提高打孔机生产效能的方案设计

过孔是印刷线路板的重要组成部分之- ，打孔机主要用于在制造印刷线路板流程中的打孔作业.研究提高打孔机的生产效能是-个十分重要的问题。

1)单个过孔的钻孔作业时间，这是由生产工艺决定，为了简化问题， .，羽 翅这里假定对于同-孔型钻孔作业时间都是相同的； 舍2)打孔机在加工作业时 ，钻头的行进时间； g d3)针对不同孔型加工作业时，刀具的转换时间.目前，实际采用的打 飚 f矗 。睃孑L机普遍是单钻头作业 ，即-个钻头进行打孔. 现有某种钻头 ，上面装有 8种刀具 a，b，c， ，h，依次排列呈圆环 图 1 某种钻头上 8种状 ，如图 1所示. 刀具的分布情况而且 8种刀具的顺序固定 ，不能调换.在加工作业时 ，-种刀具使用完毕后 ，可以转换使用另-种刀具 ，相邻两刀具的转换时问是 18 S.作业时，可以采用顺时针旋转的方式转换刀具，也可以采用逆时针 的方式转换刀具 ，将任-刀具转换至其它刀具处 ，所需 时间是相应转换时间的累加.为了简化 问题 ，假定钻头的行进速度是相同的，为 180 mm/s，行进成本为 0.06元/mm，刀具转换 的时间成本为 7元/min.刀具在行进过程中可以同时进行刀具转换，但相应费用不减。

不 同的刀具加工不同的孔型 ，表 1列出了 8种孔型所需加工刀具。

表 1 8种孔型所需加工刀具实际问题中印刷线路板上需要打的孔是成千上万，通过建立数学模型，来解决单钻头作业的最优作业线路(包括刀具转换方案)、行进时间和作业成本.表 2中象征性地给出了某块印刷线路板过孔中心坐标的① 收稿 日期 ：2012-08-26基金项 目：重庆市高等教育教学改革研究-般项 目(103433)。

作者简介：郑 文(1966-)，男，重庆长寿人，副教授，主要从事数学建模的教学与研究第 4期 郑 文 ：提 高打孔机生产效能的方案设计 8924个数据，单位是密尔(mid(也称为毫英寸，1 inch1 000 mil)，以此说明模型的可行性表 2 过孔 中心数据X - 142 269 Y 251 471 X - 142 269 Y - 312 418 X - 15 600 Y 221 600X 132 267 Y - 27O 351 X 132 267 Y - 315 568 X - 157 800 Y 325 000X - 141 169 Y 263 325， X - 112 264 Y 318 718 X - 157 932 Y 246 OOO1 问题分析在 印刷线路板的过孔 问题中，钻头的最优作业线路设计应使行进 时间和作业成本旧能小 ，这是-个多 目标优化问题.由于钻头的行进时间是有成本的，把行进时间换算成时间成本 ，所以总成本应是 时间成本与作业成本之和 ，这样就把多 目标优化 问题变成 了单 目标优化问题。

把线路板上的任意两个孔 72 、 ，相连，以V- ，72 ，， )为顶点集，边 E-e-Wi'U，l孔 与， 的连线)，每-条边上对应着-个权 c(e)，权 由作业成本和时间成本构成，则 ( ，E，c)就构成了-个赋权 图 N[ 。

钻头的最优作业线路问题就转化为在赋权图 N 中，寻找-条经过 中所有点的路 ，且在这条路上总成本达最小。

2 从-孔到另-孔打完所需的成本2.1 两孔之间钻头的行进成本及行进时间设孔 (z ，Y )、 (z，， )，从孑L (z ，Y )到 (z ， )的距离- 距离 d4中 是把单位毫英寸转化为毫米·钻头的行进成本是 0.06元 /ram，所以从孔 (z ， )到 ( ， )钻头的行进成本是c 0.06 d (元 )钻头的行进速度是 - 180 mm/s，所 以从孔 73 (-z ，Y )到 ( ， )钻头的行进时间是- dij- (秒 )2.2 刀具的切换时间及切换成本为 了研究的方便 ，对刀具 a、b、、 编号，用数字 1、2、、8来表示。

由于钻头既可顺时针旋转也可逆时针旋转 ，所 以从刀具 i到刀具 J与从刀具 J到刀具 i所用时间相 同，刀具切换时间矩 阵A是-个对称矩阵 ，即有A( ， )-A( ， )；另-方面与刀具 i等距离的刀具切换时间相同；由于相邻刀具的切换时间是 18s，所 以从刀具 i到刀具J的切换时间算法如下 ：1)在 i≤ J的情况下.当 ≤ 5i-1时 ，A(i，J)- 18( - )；当 > 5i-1时，A(i，J)-A( ，2(4 )-J)。

用 MATLAB语言编程求解 ，得刀具切换时间矩阵 A- (%) 。，切换时间表如下(单位 ：s)：90 西南师范大学学报(自然科学版) http：//xbbjb.SWU.cn 第 38卷表 2 刀具 的切换时 单位 ：sa b C d e f g ha O 18 36 54 72 54 36 18b l8 O 18 36 54 72 54 36C 36 18 O 18 36 54 72 54d 54 36 18 O 18 36 54 72e 72 54 36 18 O 18 36 54f 54 72 54 36 18 O 18 36g 36 54 72 54 36 18 O 18h 18 36 54 72 54 36 l8 O由于刀具切换的成本是 7元 /min，所以由刀具 i切换到刀具 J的成本是b ，- ×7(元)U U- 所以刀具切换成本矩阵 B- A。

U U2.3 从 l ( ，Y )到 ( 。Y )的孔打完所需的时间成本设孔 (z ，Y )用的刀具对应编号是 m，孔 ( ， j)用的刀具对应编号是 ，则 由孔 73 (z ， )到孑L( ， )刀具的切换时间是 A(m， )。

