基于点接触热弹流润滑的油膜刚度建模分析

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Modeling Method Analysis for Oil Film Sti肺 ess CalculationBased on Point Contact TEHL TheoryChen Bin Chen Jian Dong Mal Lu Yuxin(School of Mechatronic Engineering and Automation，Shanghai University，Shanghai 200072，China)Abstract：Rolling ball bearing working in the thermo-elast0hydr0dynamic lubrication(TEHL)condition，the oil filmstifness between its ball and race has a signifcant effect on bearing stifness.Considering thermal effects and the influ-ences of lubricant entrainment velocity.oil film stiffness calculation model was set up based on point contact EHL Theory。

Non-dimensional differential equations and discrete equations were deduced and viable relaxation iteration formulation wasgiven for numerical calculation.By comparing the proposed model with previous models and related experimental data，thevalidity of the proposed model was verified.The results indicate that the calculation results of proposed model calculatedwith Newton-Raphson iteration method can well fit the experimental data.The established model can be used for ball bear-ing stifness calculation as a basic mode1。

Keywords：bal bearing；point contact；elastohydrodynamic lubrication；oil film stiffness在球轴承支承的旋转机械中，轴承 -转子系统的支承刚度对旋转机械的精度和动力学性能有很大影响，实际中球轴承的整体刚度由球滚动体与套圈滚道之间的接触刚度和润滑油膜刚度共同组成。以往对轴承刚度的研究常常忽略油膜的存在和对刚度的影响，而只是对接触刚度进行合成来近似代替轴承的刚度 ，但有研究证明，在弹流润滑条件下，润滑油膜的 刚化效应”对轴承动态特性有很大影响 。

此时球滚动体与套圈之间弹流油膜本身的刚度往往会达到与接触刚度同-数量级甚至远大于接触刚度的水平，从而对轴承的整体刚度和动态特性产生很大影响，因此油膜刚度不能够再予以忽略不计。

目前，在点接触弹流润滑条件下油膜刚度计算建模研究方面，Hagiu等 用接触区载荷对最小油膜厚收稿 日期 ：2012-12-24作者简介：陈斌 (1986-)，男，硕士研究生，从事轴承-转子动力学问题研究.E-mail：Ala19861030###163.com。

度的导数近似代替油膜刚度，并且利用 Hamrock和Dowson的点接触最小膜厚公式，推导出了考虑热效应与乏油影响的高速球轴承接触区油膜刚度的近似计算公式；李昌等人 采用同样的方法，推导出计算球轴承点接触区油膜刚度的经验公式，但没有考虑热效应与乏油的影响，只是在计算参数上稍作改变；赵联春 则认为接触区油膜刚度近似于接触区载荷对中心膜厚的导数，从而推导出计算接触区油膜刚度的简化公式；其他如Liu Zhifeng等 、刘振宇 对油膜刚度也有所涉及和相应研究。但是，目前关于滚动轴承内部弹流润滑油膜刚度分析计算研究方面的文献相对较少，针对球轴承内部球滚动体与套圈滚道之间点接触区弹流润滑油膜刚度的分析计算也很少有进行系统分析和理论建模方法方面的深入研究，计算的方法多采用近似的经验公式法，无法体现整个接触区弹流油膜状态的分布和动态变化等方面的影响，在适用条件和范围方面都受到限制。因此，针对点接触热弹流动力润滑状态条件下，对影响球轴承内部球滚动体与套圈2013年第8期 陈 斌等：基于点接触热弹流润滑的油膜刚度建模分析 71滚道之间弹流润滑油膜刚度的影响因素进行综合分析研究，考虑热效应、润滑油卷吸速度、油膜分布状态等因素的影响，提出-种点接触弹流润滑油膜刚度计算的完整理论模型和相应求解方法，具有理论研究和工程应用方面的双重意义。

