旋量理论的变胞机构全构态动力学模型

1998年，戴建生和J Rees Jones基于生物学中的细胞分裂、组合和再生现象，首次提出变胞机构的概念。其定义为在具有多个不同工作阶段的周期中，含有闭环的多 自由度运动链呈现不同拓扑结构形式，结合其机架和原动件来实现不同功效的机构。目前，国内外已有大量学者对变胞机构的结构学和运动学1 进行了研究，基本上形成 了比较系统的理论，但对其动力学方面的研究较少。

笔者通过建立变胞机构的全构态动力学模型研究其动力学特性，以期为变胞机构的设计与应用提供参考依据。

收稿日期：2013-03-25第-作者简介：刘秀莲(1979-)，女，辽宁戍芦岛人，讲师，博士，研究方向：机构的运动学和动力学 ，E-mail：lxl-2002###163.tom。

242 黑 龙 江 科 技 学 院 学 报 第23卷1 刚体的运动旋量旋量理论 是分析空间机构的-种有效工具。旋量又称为螺旋”，可以同时表示矢量的方向和位置，在运动学中，可以同时表示刚体的角速度和线速度，在动力学中，可以同时表示刚体力学中的力和力矩≌间刚体从任意位置通过绕某-轴线的旋转运动以及沿该轴线的平移运动到另外-个空间位置，设该轴线为09，并且有 Il lI1，平移运动的速度为 ，构建-个 4×4阶的矩阵 ，并且有 ] ， 0 1J式中，算子八”为反对称矩阵运算，对三维矩阵∞表示叉乘矩阵，即r 0 - ∞ ] l ； 0 - l， c L- 0 J引入运算因子V”，并将其作如下定义 ，则 称为空间运动旋量， 为运动旋量 的旋量坐标。

对于空间多刚体系统，其中每-个运动关节都可看成-个空间旋量运动，其运动旋量可表示为参，其中0是关节变量大校对于转动关节，运动旋量的旋量坐标 可用 Plucker坐标形式表示 ：[∞ '，]∞ ，X∞ ][(cJ cJy y "13z] ，式中： 广- 运动旋量轴线方向的单位矢量；轴线上任-点的位置矢量；- - 运动旋量的节距大小；- - 沿旋量运动轴线方向的单位矢量。

对于移动关节，运动旋量的旋量坐标 可表示为 [0 r0 0 0 ，刚体的运动变换可以用李群代数中的欧氏群SE(3)表示，即SE(3)(P，R)：P∈R ，R∈S0(3) Xso(3)，式中：SO(3)--三维旋转群；P--位移矩阵，实现不同坐标系的坐标平移变换；- - 旋转矩阵，实现不同坐标系的坐标旋转变换。

若A、 为空间两个相互独立坐标系， 坐标系是A坐标系经过旋量 运动得到的新坐标系，则刚体运动的齐次坐标变换矩阵可用 的矩阵指数表示：e胁 )rhOoJ，式中：f-3 X3单位阵；e-- 自然指数。

若旋量在 B坐标系下表示为 ，则其在 A坐标系的表示 为e [ ，式中：Ad(e辞)-- e醇的伴随变换 ，表示 B坐标系到A坐标系的坐标变换或刚体变换。

2 串并联机构运动学方程的推导对于-般串并联机构设关节空间为 p，对于含有n个活动关节的串并联机构，其关节变量为 0[0 ，02，，0 ，0 -，0 ] ∈Q。设固定坐标系表示为.S，工具坐标系表示为 ，其位形 g (0)∈SE(3)。

对于系统的n个关节，设 0 ，0 ，，0 为串联部分关节变量，0 .，0 ，0 为并联部分关节变量。为分析方便，不妨设并联机构中只有 2个分支运动链，其中1，2，，m为串联部分主动关节，m1，m2，，J，p1，P2，，.]为并联部分主动关节， l，2，，P， 1，后2，，n为并联部分被动关节。

对于每个关节 i，构造-个运动旋量 ，邑对应除第i个关节外其余关节位移均为0时的旋量运动。对于转动关节和移动关节，童的旋量坐标可分别表示为 [ ×tO ， [0 ] 。