影响从-孔到另-孔打完所需时问的因素有 3个：钻孔时间、钻头行进时间、刀具切换时间；由于假设钻孔时间相同，所 以我们只考虑钻头行进时间、刀具切换时问.又因钻头在行进时可进行刀具切换，所 以从 ( z ， )到 ( ， )的孔打完所需的时间就是钻头行进时间与刀具切换时间的最大者t - max(t ，A(m， ))由于钻头的行进速度为 180 mm/s，行进成本为 0.06元 /mm，所以时间成本为180 mm/s×0.06元 /mm 10.8(元 /s)故从 (z ，Y )到 ( ，Y，)的孔打完所需的时间成本是- 10.8t (元 )2.4 从 (鼢，Y )到 ( ，Y，)的孔打完所需成本影响从-孔到另-孔打完所需成本的因素有 四个 ：钻孔成本 、钻头行进成本 、时间成本、刀具切换成本；由于假设钻孔成本相同，所以我们只考虑钻头行进成本 、刀具切换成本、时间成本；钻头行进成本与刀具切换成本之和称为作业成本。

设孔 (z ，.y )用的刀具对应编号是 m，孔 (z ，Y )用的刀具对应编号是 n.由前面的分析知 ，由孔。(Lz ，Y )到孔 (z ， ，)刀具的切换成本是 B(m，n)，行进 成本是 c 4- 0.06d ，时间成本是 ct/4-10.8 .所 以从 (z ，y )到 (z ，y )的孔打完所需的成本为- c 4 B(m ， )即钻头行进成本 、时间成本、刀具切换成本之和。

3 打完所有孔的最小成本这里不妨以 为起点，D表示从 出发，经过赋权图 N 中所有点的路径 P之集，C(P)表示在路径 P上的成本，即c(P)-∑f ；T(P)表示在路径P上的加工时间，即T(P)-∑ ；则得如下模型ⅢP PfminC(P)P E D求解算法 。 设计如下 ：设 S(V，S- V- S。

第 4期 郑 文：提 高打孔机 生产效能的方案设计 911)S - 。，C- 0， 1 - 0。

3)设点 ∈ S，求顶点 ，， ，∈ S，使C ，- C( ，)- minC( )∈S同时，记录以下信息 ：C- CC 累计成本T- Tt 累计时间str- ( )- ，(n) 记录刀具转换4)S- S U ，，S- S- ，。

路径 P就是集合 S中元素加入的顺序2 。÷ 3 ÷ 路径 P上对应的成本 C就是 以 为起点经过赋权图 N 中每-个点的所有路中的最小成本。

对表 2中提供的数据 ，以(1 000，243 600)为起点 ，按上述算法，用 MATLAB语言编程 求解 ，得以为起点 ，加工完所有孔的最小成本是 9 187.9元 ，行进时间是 531.978 S。

4 打完所有孔的最小成本很显然 ，只要起点不同，按前面的算法 ，得到的打孔线路就不同，成本也就不-样 ；为此我们要去寻找使成本最小 的路的起点。

我们把赋权 图 N 中的每-个点与 交换 ，执行程序 ，即将程序循环 次 ，得以每-个点为起点 ，线路板打孔工序 的成本向量CB - (C ，C ， ，C )所 以得线路板打孔工序的最小成本C - min(CB)- min(C1，C2， ，C )C对应路 P 的起点就是最优 的打孔起点。

对表 2中提供的数据编程求解，得以赋权 图 N 中各点为起点对应 的最小成本 ：CB- [9 187.9 9 181.5 9 373.8 8 950.1 9 036.5 8 998.1 8 329.7 8 867.5 8 326.99 040.2 9 054.8 9 057.2 8 152.2 9 301.2 9 164.8 9 187.8 9 117.0 9 056.29 010.1 8 727.9 8 662.8 8 835.8 8 797.5 8 826.3]C - min(CB)- 8 152.2(元)最小值 C- 8 152.2在第 13个位置上 ；所 以应选择 以点 (-142 269，-312 418)为起点 ，运行程序，得在印刷线路板 的过孔问题中，钻头的最优作业线路设计方案 ，如表 3所示。

表 3 钻头行进路线 、刀具切换方案、运行成本、运 行时间z Y 刀具切换 累计成本/元 累计时间/s6 2 0 8 O 9 4 4 2 0 6 5 1 3 8 1 l 1 7 卯 鸺1 1 1 0J u 4 4 5 g e d C g g f e f > > > > > > > > >e g e d C g g f e8 9 8 1 O O 8 O 8 0 1 6 6 5 O O 1 O 1 O 4 2 5 3 2 O 4 6 7 O 2 9 5 O 2 5 O 1 8 5 1 O 1 7 8 5 O 2 1 2 3 3 3 2 2 1 3 2 3 3 9 9 7 7 O O 9 O 4 O 6 6 6 6 O O 6 O 6 O 2 2 2 2 8 6 2 6 2 8 2 2 2 2 2 O 2 5 2 7 4 O 3 3 5 9 4 1 1 5 1 l 1i 11 1 n 1 - 11 1 -u 。 。 。 92 西南师范大学学报(自然科 学版) htp：//xbbib.SWU.cn 第 38卷总的最小成本 8 152.1元.其中作业成本 3 087.7元，时间成本 5 064.4元，其行进时间 468.9 S。

现实问题中 ，印刷线路板上需要过的孔成千上万 ，把线路板的过孔 问题转化成-个在赋权 图中找最短路问题 ，实现最优线路的方案设计 ，以此提高过孔效能.本文 的研究对生产 的组织管理、打孔等问题具有科学 的指导意义。