凸轮机构两质量动力学模型的运动误差及接触力分析

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Analysis of kinematic error and contact force in cam-follower system basedon two。mass dynamic modelHUANG Shang-bing ，JIN Guang ，AN Yuan(1.Changchun Institute of Optics，Fine Mechanics and Physics，Chinese Academy of Sciences，Changchun 1 30033，China；2.Graduate Sehool of Chinese Academy of Sciences，Beijing 100039，China)Abstract：The limitation of linear single-degree-of-freedom one～mass model was analyzed，andtwo-mass dynamic model was built by lumped parameters.The displacement of follower，the out-put error of the cam-follower system and the contact force between the cam and follower were an-alyzed through assuming the displacement function of the cam was cosine. The results of two-mass model were simulated by a design example. The results show that the kinematics error，contact force and relationship between angle velocity of the cam and kinematic error and contactforce got by the two-mass model are very useful to the actual design of cam mechanism。

Key words：cam-follower system ；dynamic model；kinematic error；contact force；angle velocity凸轮机构因其结构简单和可以实现复杂运动规律的能力在 自动化机械中得到 了广泛 的运用.在高速转动的凸轮机构中，由于接触力和从动件的弹性，从动件将会产生变形和振动.变形和振动会影响从动件输出的运动规律，并会对凸轮机构产生很大的疲劳磨损.为了研究 凸轮机构的振动特性和获得从动件准确的运动规律 ，对其进行动力学分析是-种有效的方法.凸轮机构 的动力学分析是-个复杂 的问题 ，为恶得机构的各种动力学特性 ，需要建立动力学模型.建立动力学模型的方法有很多种 ，集中参数法是目前国内外常用的方法Ll ].目前国内关于凸轮机构动力学特性的研究主要运用的是线性单质量、单自由度模型[4 ]，由于单质量模型对实际机构作了大量的简化 ，它的适用范围不大 ，分析精度也不高.本文提出了-种两质量的动力学模型，可以用于分析求解从动件的运动规律、凸轮与从动件问的接触力及从动件与凸轮 的分离情况 ，并以-个设计实例对两质量模型进行了求解。

1 线性单质量、单自由度模型当系统-阶频率附近的振幅比二阶频率附近的振幅大很多，并且高阶振动没有足够的量级时，很多研究人员[6 83认为线性单质量、单自由度模型可以很好地代表凸轮从动件系统的大部分动力学行为.并且线性单质量、单自由度模型建模简单、求解方便，在分析凸轮机构 的动力学特性时得到 了广泛的应收稿 日期 ：2012-07-11。

作者简介：黄尚兵(1987-)，男，河南濮阳人，硕士生，从事机械设计研究，E-mail：sbhuang###mail.uste.edu.cn。

nE第3期 黄尚兵，等：凸轮机构两质量动力学模型的运动误差及接触力分析 .251。

用.线性单质量、单自由度模型的应用条件包括：1)从动件末端的质量远大于与凸轮接触处的质量 ；2)凸轮系统中不存在库伦摩擦；3)从动件与凸轮始终接触，不会分离 .利用集中参数法得到凸轮机构的典型线性单质量 、单 自由度系统模型如图 1所示嗍。

上图 1 线 性 单质 量 、单 自 由度 动 力 学 模 型Fig.1 The linear single-degree-of-freedom one-mass model图中 表示从动件的输出位移，Y表示凸轮的输 出位移 ，由于从动件 的弹性导致的受力变形 ，从动件的输出位移与凸轮的输出位移并不-致.K。表示从动件系统的刚度，K 表示闭合弹簧的刚度， 表示系统的阻尼 ，M 表示从动件 系统的集中质量.线性单质量、单 自由度模型的微分方程如下：红 (K1 K2)z - K1 . (1)凸轮与从动件间接触力为F K1( - z). (2)系统的固有频率为/K1K2 ， -√- 在满足应用条件的前提下，线性单质量、单 自由度模型可以用来分析从动件的输出位移、接触力及系统的固有频率.如果将凸轮的输出位移作为-种激励 ，其运动方 程表示 的是单 自由度线性 系统 在K 激励下的强迫振动 ，而凸轮机构 的实际动力学特性要复杂得多.为了更全面研究凸轮机构 的动力学特性，获得相对准确的结果，需要建立更加复杂的动力学模型。