式中：toz f--旋量运动轱线 E的单 量， ∈嘧；- - 关节轴线上的任意-点坐标， ∈ 。

选取工具坐标系在固定坐标系下的初始参考位形为g (0)，则工具坐标系到固定坐标系的运动学正解映射g (0)可由任意分支开链机构的指数积运动公式表示：m . n。

gsl( )n(e )兀(e喏)gsl(0)。 (1)注意式(1)含有被动关节 1， 十2，，12的变化量。对于闭链机构，当给定主动关节的位置变化量时，即可通过结构方程求出相应的被动关节变量，其结构方程的指数坐标形式可表示为. P n 。

n(e )1-I(e )1-I(e )兀(e )。(2)对式(2)进行整理，可得闭链部分的简化结构第3期 刘秀莲，等：旋量理论的变胞机构全构态动力学模型 243方程 ：P k∑ ∑ ∑ ∑ 。 (3)对串并联机构进行运动学分析时，合理选取串并联系统中某个闭链关节为切断铰，将系统变为串联机构。式(3)即为机构的闭环约束方程。

3 Kane动力学方程Kane动力学分析方法于二十世纪六十年代由美国学者 Kane5 提出并加以论证。Kane方法不同于其他动力学建模方法，其基于分析力学理论，将系统中各个广义速率作为构件广义坐标的独立变量来描述系统的运动，引入偏速度 以及偏角速度的概念 ]，并将矢量形式的力与达朗伯惯性力直接向特定的基矢量方向投影进而消除约束力，因而Kane方法兼有矢量力学和分析力学的特点。

利用物体速度雅克比矩阵和偏速度旋量" 的关系，可以将旋量理论和Kane动力学方程有机地联系起来。为分析方便，现将 Kane方程中的主动力、惯性力等均用旋量的形式表示。

对于-个具有 n自由度的空间机构，假设系统构件 i的质心处受到的外界主动力主力矢和主力矩分别用 R 和。

表示，则构件 i受到的外界主动力旋量可表示为F [ ， ] 。 (4)如果系统构件 i的质心处受到的惯性力主力矢和主力矩分别用 I 和 表示，则构件i受到的惯性力旋量可表示为F [ M 。 (5)构件 的偏速度旋量可以由构件质心的偏速度和偏角速度表示为。

将系统中所有构件的主动力旋量与其偏速度旋量的点积累加即可得到系统相对于某-偏速度旋量的广义主动力为 ∑F ·菇∑(RT， · T · ， )，i：1 E11，2，，n。 (6)同理，将系统中所有构件的惯性力旋量与其偏速度旋量的点积相加求和即可得到系统相对于某-偏速度旋量的广义惯性力： ∑ · ∑(K T， 嵋 ·∞ ， )，I 1l，2，，n。 (7)根据式(6)和式(7)广义主动力和广义惯性力对于空间 自由度连杆机构，可以得到其基于旋量理论的 Kane动力学方程为FiF o，j1，2， ，n。

具体表达为∑(F · F · )0i1∑(F ·鑫F · 立)0il∑(F · · )0i1由动力学方程 (8)可知，方程的数目等于系统中包含活动构件的数 目。

根据上述建立的开链机构的 Kane动力学方程 ，并结合各个构态的闭环约束方程(3)可得到-般串并联变胞机构的全构态动力学方程：F，FJ 0， J1，2，，几，P k∑ ∑ ：∑ ∑ 。

4 变胞机构的动力学建模空间复杂曲面切割机切割变胞机构的具体结构见文献[8]，切割变胞机构末端为五杆两 自由度闭链机构，如图 1所示。重新定义各个杆件以及关节编号，并将其中的变胞运动副关节5作为切断铰，形成开链五杆机构～其中-个不动件看作基座，在切断铰处建立绝对坐标系xyz，并在各个杆件质心点处建立其连体坐标系 xiY 。图中q 、q。、g 、q 分别为关节 1、2、3、4轴线上的点，各个连体坐标系同绝对坐标系的位姿关系如图1所示。

图1 复杂曲面切割机五杆两自由度闭链机构示意Fig.1 Two DOF of five bar closed chain mechanism根据连杆物体速度雅克比矩阵的计算公式以及上述q 、q。、q，、q 四点坐标和各关节轴线方向在各个连体坐标系中的表示，可以计算得出构件 1、豸 -驰黑 龙 江 科 技 学 院 学 报 第23卷2、3、4的物体速度雅克比矩阵：l， [ ] [.， [0 0 0 00 0 0 O- l 0 0 00 0 0 00 0 0 O0 O O O]- 1 O 0 00 0 0 0O -1 0 00 in 02 0 0 - s0 - c。s 0 0Z。

- 号 1n 02 0 0 0]00- l/2sin in( )- /2cos - ( 如)sin - ( 川 0I，6I4 ]。

其中，由于 中各个拈的表达式为 O O0 Ol O-###sin 03 0c0s 03 0O 0- l0000- /zsin 02-f3sin(O2 )--sin(0203 。

