过约束并联机构动力学建模方法

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第 49卷第 17期20 l 3年 9 月机 械 工 程 学 报JOURNAL OF MECHANICAL ENGINEERINGV_01．49 NO．17Sep． 2 0 1 3DoI： 1O．3901，JM E．2013．17．123过约束并联机构动力学建模方法木姜 蛲 李铁民 王立平(清华大学精密仪器与机械学系 北京 100084)摘要：由于冗余支链和冗余约束力的存在，过约束并联机构的动力学建模一直未能得到很好的解决。以一台平面两自由度过约束并联机构为例，在运动学分析的基础上，利用牛顿．欧拉法并结合达朗贝尔原理，得到了该机构的力和力矩平衡方程，但由于方程少于未知数个数而无法直接进行求解。为此，提出变形协调性分析的方法，通过建立约束力与终端平台位置误差之间的关系作为补充方程，从而得到可求解的机构动力学模型。将该方法应用到一台混联机床并联部分的动力学建模分析中，通过数值算例，对驱动力和动平台位置误差进行仿真，结果表明该方法的可行性和合理性。该方法同样可以应用于其他过约束并联机构，为该类机构动力学建模分析提供了一种新的思路。

关键词：并联机构 过约束 动力学 变形协调性分析中图分类号：TH1l3Research on the Dynamic M odel of an Over-constrainedParallel M echanismJIANG Yao LI Tiemin WANG Liping(Department of Precision Instruments and Mechanology,Tsinghua University,Beijing 1 00084)Abstract： Due to their redundant links and redun dant restdction forces．it has been a diferent problem for dynamic modeling andanalysis of over-constrained parallel mechanism．A planar 2-DOF over-constrained paralel mechanism is discussed as an example.

On the basis of kinematics an alysis，the equilibrium equations for the force an d moment of this mechan ism are established by usingNewton Euler method and D’Alembert principle．Tl1e model cannot be solved because the num ber of equations is less than that ofunknown variables．So a novel method，which cal provide feasible supplementary equations through analyzing the deformationcompatibility to establish the relationships between constraint forces and position errors of term inal platform ，is put forward．Thus thedynam ic model Can be SOlved．This method is applied to the dynamic modeling and an alysis of paralel mechanism in a hybridmachine too1．By numerical exam ple．driving forces an d platform eror are simulated．The result shows that this method is feasibleand reasonable．Th e research provides a new method to the dynam ic modeling and an alysis of over-constrained paralel mechanism.

Key words：Paralel mechanism Over-constrained Dyn am ics Analysis ofdeformation compatibility0 前言并联机构近年来呈现出实用化的发展趋势l ，为了提高机构的自身刚度，一些过约束的并联机构相继出现，但同时对于这一类机构的动力学建模和分析也提出了新的挑战。在传统并联机构动力学建模过程中，牛顿．欧拉法、拉格朗日法、虚功原理、螺旋理论和凯恩方法都得到了很好的应用【2{】。由于冗余支链和冗余力的存在，过约束并联机构的动力学建模更加复杂，以上各类方法在应用上都或多或·国家自然科学基金资助项I~l(51275260)。20120926收到初稿，20130619收到修改稿少地存在缺陷。利用牛顿．欧拉法建立机构动力学模型，将导致未知量个数多于方程个数，模型无法求解；一般的处理方式是将机构简化成运动学特性等价的非过约束机构，但简化后的机构势必无法真实反映原机构的动力学特性，因此分析结果可靠性不足。采用拉格朗日或虚功原理的方法，可以避开讨论冗余约束对动力学模型的影响，但只能分析机构的驱动力，无法研究各构件受力，同时在模型中也无法考虑摩擦等非保守力。目前已有学者提出在牛顿．欧拉方程的基础上，通过增加补充方程，以解决静不定并联机构受力分析的思路，但该方法较为繁琐，通用性不强，难以在过约束并联机构动力学建模分析中推广使用L9J。

124 机 械 工 程 学 报 第 49卷第 l7期本文提出了一种基于牛顿．欧拉法，并通过机构变形协调性分析，增加补充方程的方法 解决了直接利用牛顿一欧拉法建立过约束并联机构动力学模型时，未知量与方程个数不匹配而无法求解的问题。