2 两质量动力学模型在高速凸轮机构回程过程中，凸轮转速增加时，从动件加速度增大，导致从动件与凸轮的接触力变小，当从动件与凸轮接触力变为 0时，从动件与凸轮开始分离.由于线性单质量、单自由度模型的应用要求系统中不存在库伦摩擦 ，并且凸轮与从动件始终接触，此时已经无法用其来分析凸轮机构的动力学特性.为了更全面分析凸轮机构的动力学特性，提高动力学分析结果的精度和研究凸轮从动件的分离现象，提出了-种凸轮机构两质量的动力学模型.利用集 中参数法 得到的凸轮机构两质量动力学模 型见图 2。

m 1l 白 c l Im 2 I l图 2 凸 轮 机 构 两 质 量 动 力 掌模 型Fig.2 The tWO-mass model of cam-follower mechanism将线性单质量、单自由度模型的集中质量 M拆分成两部分集中质量m 和 ， 代表从动件末端的集中质量，m 代表与凸轮接触处附近的集中质量.图中x代表集中质量m 的位移， 代表集中质量 。的位移 ，S代表凸轮的输 出位移 ，走 ，c 分别代表从动件系统的刚度和阻尼，是 ，c 分别代表闭合弹簧 的刚度和阻尼。

当凸轮和从 动件保持接触时 ，集 中质量 m 的位移 与凸轮曲线的输出位移 S完全相同，即 y-S。

此时的运动方程为mlxH C1z 是1z - c1 .黾l . (4)凸轮与从动件的接触力为F - 2 (cl c2) (是l 是2) -c1z - 是1z. (5)由凸轮曲线的输出位移可以知道集中质量 m的位移 Y，将 代人公式(4)可以求出从动件的输出位移 z，将 z，Y代入公式(5)可 以求得接触力 F 。

当 F。>0时，凸轮与从动件保持接触.在高速凸轮机构中，F 随着 s的变化而变化 ，当 F -0时 ，凸轮与从动件开始发生分离.凸轮与从动件分离后 ，模型变为两集中质量的 自由振动模型，F 0联合式(4)、(5)并以分离时刻 的 z ， ( 为分离时刻)作 为振动方程的初始条件，可以求得分离后的振动情形。

分离后 比较 Y和s，当 -S时，凸轮与从动件开始重新接触。

凸轮机构两质量的动力学模型与线性单质量、单 自由度 的动力学模型相 比更加复杂 ，2个集 中质量使得从动件输出位移 的求解更加准确，同时可以分析凸轮与从动件的分离及再接触情况，使得对凸轮机构的动力学特性的分析更加准确和全面。

上 · 252· 工 程 设 计 学 报 第 20卷3 两质量动力学模型分析为了分析两质量动力学模型的动力学特性 ，假设凸轮的输出位移函数为S(t)- 1- COS(W0 z)， (6)其中：叫。-- 凸轮单位时间转动角度 ，W。- 27rf；.厂-- 凸轮转动速度；-- 凸轮转动时间。

3.1 从动件输出位移分析当从动件与凸轮保持接触时 ，Y- S，两质量动力学模型满足式(4)，此时，m1 Cz kl - C1W0 sin(w0f)kl- 忌l cos(W0 )， (7)求解此方程可以得出巾 -筹 cos(Wotml - t意l-z) 十 让- sin(w0t). (8) (是1-m1wi) f W 。 为了方便，将从动件的输出位移记为z(t)- 1 Acos(W0) Bsin(Wot)， (9)其中：A-筹 ， ㈣- · (11)当从动件为刚性结构时，是 -∞，此时 A：1，B-0，从动件的输出位移z-s：1～COS(W。 ).当从动件为柔性结构时，从动件的输出位移与凸轮输出位移间的误差为△(t)- - s- (A - 1)COS(7.30 ) Bsin(wo )。