1 点接触弹流润滑油膜刚度计算模型1.1 流体动力润滑方程 (Reynolds方程)根据 Hertz接触理论可知，2个压紧曲面间的接触区为椭圆形，称为Hertz接触区。当2个接触曲面间接触区中充满润滑油并且具有相对运动时，接触区内部会形成弹流润滑油膜，如图1所示。

图l 润滑油中微元体 方向上的受力Fig 1 Force analysis of lubricating oil unit in direction对接触区上下表面间弹流润滑油膜某-微元体的受力进行分析，可得到该微元体在 ，Y方向上的受力平衡方程dy出-(p赛 )dy出-r dy ( Oz (1)出-(p dy)d -r dy ( 鲁出)捌y0按照牛顿黏度定律公式J (2) ，l dv 叩代入公式 (1)，可得岳( ) ㈩ d I/叼 Ov)式中：P为微元体上所受压力；M、 为微元体 、Y方向上的速度。

假设润滑油与接触表面间无相对滑动，则对式(3)在z方向上积分 2次，即可以得到 、Y方向上的速度分量(1- 音 以ot，㈩ (1- 音 式中：h为接触区任意点油膜厚度；卵为润滑油的动力黏度； 、1，：、 。、 ：为两表面 、Y方向上的速度分量。

将式 (4)代人非稳态情况下流体质量守恒的连续性方程 宣( 业 ：0c3x Oy Oz Ot同时，忽略润滑油密度P随z方向的变化，便可得到广义上的 Reynolds方程的-般形式 叫 127 Ox]立Oyt 127业1立(pUh) 0yJ dx d J(JDVh)O (ph) (5)式中：U： ÷ 、 ： 为润滑油膜在 、y方向上的平均卷吸速度。

在稳态热弹流润滑情况下，需要对公式 (5)进行必要修正：稳态方程中可忽略时变效应，从而省去公式的最后-项；忽略代表伸缩效应的项，则可以把公式中的7/，、 提到微分号前面；考虑热效应的影响，需将油的密度P与动力黏度卵进行修正，于是得到修正后的稳态热弹流情况下Reynolds方程击(号) h3ox] ( )。h3o-y]12盖(p )12 (p ) (6)式中：(p/r1) 、P 为 Ree-Eyring流体的表征密度和黏度的函数，是由P和 在 方向上的变化所产生的，它们的相关计算方法文献 [11]中进行了阐述。

1.2 油膜刚度计算建模根据刚度定义 ，可知 - (7)式中： 为 Hertz接触区的油膜刚度；W为接触区的分布法向载荷；艿为接触区任意点油膜的压缩变形。

如图2所示，润滑油速度与载荷同时作用，接触72 润滑与密封 第 38卷面出现 颈缩现象”。图中 轴为润滑油卷吸速度方向， 为接触区中心 方向上的的最小油膜厚度，mi.为油膜厚度最小处的油膜压缩变形。

图2 接触区载荷与油膜厚度Fig 2 Contact load and oil-film thickness由于接触区的法向载荷等于接触区各部压力的积分，因此公式 (7)可变形为 - dy- d dy (8)式中：k dp/dh为分布刚度，表示接触区内某-点单位面积上的油膜刚度；6 定义为整个Hertz接触区。

因此，计算油膜刚度只需求出分布油膜刚度 k再对其进行积分即可获得。 为求解 k ，需要将公式 (6)两端分别对 h求导，这里值得注意，求导时可认为P和叼均不是 的函数，但润滑油卷吸速度 u、 对膜厚有直接影响，因此不能忽略两者与 h的函数关系。由于轴承工作时，球滚动体在套圈沟道内滚动前进，若忽略球自旋的影响，则可认为公式 (6)中 0，即 方向为润滑油进入Hertz接触区的流动方向。假设轴承工作时润滑油卷吸速度等于两接触曲面 方向中心处的润滑油速度，则将 h/2代人公式 (4)并对 h求导可得du： - -。2h O，p (9)d 8 a 8卵a 、区内的k 以及整个接触区的油膜刚度。