文中以一个 2自由度(Degree of freedom，DOF)过约束并联机构[10-12]为例，在对该机构进行运动学分析的基础上 利用牛顿．欧拉法并结合达朗贝尔原理得到了力和力矩平衡方程，通过补充变形．误差协调方程建立了该机构可求解的动力学模型。最后将该方法应用到一台实际混联机床的 2-DOF过约束并联机构部分的动力学建模分析中，研究了在给定路径下，机床左右滑块的驱动力以及终端动平台由于支链变形引起的位置误差，仿真结果表明了该动力学建模方法的可行性和合理性。

1 2-DOF过约束并联机构运动学分析1．1 机构描述图 1为2-DOF并联机构简图，该机构包括动平台Ⅳ，垂直导轨c1D1和C2D2，四条等长支链 fBf(卢1，2，3，4)，以及两个滑块Pl和 。滑块P1和 尸2分别在垂直导轨 C1Dl和 C2D2上滑动，其中，滑块 P1通过支链 l 1和 2与动平台Ⅳ的左侧相连，滑块 通过支链 3 3和 与动平台Ⅳ的右侧相连，分别形成了两个平行四边形机构。由于平行四边形机构的存在，该机构动平台只能在 OXY平面内做平动，不具备转动自由度。另外，针对该机构而言，只要其中的任意三条支链就可以确定动平台的位姿，因此第四条支链的引入形成了过约束。由此可知，该机构属于平面 2自由度过约束并联机构。

B1． B2D D2图 1 2-DOF过约束并联机构简图B3Bd1．2 支链运动学分析图2为单个支链的位置矢量环，以Cl C2的中点为原点D，平行于 Cl 的直线为 轴，平行于 C1D1的直线为 】，轴，z轴由右手定则确定，建立机构整体坐标系 oxrz({o})。以动平台Ⅳ的中心为原点 ，建立动平台坐标系 Txyz({ )，其各坐标轴方向与{D)相同。在 建立坐标系B~xyizi({Bf})，{Bf}的而轴沿着支链 f的长度方向，Zi轴与{D}的z轴平行。

图 2 机构单个支链的位置矢量环坐标系{乃相对于{D)的旋转矩阵“Rr=13 3 (1)坐标系 f)相对于{D}的旋转矩阵f，cos —sina~01。R sf =( ， 如，R )=l sinaf COSaf 0 l(2)0 0 l／J式中，∞是{ }的Xi轴与{0}的 轴的夹角。

根据图2，机构的位置矢量环方程可写成t+ R 4=c，+ 2+三 (3)式中，t=( Y，0) 为{ 的原点 在坐标系{0)中的位置矢量，为输出位置矢量；A，=(XAi Y o) 为在坐标系{ 中的位置矢量； =( 。，YO,0) 为cj(，=1，2)在坐标系{O}中的位置矢量；bf是 cjBf的长度，为输入位置变量； ：=(0，l，0) 是垂直导轨的方向矢量；L为支链的长度； 为支链 f f相对于坐标系fD}的单位方向矢量，有= ( ， ，0) = =(cos sinai 0)T (4)由式(3)所确定的机构正向和逆向运动学解分别有 2组和 4组，依据图1机构的机械约束，可以确定唯一的正向和逆向运动学解。当给定一组输入位置或输出位置矢量时，可以根据式(3)计算出 ，I，2013年9月 姜 蛲等：过约束并联机构动力学建模方法 125从而可以确定 ∞和0R 。

Ci是支链 的质心，Cf基于{ )的位置矢量在{ )中可以表示为aci=ai e2+ ×。 r6f+ ×( ×。 )=aie2+ × D frb厂 0 frbf (18)r6l= (1，0，。) (5) 2 2一DoF过约束并联机构动力学模型cf相对于固定坐标系{D}的位置矢量可 以表示为rcf=c，+岛P2+D f (6)将式(3)两端同时对时间取导数可得e2+L(toi× ) (7)式中，vr=i表示点 的速度矢量； 表示 f点的速度大小；∞ 是支链 f的角速度矢量，可表示为tOt toie3 (8)式中， 是支链 的角速度大小，e3-(o，0，1) 。

