空间3-UPU/UPU型并联机构的运动学求解与刚度分析

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并联机构在外力作用下会产生变形，变形的大小与其刚度及作用力有密切关系，刚度会随着并联机构支链类型、位置姿态、机构构型等不同而不同，并能够影响到并联机构的运动特性和在负载情况下的定位精度，所以刚度分析是描述并联机构特性的重要指标之-。围绕并联机构刚度问题，国内外学者做出了-系列的研究。文献[-1用螺旋理论推导 4自由度并联机器人的刚度公式，对机床的刚度进行分析；文献骘 虑铰链及杆件弹性变形，应用螺旋理论建立机构的驱动刚度矩阵、约束刚度矩阵、机构的整体刚度矩阵进而对机构进行分析。文献pl应用李群将-般弹性体的刚度矩阵化成标准型分析刚度。针对 3-UPU/UPU机构进行运动学分析建立运动学模型，推导出机构的位置逆解以及Jacobioan矩阵。然后利用软件 RecurDyn V7R3进行仿真分析。最后利用Matlab软件对机构的刚度性能进行分析。

2 3-UPU/UPU机构模型的建立2.1模型的描述与坐标系的建立研究的 3-UPU/UPU机构是由四根可以伸缩的支承杆连接固定的下平台 和运动的上平台m所组成，每个分支由两个虎克铰 U和-个移动副 P按照 U-P-U方式进行串联，其中-个分支位于移动平台和固定平台中心连线上，是整个机构的恰约束链。另外三个分支分布在上下表面外圆处，如图 1所示。对整个系统建立坐标系，设固定坐标系在面 上为 OB-XYZ与运动坐标系在面 m上为 0 -忙。0 和 0 位于同-垂直线上，设 轴位于0 b，连线上， 位于 0 ，连线上；z轴和 z轴垂直于固定平台方向上，初始位置重合通过点 0 和点 0 的连线上。Y，Y按照右手定则可判断出，以。(z)轴与固定平面 中心作为z轴零点。

U1(a)3-UPU/UPU并联机构的主视图来稿日期：2012-06-17基金项目：国家自然基金(51075l8)作者简介：王 南，(1957-)，男，河北昌黎人 ，博士，教授，主要研究方向：机械机构与系统动力学、现代机械设计理论与方法122 王 南等：空间3-UPU/UPU型并联机构的运动学求解与刚度分析 第4期(b)3-UPU/UPU并联机构的俯视图图 1 3-UPU/UPU机构主视图及俯视图Fig.1 3-UPU/UPU InstitutionsPlan View and Top View如图 1所示 、上平面外接圆半径为 rb，其中 b。、bz，b，为上平面的三个铰接点；下平面外接圆半径为 1"B，B 、B：、B，为下平面的三个铰接点 曰3D 2 l，厶B2O，Bl32、/b 30662 l、/b20 b2Ol2，0与 0 之间的距离 0 D庐 。

则各点的矢量可标示为：B3l0l0r.COS；b21 sins；B2I rBsin/30rbCOS(Ot1 2)；6l1 sin(OLl 2)rBCOS(卢I 2)；B I rBsin(/3 )02-2机构的自由度根据 Grubler-Kutzbach准则，自由度求解公式为：N'lA(n-学-1) (1)l对于 3-UPU/UPU机构，阶数 A6，构件数 nl0，运动副数g12，冗余 自由度 vl，虎克铰的自由度为 2，移动副的自由度为1，将以上的数据代入公式中可以得出F3。

即3-UPU/UPU机构的自由度为 3，在 、，，、z三个方向上的三维移动。

3 3-UPU/UPU机构运动学求解3.1位置逆解BiP liO6 Tbf (2)式中： -机构输入在固定坐标 Os-XYZ的矢量表示；bi-机构输出在移动坐标0 - 的位置矢量；6厂机构输出在固定坐标Os-XYZ的位置矢量；p厂-支链长度；-沿杆方向的矢量；平台中点P的坐标变化齐次矩阵其值如式(3)，其中，、△y、△r- 轴、Y轴、 轴方向的移动距离。

PB1 0 00 1 0 △v0 0 10 0 0 1(3)根据式子(2)，将两端都减去个 b 可以得到得出：Bi-b pi-b (4)由公式(4)可以的到：l IBi-b l I1 0 《716：-b l I其中，第i支链长度为P，，即可以得到位置逆解为：p (6 -B ) (bi-Bi)3.2建立Jacobioan矩阵通过建立机构的速度映射模型来求解 3-UPU/UPU机构的Jaeobian矩阵：由j (5)r其中：f[f f f，f ] ：[ -V2 V4]式中：f-驱动链的关节速度； -动平台参考点移动的速度矢量；JL-机构的Jaeobian矩阵。

对该机构进行铰链点坐标代换，令：6 [6：b：b：] [ Bi B j定义：71是动坐标系m相对于静坐标系M的姿态移动矩阵，其值为式子(3)由公式(5)可以得到：iq ·Uxb )(6 xq ) ·” (6)式中：g -单位矩阵 ，将式子(6)代人式子(4)可以得到 3-UPU/UPU并联机构的Jacobian矩阵为：j-(b xq ) (i1，2，3，4) (7)b/x-B/x其中 等b -曰4运动学仿真分析计算利用 Pn 建模再导入 RecurDyn V7R3软件对 3-UPU/UPU并联机构进行仿真。初始高度 320mm，上平台外圆直径 260mm，下平台外圆直径 380ram。并且 I 2120。， I//32120。。

对机构加笛卡尔(cMt0ion)驱动， 轴、Y轴、z轴分别以如下驱动：20cos(time)-2020sin(time)- 320-1time按以上数据进行仿真，仿真模型，如图 2所示。机构进行沿轴、Y轴、z轴的三位移动。四条支链的位移、速度仿真结果，如图3、图4所示。图 3、图4左上角为支链 1、右上角为支链 2、左下角为支链 3、右下角为中间支链的位移、速度。