1.3 栽荷对最小油膜厚度的导数用上述模型计算的刚度无法与实验数据对比，为便于验证，在上述分析的基础上，结合 Hertz接触应力计算公式，假设压力与膜厚呈线性关系，容易得到载荷对最小油膜厚度的导数d -27ra hkd式中：a、b为接触区椭圆的长、短半轴长；P 为接触区最大压力 ；kdm为油膜厚度最小处的 dp/dh ；P为油膜厚度最小处的压力。

为方便讨论，将公式左端用字母 k 来代替，代表载荷变化所引起的最小油膜厚度的变化～公式(10)的结果代入式 (11)，可计算出该值，通过对比该值来验证油膜刚度模型的正确性。

2 微分方程的量纲-化模型中待求项包含压力P、膜厚 与 k ，直接求解困难，因此可以利用方程 (6)先迭代求得接触区上各点的P与h，代入方程 (10)以减少待求项的个数，从而只需求解k ，减少计算量。

由于油膜刚度微分方程公式 (10)为二阶偏微分方程，因此只能通过数值计算的方法编程求解。在进行数值计算求解微分方程时，通常需要将方程写成量纲-形式，以便减少方程变量的数目，增加解的通用性。在计算油膜刚度 的过程 中采用的量纲-参数有：HhR /b ，W /(E R )，U叼0 (E R：)，GaE ，Ppiph，叼rl/Tq0，Pp/p0，Xx/b，Yy/b，KdkaphR /b ，KfkfphR 。其中 。为初始润滑油动力黏度，P。为初始润滑油密度， 为 轴当量接触曲率半径，E 为当量弹性模量。方程 (10)的量纲-形式可写为轰[3 c )ao P 1轰[( 3，.： -，XH O。K a1寺可式 两端同时对 求导并与公式 联-[3-P [ OKaOY Y] 0 (12) 立得 d儿 a J击 ot，击 3 h O-kd]专[3 ，oy] [ 。 鲁]击(p u) ( 0)式中： 为 Ree-Eyring流体的当量黏度； 为油膜任意处的剪应力；r。为Ree-Eyring流体的特征剪应力。

联 寺公式 f61、f8)、 f10)佰 可求得 所有棒 h2，等，其中A ，k a/b。

3 油膜刚度计算结果及其验证3.1 其他计算模型(1)Hagiu等 计算了载荷对最小油膜厚度的导数k，，并用其近似代替接触区油膜刚度。利用 Ham-rock和 Dowson的点接触最小膜厚公式，推导出了考虑热效应与乏油影响的高速球轴承接触区油膜刚度的2013年第8期 陈 斌等：基于点接触热弹流润滑的油膜刚度建模分析 73近似计算公式kf13.699CI3.69 6。 (叼0n) ( min Th )(13)式中：C 为常数； 为润滑油黏压系数；n为轴承转速； 为热效应影响因素； 为乏油影响因素。

在本文计算中，由于实验中乏油的影响相对较弱，因此乏油影响系数 取为 1。

(2)李昌等人 采用同样的方法，推导出计算球轴承点接触区油膜刚度的经验公式kf6.406 6×10 G · 扩 坫h ·69E R · 9(14)与 Hagiu等人的公式 (13)不同之处在于，该公式没有考虑热效应与乏油的影响，而只是在计算参数上稍做改变。因此，之后的结果校核中只对比了公式 (13)的计算结果，而没有重复计算公式(14)。

(3)赵联春 则认为接触区油膜刚度等于接触区载荷对中心膜厚的导数 dw/dh ，这里用 k 代替，其中h 为接触区中心处的油膜厚度。其推导出接触区油膜刚度的简化公式kc - 观R W- -0.61e.-O.73k.)(15)(4)本文推导的接触区载荷对最小油膜厚度的导数： (16) f - 3.2 相关实验结果及数据的模拟处理文献 [12]在球盘实验机上进行了弹流润滑油膜测试试验，测得点接触弹流润滑状态下不同法向载荷对应的最小油膜厚度值，通过对该试验所得最小油膜厚度曲线进行拟合，即可得到如图3所示最小油膜厚度所对应法向载荷变化的拟合曲线，该曲线的导数即为公式 (13)和公式 (14)中定义的接触区载荷对最小油膜厚度的导数 ，，通过图3所示拟合曲线求得的 见表 1。文献 [10]指出，Reynolds方程在载荷过小时误差较大，因此，在曲线拟合过程中，这里略去了实验结果数据中载荷过小的几个点。