将式(7)两端同时点乘 ，f，可得’ vl ‘ (9)由式(9)可以得到Vf= (10) l Ll UJ
e2 ‘用 ，i叉乘式(7)两端，可得支链的角速度为= ÷Jf×(vr—vie2) (11)将式(6)两端同时对时间取导数，可得支链质心的速度矢量为=vf + ×D frbi (12)将式(7)两端同时对时间取导数可得aT= P2也( × )一 ‘ (13)式中，aT =(a／x,~lTy,01 表示点 的加速度矢量ai表示 点的加速度大小； 是支链 f f的角加速度矢量，可表示为F．i ~ie3 (14)式中， 是支链 BiAf的角加速度大小。

将式(13)两端同时点乘 ，可得。 =aie2· 一 三 (15)由式(15)可以得到(16)e2 ‘ii用 ，f叉乘式(13)两端，可得支链的角加速度为= ÷ ×( 一 ：) (17)将式(12)两端同时对时间取导数，可得支链质心的加速度矢量基于运动学分析的结果，对四条支链和动平台施加惯性力和惯性矩，利用达朗贝尔原理分析其受力情况，建立机构动力学模型。图3是一条支链的受力情况。

图 3 支链受力分析图根据图3可得出支链力平衡方程为f+ f+ fg+_，：=0 f=1，2，3，4 (19)式中，mi是支链i的质量， ；=( ， ，0) 是支链f在 处的受力， =( ， ，0) 是支链f在处的受力， =一m ac 为支链 f的惯性力。

对 点取矩，得到力矩平衡方程为(D )×( g—miaa)+Lli× f+ =0(2o)式中，／1i=一 为支链 i的惯性矩， 为支链 f对质心 C 的转动惯量。

由式(20)可以得到= 一 ·( 一(。 )×m g—m acf)／厶(21)图4为动平台的受力情况。

图4 动平台受力分析图根据图4可得出动平台的力平衡方程为4mg+F~t+Fr一∑ f=o (22)i=1126 机 械 工 程 学 报 第 49卷第 17期式中，m 为动平台的质量， =一，z 为动平台的惯性力，Fex =(Fo ，Fex ，0) 为作用在动平台上的外力。

对 点取矩，得到动平台的力矩平衡方程为Rx(mg—mar)一∑(。足 )× + 州=0i=1(23)式中， ：( ，Ry，0) 为动平台质心在坐标系{D)中的位置矢量， 为作用在动平台上的外力矩。

由式(22)、(23)可得P( z ： =Q (24)r， ， ]P l · IUl “2 “3 “4／JUf=lyfXAf一 fQ=Fex -maA+∑i=14- mg—ma 一∑fi=14Ryma -Rx(mg+ma )+ f一∑i=1wl= fX +lyiY式(24)包含三个方程 ，然而却有四个未知数f，显然无法求解。因此，利用牛顿．欧拉法直接对 2-DOF平面过约束并联机构所建立的动力学模型是无法求解的。

3 基于变形协调性分析的动力学建模为解决上述问题，通过对机构进行变形协调性分析以提供补充方程，从而建立出可以求解的动力学模型。

基于变形协调性分析的机构动力学建模求解思想：构件的变形可以利用其所受约束力来表示，且和终端位置误差之间有着确定的关系，这样就可以建立构件所受约束力与终端位置误差之间的联系。由于终端位置误差数是确定的，不会因为有冗余约束的引入而发生变化，而且其位置误差数与终端平台所能提供的动力学方程数是相等的，这样再结合牛顿．欧拉法已经建立的动力学方程，得到可求解的机构动力学模型。

2-DOF过约束并联机构在运动过程中，由于受到外界载荷以及 自身的重力和惯性力，各构件不可避免地会发生变形。考虑该机构的结构特点，导轨、滑块以及动平台的变形可以忽略不计，这里主要需要考虑的是四条支链的变形。

