新型4-SPS/PPU并联机构运动学分析

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少自由度并联机器人由于其驱动元件少、造价低、结构紧凑、误差孝精度高等优点↑年来成为机构学领域中研究的热点。

程佳研究-种 3转动 1移动的 4-TPS/PS并联机构的受力特性，推导出该机构上平台与各驱动支链之间的关系式，得到该机构的驱动支链不承受侧 向力 ，侧向力主要由从动支链承受；随后王宣银 利用拉格朗日方程建立了该机构的动力学方程，并通过逆动力学模型研究了该机构的控制策略。Ll 研究了-种 3平移并联机构的运动学，给出了3-PRS并联机构的速度与加速度的性能图谱。

刘剑敏 研究了-种用于作物清选的两转动两平移的四自由度并联机构，该机构能方便的调节振幅和振动方向，并给出了该机构的运动学反解与正解。吴孟丽 分析了- 种非对称的并联机构，并利用雅克比矩阵条件数为指标评价了该机构与 SKM400机构 的运动学性能。王庚祥基于构型演变与螺旋理论提出了-种新型的空间 3转动1移动的 4-SPS/CU并联机构，并对其进行了运动学分析。

程世利 通过分析Stewart平台的位姿变量之间的耦合关系，提出了-种研究该机构运动学正解问题的新方法。郭希娟 。 通过对并联机构的运动学分析评价了多种机构的动力学性能，并且证明了 Hessian矩阵对机构加速度性能有着重要的作用，该原理同样适用于串联机构。

基于此研究背景，本文提出了-种新型的具有 2移动和 2转动的空间四自由度并联机构--空间 4.SPS/PPU并联机构。通过对该机构的运动学分析导出了该机构的运动学 Jacobian矩阵，并在此基础上研究了该机构的静力学，评价了该机构的灵巧度与刚度特性。

4-SPS/PPU并联机构可以直接作为四轴并联机床与坐标测量机的原型，也可直接用于该环境下的定位机构。

1 4-SPS/PPU并联机构结构特点4-SPS/PPU并联机构模型及其坐标 系的建立如 图 1所示。该机构具有 4个驱动支链 z ，l ，f3，2 (SPS支链)，以及-个恰约束从动支链 (PPU支链)。该 4个驱动支链均由两个球面副(S副)和-个移动副组成。其中各驱动分支从下平台算起，与下平台相连的球面副为第-运动副，移动副为第二运动副 ，与上平台相连的球面副为第三运动副；该恰约束从动支链由两个移动副(P副)和-个万向铰(U副)组成，其中万向铰的中心位于上平 台的质心，位于下平台的移动副与 y轴重合。OXYZ和 Pxyz分别作者简介：卫江(1975-)，男，山东人，讲师，主要研究方向是机械结构设计与制造工艺设计。

Mhme Building Automation，Jun 2013，42(4)：187-189，198 ·187·· 电气技术与自动化 · 卫江 ·新型 4-SPS/PPU并联机构运动学分析是与下平台和上平台的固连坐标系，0点位于 B。B B B组成的边长为 26的正方形中心， 轴平行于 曰 B ，Y轴平行于 曰 B ，z轴垂直下平台向上；P点位于 A。 A，A 组成的边长为20的正方形中心， 轴平行于A。A ，Y轴平行于A A：，z轴垂直上平台向上。

图 1 4-SPS/PPU并联机构简图2 4-SPS/PPU并联机构自由度计算采用修正的 Kutzbach-Gribler公 式计算 4.SPS/PPU并联机构的自由度 ：gMd(n-g-1) - (1)- J式中：肛- 机构自由度数；机构的阶数；n--包括机架的构件数 目；g--运动副的数 目；- - 第 i个运动副的自由度；- - 并联约束因子，是去除了计算在内的公共约束的因素后的冗余约束的数目； 机构中存在的局部自由度。

根据图1，4条驱动支链的运动副轴线在坐标系 OXYZ中可以用螺旋统-表示为第n(1 0 0；0 0 -k )嚣 (0 1 0；0 0 r )$ (0 0 1； - 0)$(0 0 0；Ui W ) (2)$ (1 0 0；0 1 -n )第 (0 1 0；-l； 0 mi)$ 7(0 0 1； -m 0)式中：r 、ki--第 1运动副相对坐标系 OXYZ的位置；U 、 、l1) --第2运动副轴线的方向余弦；f 、mi、1"1，i--第 3运 动副相对于坐标 系 OXYZ的位置。