O0- 1/2sin 02l3sin( ) sin(O203 ) ，-l2COS02-l3COS(O2 )- b4 cOS(0203 ) ，0 U01- /3sin - 04l3cos 14c。sn [0 0-1 sin 04- 14 cos 0。

4.1 构件广义主动力旋量和广义惯性力旋量由空间复杂曲面切割机变胞机构的驱动情况可知，该机构中只有滑块 1和杆件 4受到电机驱动力和驱动力矩的作用，其余构件受到的主动力只有重力。设滑块 1和构件 4受到的电机驱动力 (矩)分别为 和 r ，方向分别于关节的移动和旋转方向-致，各个构件的质量分别表示为 m。、m：、；fib 、m 。

根据式(4)可知作用于各个构件质心上的主动力旋量F 由主动力主矢 。. 和主动力矩主矢 .i两部分组成，所以滑块 1受到的主动力旋量在连体基坐标系表示为F [R ， ， m g 0 -A 0 0 0]。

由于杆件 2和 3只受到 自身重力的作用 ，所以作用于杆件 2上的主动力旋量在坐标系 z：表示为F。

在连体坐标系下 ，杆件3受到的主动力旋量为F。.， [硭 ，]-m3gsin(02O3)-m3geos(0283)0 0 0 0。

考虑到杆件4除了受到重力作用外，还受到变胞自由度电机转动力矩的作用，可以计算得出杆件4的主动力旋量为F， [屁 ， ， ]：[-m4gsin(02 304)-m4gcos(02 304)0 0 0 0]。

根据上述对偏速度，即物体速度雅克比矩阵以及各个构件主动力旋量的计算，由式(6)可以得出各个构件广义主动力 (i1，2，3，4)可以表示为FiFc1·考 Fc2毛 Fe3考 Fe4考 ，il，2，3，4。 (9)设构件 在连体坐标系下的角速度和质心角速度分别为 b和∞ 则构件i上的惯性力主矢R 和惯性力矩主矢 可以表示为第3期 刘秀莲，等：旋量理论的变胞机构全构态动力学模型 245 - m ·磋 ， 、 式中： --变胞机构中构件数目；M -Ie，- b，xlc，·∞b，l， j -变胞机构的构态。

T T， Jf1o) 5 结束语式中：m --构件 i的物体质量；. - - 构件i在连体坐标系中绕轴的转动陨量。

根据式(5)、(7)和(10)可得系统中各个构件的广义惯性力为F：-F 1·考 4t-F 2·考乏F 3·考 F： 4·考 。

i1，2，3，4。 (11)4.2 复杂曲面切割变胞机构的全构态动力学方程选取五杆变胞机构中的变胞运动副，即图 1中所示的转动副 0为闭链机构切断铰。为建立该变胞机构的构态 1和构态 2的动力学方程，必须引入不同构态下的切断铰的闭环约束方程。

变胞机构处于构态 1时，转动副 0为驱动关节，根据空间闭链的运动学结构方程(3)可得，此时该机构的闭环约束方程分别为c。( )[ 。 - 。][；：[ ：当变胞机构处于构态 2，转动副 0锁死，构件 4和基座固结，此构态下该闭链机构的约束方程分别为( )[ 。][0 ][ - ][02 03-o4)ITO，(13)式中： 。、 、 、 、 --各个轴线的旋量坐标；0。、0 、0z、0 、以--各个关节变量。

该变胞机构引入切断铰后，基座和构件 1、2、3、4组成了-个空间开链机构。根据式(9)、(11)建立开链机构的Kane动力学方程，并结合各个构态的闭环约束方程(12)和(13)可得到切割机变胞机构的全构态动力学方程：fF F 0，i1，2，3，4，C ( )0， 1，2，对旋量理论在空间机构运动学分析中的应用进行了介绍，引入切断铰将空间串并联机构的运动学分析问题，转化为开链机构和局部闭链机构的运动学子问题，通过指数积公式和闭链机构结构方程建立了-般串并联机构的约束方程♂合旋量理论建立了空间机构的 Kane动力学方程，并对曲面切割机变胞机构的广义主动力和广义惯性力进行了计算♂合旋量理论和 Kane方程，给出了-般串并联变胞机构的全构态动力学方程。并对五杆两 自由度闭链变胞机构进行分析，建 了其全构态动力学方程，为变胞机构的动力学建模方法提供-种参考。