3．1 支链变形与动平台位置误差关系由于支链的变形，会导致动平台 和 y方向的位置误差 和6)，，以及垂直于 OXY平面的转动误差6 ，此时式(1)变为f+6f+(0母+6D )Al= +bie2+ ( +6‘)(25)6r=( ， ) =( )6 =( ]利用式(25)减去式(1)得6f+6 Af= (26)利用 点乘式(26)可得·8t+ ·(D碍4)= ·6 = (27)式中，乩 为支链的轴向误差，这里指因受力产生的轴向变形△ 。

由式(27)可得支链的轴向误差与动平台位置误差之间的关系JE『( 6 ) =(AlI AI2 AI3 Az4) (28)E =，z1，z23矗nf lyi f一 vl3．2 机构动力学模型将支链的轴向变形量△ 用未知量FAil来表示，就可以建立 f与动平台位置误差之间的关系。

图5为支链轴向变形的受力分析示意图，只考虑使支链发生轴向变形的力，其中，P =m g／ 为重力在杆上产生的均布力，qi：一m ac ／￡为惯性力在杆上产生的均布力。

向力图5 支链轴向变形分析受力示意图以及点为原点，距离 点距离为x处杆件的轴= ，l·( +Pi(L— )+吼(三一 ) (29)
机 械 工 程 学 报 第49卷第 17期{时间f／s图7 动平台 向位移一时间关系表 机床运动部件参数数值动平台质量 m／kg支链i质量 ml／kg支链i截面积&／m支链i转动惯量Jfl(kg·m2)左滑块质量m 1／kg右滑块质量ms2／kg支链长度L0／m图8所示为动平台在给定的运动轨迹下，根据左右滑块的驱动力表达式，利用 Matlab分析出的左右滑块在给定路径下的驱动力。

Z寸 里×需时间f／s图 8 左右滑块驱动力图8所示的左右滑块驱动力在整个运行过程中变化平稳，在启动和停止时也没有产生冲击。

4．3 动平台位置误差仿真根据所得到的动平台误差与支链变形之间的关系，利用Matlab分析在运动过程中动平台位置误差大小。

图9a~9c为运动过程中，由于各支链轴向弹性变形，产生的动平台中心 向和 】，向位置误差，以及动平台的转角误差大小。

图9所示的动平台位置误差都具有一定的对称性。由该机床的结构特征可以看出，其并联部分关于 y轴对称，同时动平台的运动轨迹也是关于 y轴对称的，根据直观可以推断出，其由于支链轴向弹gjI{】j咖．匡／I I l I l I l lO O 5 1 0 l 5 2 0 2 5 3．0 3 5 40 4 5 5 0时间f／s时间 f／s(c)图 9 动平台位置误差性变形导致的动平台在运动过程中的位置误差，也该具有对称性。这与图 9所示的仿真结果相吻合，表明了利用该方法进行过约束并联机构动力学建模及分析的可行性和合理性。

5 结论(1)利用牛顿．欧拉法对平面两 自由度过约束并联机构所建立的动力学模型，会出方程数少于未知量的问题，导致模型无法求解。

(2)通过分析过约束并联机构的结构特点，利用变形协调性分析方法，建立了构件受力与终端位置误差之间的关系，为动力学模型提供了补充方程，结合牛顿．欧拉方程，得到可求解的动力学模型。

(3)将文中提出的过约束并联机构动力学建模分析方法，应用到一台实际混联机床的并联部分的8 O 2 4 6 8 O 2 4 6 —0 —
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4 2 O 7 2 2 3 2013年 9月 姜 蛲等：过约束并联机构动力学建模方法 129动力学分析中，在给定动平台运动路径下，利用Matlab分析了运动过程中机床左右滑块的驱动力以及由于各支链轴向变形产生的动平台位置误差，分析结果表明该方法的可行性和合理性。

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作者简介：姜蛲，男，1989年出生，并联机床动力学与控制。

E-mail：jiangyaonju###126．tom李铁民(通信作者)，男，1971年出生人控制、冗余并联机构动力学。

E-mail：litm###tsinghua．edu．cn博士研究生。主要研究方向为冗余副研究员。主要研究方向为机器