基于理论建模和ARX模型的定位平台系统辨识

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System identification of a positioning stage based on theoretical modeling and an ARX modelWANG jing-shu ，GUO Jie ，ZHU Chang-art(1.Chongqing University of Technology，School of Mechanical Engineering，Chongqing 400054，China；2.Department of Precision Machinery and Precision Instruments，University of Science and Technology of China，He i 230027，China)Abstract： In order to know the characteristics of a positioning stage，a dynamic model with single input and two-output was developed and the positioning tests were done.Based on the dynamic model and the test data after interpolatingand normalizing，the unknown parameters were identifed with the least square method.Another identifcation methodbased on an ARX model was applied to recognize the inside stage system.The results comparison indicated that the ARXmodel is appropriate to describe the characteristics of the stage system，while the dynamic model is meaningful forstructural optimization。

Key words：positioning stage；dynamic model；system identification；ARX精密定位平台在扫描隧道显微镜(STM)、超精密加工、原子结构重排、纳米坐标测量机等多个领域有广泛应用。由于其高定位精度的要求，在工程应用中需要设计控制系统对定位平台进行闭环控制。为了得到更高的精度，必须先了解系统的结构，并在此基础上进行有针对性的控制策略设计。系统的结构可以通过建模以及系统辨识的方式了解，因此，精密定位平台系统辨识是-个必不可少的过程。

系统辨识是-类重要的研究课题，许多学者对其进行研究，针对非线性系统以及线性系统有不同的辨识方法↑年来，人工神经网络在非线性系统辨识研究中占有重要地位。这类方法的特点是利用神经网络较强的非线性 函数拟合能力来得到系统的非线性特性，再通过递推算法调整网络权值或者结构以跟踪系统的时变特性 。

针对线性系统的系统辨识，-般是基于常见的几收稿 日期：2012-06-13 修改稿收到日期：2012-08-07第-作者 汪静姝 女，博士生，1988年 11月生种线性模型进行的，如 ARX模型、ARMAX模型、Box-Jenkins模型等。文献[5-6]将 ARMA模型应用于厂房振动的模态参数识别和机械故障诊断中。也有学者研究基于 ARX模型的齿轮箱建模以及振动系统仿真 。除此之外，子空间方法、观测器以及小波变化法等多种方法也被应用到系统辨识领域 J。

黑箱系统辨识是指通过观测未知系统的输入、输出及其动态过程，来探索未知系统的功能特性及其内部结构的-种系统辨识方法，未知系统则称之为黑箱系统。有很多学者将黑箱系统辨识用于各种未知系统的辨识研究中 。

本文首先针对定位平台的具体结构，建立相应的动力学模型，然后基于该理论模型采用最小二乘法辨识出系统中的未知参数，最后再进行基于黑箱模型的系统辨识，并将两种辨识方法得到的结果进行对 比分析1 单输入双输出动力学模型精密定位平台采用双层结构，如图 1所示。外工第13期 汪静姝等：基于理论建模和ARX模型的定位平台系统辨识 67作台由电机驱动在导轨上进行直线运动。内工作台通过四个弹性簧片悬挂在外工作台上。由于压电陶瓷具有纳米级分辨率、响应速度快、机械静压力特性好、结构简单以及受外力干扰影响小等优点，使用压电陶瓷作为内工作台的驱动器件。压电陶瓷安装在内外工作台之间，其-端固定在外工作台上，另-端使用预紧弹簧使其紧贴着内工作台以便于输出位移。研究定位系统双工作台结构的系统特性，对两级工作台的物理结构进行简化，简化模型如图2所示。

图 1 双层工作台结构简图Fig.1 The structure of the positioning stage图 2 两级工作台动力学模型Fig.2 The kinetic model of the stage建立工作台系统的单输入双输出动力学模型，并据此设计实验以便得到相应的辨识用数据。单输入即只有压电陶瓷输入位移，外工作台处的电机没有输入信号，双输出包括内工作台和外工作台的输出位移。

内外台之间的压电陶瓷的输入位移为 M，外工作台和内工作台的输出位移分别为 和 ：。外工作台和内工作台的质量分别为 和 m。内外台之间的簧片被简化成了-个弹簧阻尼系统，其刚度为 k ，阻尼系数为 b：。