式(2)中的7个运动螺旋，其中6个线性无关；且没· 188·有与该螺旋系相逆的反螺旋。即该螺旋系没有对上平台产生任何约束 ，得出 4-SPS/PPU并联机构没有公共约束，所以 d6。

恰约束从动支链 z 运动副轴线在坐标系 OXYZ中螺旋表示为：f$51(0 0 0；0 1 0) -(0 0 o.0 0 (3) ～J，l$53(1 0 0；0 0 0)$54(0 1 0；0 0 0)式(3)螺旋系的4个运动螺旋线性无关，设与该螺旋系相逆的反螺旋为：$ ( ； P； Q； R；)通过式(3)由互易积 $ 。$；0解得线性无关的反螺旋为：J ( 0 0；0 0叭 (4)I第5r2(0 0 0；0 0 1) 。。

式(4)的约束螺旋系限制了上平台绕Z轴的转动与沿 轴的移动，且该机构无冗余约束，即 0；观察整个机构运动的布置情况，该并联机构各驱动支链均存在局部 自由度，即 4。

根据式(1)计算该机构自由度：gM d(n-g-1) -6(12-15-1)320-4：4即上平台具有沿 y轴和 z轴的移动 自由度 ，绕 轴与 l，轴的转动自由度。

3 4-SPS/PPU并联机构运动分析3.1 4-SPs/PPU并联机构的位置分析A 点在坐标系 Pxyz的坐标为 A。a，-口，O ，A 0，a，0 ，A3[-a，0，0 ，A4-a，-0，0 ；曰 点在坐标系 OXYZ中的坐标为 Blb，-b，0 ，B2[b，-b，0] ，B b，-b，0 ，B [b，-b，0To上平台相对固定平台的位姿可以用坐标系 Pxyz和坐标系 OXYZ之间的旋转变换矩阵 及两坐标系之间的平移向量 n来表示，其中沿轴的移动与绕 z轴的转动被恰约束从动支链限制。即：n0，Y， r 0 1R l s0 CO/-s邶 l L-c邶 c -J其中 sinfl， cosfl，其余类似。

当给定上平台的位置和姿态后，各驱动支链的向量可表示为：flRA。rt-B ( 1，2，3，4) (5)根据式(5)可以求得该机构的位置约束方程为：f (c -6) (asa-acayb) (-nc -∞ 十z)磐 ： 纛 ㈤ lf三(-r上 6)(- ∞ -6) (邶 ) (--6叱芦6) (-6Es0 -( ，6) (0e0 -( 0十z)htp：//ZZHD.chinajourna1.net.cn E-mail：ZZHD###chainajouma1.net.cn《机械制造与自动化》· 电气技术与自动化 · 卫江 ·新型 4-SPS/PPU并联机构运动学分析式中，l 为杆长。位置正解是已知结构参数 n、b和 4个输入杆长(f。，f ，f3，l )，求解上平台的位置(y，z， ，卢)。位置反解是已知结构参数口，b和上平台的位置(，，，。， ， )，求解杆长 Z (i1，2，3，4)。

3.2 4-SPs/PPU并联机构的速度分析4-SPS/PPU并联机构的 4个驱动支链作为广义输人记为 l[f1，z ，l3，f4 ；上 平 台 广 义 输 出 记 为 妒Y，：， ， ；移 动 副 的 广 义 输 入 速 度 表 示 为 lz。，z：，f，，f4 ；上 平 台 广 义 输 出 速 度 表 示 为 y，z， ， To根据 3.1中的结论 ，利用式(6)对时间 t求导得到4.SPS/PUU并联机构的速度分析逆解为 ：如 (7)其中：I，l 2。

33l J驰厶.，l3 .，141Jn J)(8)式(8)为该机构的运动 Jaeobian矩阵。

当 det(J)≠0时 ，该机构的速度正解为 ：厂 Z (9)3.3 4·SPS/PPU并联机构的加速度分析4-SPS/PPU并联机构驱动支链的广义输入加速度表示为 ZZ。，Z ， ，14] ；上平 台广义输 出加速度表示为)，，z， ，/3]To式(7)对时间t求导得：l如如 (10)当厂 为非奇异矩阵，则有：.，-。f，- Z (11)其中：，为该并联机构的Hessian矩阵 ，即：日日I1 H12H2l H。

