合中具有最大得分的曲面作为稳健拟合的结果。

如果-个P元集合由P个没有离群点的观测点组成，那么它是干净”的。理论上，m的取值与从 m个 P-子集中得到至少-个干净”P-子集的概率P有关，即：其中s是整个数据集合中所含离群点的比例。使用式(8)中的 m是不切实际的，因为我们并不知道 的值。因此，我们在算法中使用-个更实际的解决办法：设定-个固定的数值m(例如 m400，这意味着当s不超过60%、p5时，选择出- 个干净”子集的概率至少为 98%)，就可能得到-个相对干净”的点云。

经过随机地选择P-子集 ，用这些点来形成-个二次曲面S。首先计算这 P个点 的质心 ，使用 主成分 分析 (PrincipalComponent Analysis，PCA)来建立-个局部坐标系，将这 P个点变换到局部坐标系下，求得拟合的二次曲面S，最后，用式(4)计算这个曲面s的核密度函数值， 。曲面拟合重复做m次，在所有的m个拟合曲面中，具有最大 取值的拟合曲面作为最好的曲面 s。然后，利用牛顿法搜索得到采样点 在s 上的投影点x 。x 点的曲率就作为采样点 x曲率。

3 曲率估计算法描述曲率估计算法可以描述如下：第1步 初始化采样点 的 ： 的值为零。

第3步 重复执行下面操作 m次：3.1)随机选择P个点形成-个P-子集 P ；3.2)用P 来拟合二次曲面S bxy ey；3.3)用式(6)和(7)计算窗宽h；3.4)用式(4)和(5)计算 ；3.5)如果 > ： ，则令 ： ≤ 和P ≤P。

4 实验和结果本章通过几个模拟点云实验例子验证算法对噪声和离群点的鲁棒性。选取平面、球面和柱面作为测试曲面，分别采样得到平行于X-Y坐标平面的矩形网格上 121个点，间距是 l0个[单位]。指定长度的单位，可以帮助我们确定网格大型噪声之间的关系。具有相同分布的高斯噪声独立地加入到每个点的三个坐标分量之中。噪声方差的范围确定为 0.01，0.02，0.03，0.05，0.1，0.2，0.3，0.5，1，2，3，5[单位]。

，Y ， /R -( COS - sin ) ；， E-50，，50其中： 15。，R 100。

图 1(a)～(c)分别给出了平面、球面和柱面高斯曲率和平均曲率估计的标准差随加入的噪声的变化情况。表 1给出了本文 算法与文献 [7]所提抛物 拟合法 (Parabolic Fitting计算机应用 第33卷Method，PFM)关于平面和球面平均曲率估计的实验 比较。从图1和表1可以看出，本文算法在不同的噪声方差下可以得o 1 2 3 4 5噪声方差[单位(a)平面到曲率的稳健估计，特别随着噪声方差增大，实验结果要明显好于 PFM方法。

0 1 2 3 4 5噪声方差单位(b)球面0图 1 高斯曲率和平均曲率估计的标准差对比变化的噪声表1 平均曲率的标准差比较为了测试本文算法对离群点鲁棒性，将不同比例的在 ，Y∈(-50，50)， ∈(70，100)范围内随机分布的离群点分别加入到测试球面、柱面的数据点(内点)中。其中，数据点(内点)同时假设加入0均值，方差是0.1[单位]的高斯噪声，离群点的比例从0%变化到80%。图2分别是加入70%离群点的测试球面、柱面；图3分别给出了计算所得球面、柱面高斯曲率和平均曲率的标准差与加入离群点比例的变化关系∩以看出，本文算法对离群点是非常鲁棒的，可以容忍 50%以上的离群点。

l0090807O60(a)球面6060Co)柱面图2 70%的随机离群点( ”表示)加入到数据点本文算法采用 Matlab编程，实验平台是 PC机，配置是Intel Core 2 Duo CPU 8700### 2.53 GHz，2.53 GHz和 2 GB内存。表2给出了算法执行效率 ，与所有其他随机抽样方法-样，稳健估计的计算是非常耗时的。

0.0120.010O.o080.0060.Oo4O.O02O噪声方差单位(c)柱面离群点比例，%(a球面离群点比例，%(b)柱面图3 高斯和平均曲率估计的标准差对比离群点比例表 2 算法执行效率5 结语本文提出了-种基于稳健统计的散乱点云数据曲率估计方法。该方法既不依靠网格重建，也不依赖带有法向量信息的点集。采用二次曲面直接拟合三维空间采样点处的局部形状，根据 vbMKDE，得到了最优拟合曲面。计算投影点曲率信息，就得到了采样点曲率。经对模拟数据测试 ，算法对噪声和离群点是鲁棒的，可以容忍 50%以上的离群点。由于稳健估计的计算是非常耗时的，所提算法的效率有待于提高。在今后的工作中，将进-步研究算法的并行化方法。