(12)3.2 接触力分析根据两质量动力学模型的运动方程 ，将式(8)代入式(5)可以得到F (t)- (m2W - 是1- k2～ klA - C1 0B)COS( 0t)(C1 0 如Wo- f1 0A - k1 B)sin(W。) 忌2。

(13)在实际的凸轮机构中，为了使得从动件与凸轮保持接触，都会施加-定的预载荷.假设施加的预载荷为 F ，施加预载荷后的接触力为 F ，则F ( )- F F . (14)为了保证凸轮与从动件保持接触，需要满足F > 0.当施加恒定预载荷时，F > max(- F )， (15)且 F 方向与F 相反；当施加变载荷时，F F > 0， (16)F 方向也与 F 相反.当系统施加的载荷-定时可以通过求解式(14)判断凸轮与从动件间是否会分离，产生分离时，令 F -O可以求得分离的时刻。

4 计算实例研究某型号 的凸轮机构，已知从动件集 中质量-m 1 kg，从动件 系统 的刚度 k 6 180N/ram，从动件系统的阻尼系数 ：0，闭合弹簧的刚度 k 43 N/ram，弹簧 的阻尼 系数 C ：0.102N·s/ram，凸轮的转速 厂-2 Hz，凸轮的输出位移函数 s-1-COS(47c).假设凸轮与从动件始终保持接触 ，将各参数代入运动方程求得各 曲线如 图 3至图 5所示。

时问f/s图 3 凸轮及从动件输出位 移曲线Fig.3 Output displacement curve of cam and folowergg 丑蟋图 4 输出误差 d -s曲线Fig.4 Output error(z-s)curve由以上各图可知，该系统从动件的输出与凸轮的输出形式保持-致，但是存在-定的偏差，凸轮机构本身导致的最大输出误差为 0.03/2-1.5 .为了实现凸轮与从动件保持接触，需要施加恒定 力的最小值为 300 N。

为了研究机构的输出误差及接触力与凸轮转速的关系，将凸轮的转速 .厂设定为变量，利用软件得第 3期 黄尚兵，等：凸轮机构两质量动力学模型的运动误差及接触力分析叠辎图 5 接触 力 曲线Fig.5 Contact force curve到机构输出最大误差 △ 及最大接触力 F 随转速的变化曲线如图 6、图 7所示。

gggI8丑-<堪图 6 输 出最大误差 随转速变化 曲线Fig.6 Maximum output error(A ) with the speedchangeZg藿3.5蝼1.0蝎O.50- - l - - - . 。

转速j7Hz图 7 最大接触力 - 随转速变化曲线Fig.7 Maximum contact force(F TIla ) with thespeed change由图6、图 7可以看出，当凸轮的转速 ，13.4Hz时，凸轮机构发生共振，输出误差及接触力达到了峰值，这对机构本身是非常不利的，应该避免这种情况的发生.在共振发生 以前 ，随着 ，的增 大机构输出误差及接触力变大，共振后随着 ，的增大，输出误差 回落 ，由于接触力与凸轮转速的平方 (硼 )有- 定的正比关系，当频率较高时，接触力快速上升。

所以设计凸轮机构时应该选择合适的参数以在设计转速下避免共振和获得较小的输出误差。

5 结 论凸轮机构线性单质量、单 自由度动力学模 型在应用时具有比较大 的局限性 ，利用集 中参数法建立了凸轮机构两质量的动力学模型.凸轮机构两质量的动力学模型在国外得到了广泛的研究，本文通过对两质量动力学模型的分析和求解，得到了从动件输出位移和凸轮从动件间的接触力，从而求解 出机构的输出误差及保证 凸轮与从动件接触所 需要的力.凸轮机构两质量动力学模型还可以分析转速对输出误差和接触力的关系，以选择合适的参数避免机构发生共振和获得较小的输 出误差.文中提 出的动力学模型在实际的凸轮机构设计中具有-定的指导意义，具体的应用还需要相关试验的进-步验证。