302418126260 280 300 320 340m /rim图3 接触面法向载荷与最小膜厚Fig 3 Contact load and minimum oil-film thickness表 1 载荷对最小膜厚的导数(拟合结果)Table 1 Fiting results of experimental data载荷 w/Nm /(×10 N·m ) 1.03 1.276 1.57 1.86 2.16 2.46 2.72 3.06 3.35 3.683.3 计算结果及讨论根据文献 [12]球 -盘实验机实验的条件，实验时为直径 25.4 mm的钢球与玻璃圆盘接触并进行滚动弹流试验，相关参数分别为：当量曲率半径R 0.012 7 m，接触固体综合弹性模量 E 1.17×10Pa，润滑油初始密度 P。896 kg/m ，润滑油环境黏度 叼0117.0 Pa·s，黏压系数 3.0×10 m /N，卷吸速度 U387×10～m/s。

利用本文所建立的弹流油膜刚度分析计算模型以及其他研究人员提出的公式 (13)，(15)对上述实验条件下的油膜刚度进行计算，计算结果如图4所示。为比较计算结果，图4中还示出了文献 [12]的实验结果。其中kfilm与k 为本文分析模型和方法的计算结果，k 为使用 Hagiu提出的公式 (13)的计算结果，k 为使用赵联春提出的公式 (15)的计算结果∩以看出，k 比kmm大了很多，这是由于油膜厚度最小处润滑油受挤压严重，黏度较大，因此该处的膜厚变化要比接触区其他地方小得多。因此，无论是k 还是k 都只代表了不同载荷下接触区某-点的油膜厚度变化，无法准确表现油膜刚度的大校从图4中还可以看出，公式 (15)计算结果虽然趋势与实验拟合曲线大体-致，但数值大了4倍左右；公式 (13)计算的数值比实验拟合值大很多，这是由于该公式并不具备普遍适用性，其 的选取对结果影响极大，且载荷与速度的变化都对 有影响，导致结果可能出现较大的变化。同时该公式计算曲线呈指数级上升，与其他结果趋势不符。本文公式(16)的计算结果与实验拟合的结果更为接近，从而2013年第 8期 陈 斌等：基于点接触热弹流润滑的油膜刚度建模分析 75f目Z-×3.02.52.O1.51.00.5f 昌Z ×羔u/(tm·s。

(b)卷吸速度的影响(Rx12.7mm，w16N)， 昌Z∞ 0 ' -×目基50 100 150 200 250r//(Pa·s)(c)黏度的影响(矗 12.7Him，U387pm/s)图8 载荷、润滑油卷吸速度及黏度对油膜刚度的影响Fig 8 Variation of oil-film stifness with load(a)，oil entrainment velocity(b)and oil viscosity(C)5 结论(1)提出了-种点接触弹流动力润滑情况下接触区油膜刚度的计算模型，该模型考虑了热效应、润滑油卷吸速度和油膜分布对接触区油膜刚度的影响，并对求解该模型的简化计算方法进行了研究，推导出油膜刚度计算方程的量纲-化形式及其离散方程，给出了迭代计算的松弛方程。

(2)通过迭代法求解，可计算得到弹流接触区内各点处的油膜刚度以及整个接触区弹流油膜的总刚度。

(3)计算分析结果与相关实验数据的拟合结果吻合较好，且与其他经验公式相比，本计算模型更为合理，计算结果与相关实验结果更加吻合，说明本文基于点接触热弹流润滑理论所建立的油膜刚度分析计算模型是正确和可行的，可供具体轴承整体刚度的分析计算时参考。