一种陀螺摆式球形驱动机构动力学模型分析

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如图1所示的球形驱动装置由转动轴相互正交的两个万向节和-个连杆-转子机构组成。与球体内部相固连的万向节称为外环，只能绕固连轴转动；另-个万向节固连在外环上，因此，称之为内环，可以绕内环固连轴转动。内环和外环的转动轴相互垂直。无质连杆固连在平面内，与内环的转动轴相垂直。均质对称的转子偏离球心而固连在连杆上。在外环和内环的转动轴上分别施加转动力矩，转子在内环和外环的作用下，在半径为的球面上运动(球面的球心与球体的球心重合)，改变了整个系统的质心位置，即势力场的分布，球体则在驱动装置的反作用下滚动。当外环的转动轴平行于水平面时，驱动装置的构型类似-个陀螺摆装置，因此称图1所示机构为陀螺摆式球形驱动机构。陀螺摆式球形机构在球形机器人的设计中得到了广泛的应用。本文利用拉格朗日法建立了系统的动力学模型，并计算其平衡点。

1 动力学建模设如图1所示，陀螺摆式球形机器人的球心速度为 ，与正北方 向成 口角，旋进角速度为 。为了推导在加速度 的作用下，驱动装置的运动微分方程 ，建立如图2所示的坐标系：球体的基础坐标图1 陀螺摆式球形驱动机构示意图系为 . ，y，Z(即为惯性坐标系的平移坐标系)，外环的坐标系为∑。 m ， ， ，内环的坐标系为∑ g/mb ， ， 以及转子的坐标系为∑rotor ，Y， ，而且，所有的坐标原点均位于点D处，轴 与轴 重合同向，轴，7 与轴z重合反向，轴 与轴z重合同向。这样，外环可以绕坐标系∑ 的Z轴自由转动，转角记为 ；内环可以绕坐标系∑。 。 的轴 自由转动，转角记为0，轴 始终位于 y平面内；转子的对称轴z垂直于轴 ，可以绕坐标系∑ 幻l的轴 (轴z)自由转动，转角记为lc，。

Z图2 陀螺摆式球形驱动机构坐标 系在球体的基础坐标系内，转子的姿态可以由3个欧拉角 ，0和 确定。如果忽略外环和内环的转动惯量，那么转子的运动方程可以表示为r- ：d lla ml ] aT)F). (1)㈤[叫 N0. (2)其中，丁为驱动机构的动能，列向量矩阵Ⅳ0的分量分别为输入力矩在转动轴 ， 和 上的投影。列矩阵 aT/aa的分量分别为 am/aa、OT/O0和OT/OOr，其中 ， 和 分别转子的角速度在转动轴 ，7和 上的投影。列矩阵am/au的分量分别为a ，a丁/ 和a f，其中 f，u 和 f分别转子的速度分量。

0 - f叫 l甜f 0 -叫 I. (3) L- 03 0 I收稿日期：2013-03-08作者简介：刘忠(969-)，男，北京人，高级工程师，本科，研究方向：机械设计与制造，质量管理与控制。

· l6·第3期(总第133期) 刘 忠，等：-种陀螺摆式球形驱动机构动力学模型分析 2013年6月距阵式(3)为-斜对称矩阵，其中 f， 和 f分别为内环的角速度在转动轴 ， 和 上的投影。设基础坐标系在惯性坐标系上的角速度投影分别为60xO， 和 0，且外环对于球体的转动角速度为 。那么，外环的角速度在转动轴 ， 和上的投影分别为：60ftOX cosCOy sine。

内环对于外环的转动角速度为 ，那么，内环的角速度在转动轴 ， 和 上的投影分别为： COx COS (JOy sin 。

- ( z)COS -ICOx sine- y COS]sin0. (5)r( Wz)sin -l(Ox sine-60y COS]cos0。

转子绕对称轴z的转动角速度为 0，那么，转子的角速度在转动轴 、 和 上的投影分别为：力 ， ， ∞f. (6)设点O的速度(球体的速度)为： [ f] [ucos0 sine] .(7)若设 为转子质心的速度，列向量r为转子质心cN点0的矢径，即r)[0 0 -t] ，其中 为转子质心到点 0的长度。那么 u和 之间的联系可以表示为矩阵形式 ：U)㈨ M r). (8)其中， ]如式(3)所示，则有： - leo ， u ， f . (9)设转子的质量为/'/，对于惯性主轴 ， 和 的转动惯量分别为 ， 和 C，并且忽略外环和内环的转动惯量，可以得到转子的动能 为-z-：Tlm(u； ； ；) ( )c 习 吾 l( - )。( )。 ；f (1o)(Q；Q；)CQ。

将上式代人式(1)，得到力平衡方程：-mg )mO fu - f)Fz-mgsinO。

其中， 和 分别为球体对转子的反作用力在转动轴和 上的投影～式(10)代人式(2)得到力矩平衡方程：A Cw -Aoor -Fz1。

将式(1 1)代人式(12)得到关于转子的动量方程为Ao面fw；(mluf-A0 )Cl2do -72 f 。

2 平衡点计算对于欠驱动陀螺摆球形机器人有 0，且转子关于转动轴z对称，那么，由式(13)中的第3式得：∞ Cnconst. (14)对于小量 和 有：-mglO， ingle. (15)因此，忽略高阶项，式(13)中的第1式和第2式可以分别简化为：( ≈ (16)cn[do -mglmli。

如果设：： . (17) ，1 ～ 、 -，那么式(17)可以简化为：≈( 叫y) 。

- ( ) 詈 . 8由方程组(18)可得：( v) 詈( ) . (19)当 不变，即球体稳定运行时，微分方程(19)的解为： kcos[( )汁纠 詈· (20)将式(2O)代入方程组(18)的第2式，并忽略高阶项，可以得到关于 的微分方程的解为： - ksin[(ww )f纠. (21)由微分方程组(18)解的形式可以看出转子的对称轴z(轴 )在平衡位置是 自由振动的，平衡位置为：o - co u· (22)0o0。

(下转第l9页)第3期(总第 133期) 武慧红：电磁式深孔振动钻削装置的设计 2013年6月也可根据加工需要调整。

3 电磁式振动钻削装置的总体结构1-工件 ；2-内排屑深孔钻头；3-输油器；4-钻杆 ；5-电磁振动装置；6-负压抽屑装置图4 电磁式深孔振动结构简图电磁式深孔振动结构简图，见图4，主要由SIED数控深孔钻床床身、输油器、电磁式振动装置、负压抽屑装置等组成。工作时，主轴电机带动工件旋转作主运动，进给电机带动刀具作进给运动，电磁式振动装置带动钻杆及刀具，随着电磁铁作轴向振动，实现振动钻削n 。其工作原理是：切削液分成两条路线，分别供给输油器和负压抽屑装置(-部分切削液通过 口进入输油器，并从钻杆外壁与已加工孑L表面之间的环形空间到达钻头头部，并将切屑从钻杆内部推出；另-部分切削液通过 口进入负压抽屑装置，产生-定的负压，将切屑排出)。工作时，给电磁式振动装置通电，可按加工需要改变电流的大小调整振动参数，达到理想的振动切削效果；利用这种振动装置，配合使用负压抽屑系统，能可靠解决加工深孔时的断屑排屑问题。

4 结束语利用电磁式振动装置有效地解决了断屑问题，采用负压抽屑装置有效地解决了排屑问题。电磁式轴向振动装置结构简单，操作方便，易于在机床上安装；通过调节交流电电流的频率和大小，即可改变钻杆的频率和振幅，调整方便，并可连续调整，适应性强。