H4i H托4-SPS/PUU并联机构的 Hessian矩阵为-个 4x4x4的三维矩阵，其中该矩阵中的每个元素为： [ ， oJo，a Jj， aJo] (·s)通过式(1o)、(11)可以求得机构加速度的逆解和正解。

4 4-SPS/PPU并联机构的 Jacobian矩阵条件数Jacobian矩阵条件数是衡量并联机构灵巧度的-项重要指标，它是-个无量纲数。根据 3.2节中式(7)为广义输出速度z与上平台广义输出速度 之间的关系。对式(7)两边取偏差：fBl.，(go6 ) (14)Machine Building 8 Automation， ”2013，42(4)：187-189，198式(14)与式(7)相减得：6/脚 (15)对式(15)与式(9)两边取 Frobenius范数以及根据范数的相容原理有：Il ll J&p l≤ I.，l·l却 l (16)f If厂 fIl≤ f厂 If I (17)速度的输入相对偏差 占2与输出速度 之 间有下列关系：盟 ≤ l (18)l2 Il Il l式(18)中 lI.，1I I.厂。l为 4-SPS/PPU并 联 机 构 的Jacobian矩阵条件数 ，它是-个大于或等于 1的数，即：0≤gl1.，l lI.，- lI≤O0 (19)Jacobian矩阵条件数 g越大，该矩阵的逆矩阵厂 的精度越低 ，g越小，该机构的灵巧度越好，当 g1时，机构处于最佳的运动传递性能，此时机构具有各项同性” 。

5 数值计算不妨设 4-SPS/PPU并联机构上平台质心 P的运动轨迹为：y2sin(2t)z3sin(2t) (0≤ ) (20)卢酉3.5rt1)当该机构的上平台边长 。1 m，下平台边长 b2.5 m时，该机构 Jaeobian矩阵的条件数随时间的变化曲线如图2。

图2 4-SPS/PPU并联机构 Jacobian矩阵条件数2)当该机构的上平台边长a-1.5 m，下平台边长 b3 m时，该机构Jacobian矩阵的条件数随时间的变化曲线如图3。

由图2与图3可知，当4-SPS/PPU并联机构的结构参数不同时，该机构Jacobian矩阵的条件数有明显区别，即结构参数影响了该机构的灵巧度。且该机构具有良好的活动性。

(下转第 198页)· 189·纂 嫌S世 慑穗蜒 鍪斗I1dd，sds2 1 JH 弘3 以· 电气技术与自动化 · 陆旭明 ·浅谈汽轮机发电机组的联轴器找中方法及应用1)联轴器的找中工作应在汽轮机的转子中心找中和扣盖完毕后才进行，必须保证汽轮机后轴承处轴颈水平 ，即扬度为零。此时是以汽轮机端的靠背轮为基准，通过移动发电机转子来达到要求。

2)测量-组端面瓢偏和径向晃度数据，据此判断发电机靠背轮的误差方向，通过调整发电机转子的前、后轴承座的上下和左右位置来校正发电机靠背轮与汽轮机靠背轮端面的瓢偏值。

3)在联轴器找中心测得两靠背轮外圆数值时，上下外圆数值之和应等于左右外圆数值之和。如不相等，则表明测得的数值有误差，应重新测量。

4)发电机的前后轴承处必须要落实 ，接触良好 ，如底部接触不 良，在转动转子时，必然造成转子晃动，也会造成测量误差。发电机轴颈必须在前后轴承处与轴承接触良好，瓦口两侧间隙均匀，如两侧间隙不均匀或轴瓦倾斜，也会造成测量误差。当通过调整后轴承座位置未达到找中目的时，需调整轴瓦球面座下三个方向的调整垫片，增加或减少垫片时，要经过计算，按比例增减，不能相同。

5)当联轴器找中结束后，穿上靠背轮螺栓，并紧固后，可在发电机前轴承轴颈处加-块百分表，转动转子。

观察轴颈处圆周径向跳动，如为零，则说明联轴器找中结果真实可靠。

5 结语在现代化的电厂中，为了提高汽轮发电机组的安装品质和速度，在安装过程中，可能会采用更加先进的仪器进行联轴器找中，但随着我国汽轮发电机组出口广大发展中国家的数量日益增长，在国外当地现臣术力量较弱，安装设备受到条件限制的情况下，上述的联轴器找中方法简便、易行、实用，能够确保汽轮机发电机组的正常运行。