模型主要关注内外工作台结构的特性，因此不考虑外台前级的驱动及传动机构，将外工作台的前级机构简化为是固定的，用-个弹簧阻尼系统代替，弹簧刚度为ic ，阻尼系数为 b.。得到此时简化系统的动力学方程为：M 1-kl 1-bl l-k2(u 1- 2)mx2k2(M 1- 2)b2( -x2)2 离散时间序列预处理由于建立的模型为单输入双输出动力学模型，因此进行定位实验时，只给压电陶瓷施加 50 m的阶跃驱动信号，由双频激光干涉仪同时测量内工作台和外工作台的输出位移，采样频率为 1 000 Hz，得到两组离散时间序列。在将离散数据用于系统辨识前，需要对数据进行预处理，包括离散数据插补以及数据归-化处理。

2.1 离散数据插补离散位移数据是双频激光干涉仪按照频率 1 000Hz进行采样得到的，理论上数据的时间间隔是 0.001S。然而，在数据采样过程中，由于操作系统定时精度、任务切换等因素的影响，双频激光干涉仪无法实现完全的均匀采样。如果直接使用原始数据按照采样频率1 000 Hz进行后续处理则会引入较大的误差，因此需要对原始数据进行插补计算以获得均匀采样时间序列。

离散数据是按照频率 1 000 Hz采样得到的，虽然不是严格的均匀采样，但是数据的时间间隔与0.001 S也相差不远，因此，采用计算最方便的直线插补法进行数据插补，计算公式为：T -( ) [ ( )- (0。)]- - 1n ： 1.2式中： 为原始离散数据序列，下标n1表示内工作台数据，n2表示外工作台数据， ：m 0.001是均匀采样时间点，ti是原始时间序列中采样时间从右向左最接近 的时间点，t 是原始时间序列中采样时间从左向右最靠近 的时间点。原始数据经过直线插补后得到的 则是均匀采样时间序列。

2.2 数据归-化在进行系统辨识时，要用到最小二乘法等处理算法，为了降低计算的复杂度并且避免收敛速度慢等问题，必须对原始数据进行归-化处理。实验中在压电陶瓷上施加的输入信号是 50 m的阶跃驱动信号，因此，内工作台稳定后的位移是 50 m，外工作台稳定后的位移是0，对数据进行归-化处理，即：互 /50 m /50 m为最终完成预处理的内工作台离散数据序列。在接下来的辨识中需要同时用到两组数据，因此，为了保持两组数据的-致性，对外工作台数据也进行相同的归- 化处理， 为外工作台用于系统辨识的离散数据序列。

3 基于理论模型的系统辨识系统辨识有三个要素，分别为数据、模型和准则。

辨识的过程就是利用所观测到的系统输入输出数据，根据所选择的准则，确定与所测系统拟合程度最高的模型。系统辨识包括模型阶次辨识和参数辨识。在理论模型的基带行系统辨识，则模型阶次已经确定，只振 动 与 冲 击 2013年第 32卷需要进行参数的辨识。模型中已知的参数为 和 m，数值如表 1所示，需要辨识的未知参数分别为 k。、k：、b和 b2。

表1 动力学模型已知参数列表Tab.1 The known parameters of the kinetic model辨识用数据是系统的阶跃响应输出，数据的采样频率为1 000 Hz，以实测阶跃响应数据作为目标值，理论模型阶跃响应输出为辨识值，采用最小二乘法对系统中的未知参数进行辨识。实测数据表示为( ，Y )，i1，2，3，，n，最小二乘法的拟合原则是使误差的平方和最小，即：min[∑( )-Yi) ]其中：n为实测数据的长度， 为插补处理后的均匀采样时间点，Yi为实测输出位移值，函数.厂( )是与理论模型相对应的函数。使用 matlab软件实现最小二乘法辨识算法，使用外工作台的数据进行辨识，得到未知参数辨识结果如表 2所示，通过未知参数的值可以确定 内工作台的输出响应。

表2 动力学模型未知参数辨识结果Tab.2 The unknown parameters of the kinetic model参数 kl/(N·m )kJ(N·ITI )bl/(Nm·s )bJ(Nm·s )数值 1.3361×10 2.908 5×10 5.622 X10。 685.2图3 基于理论模型的辨识结果Fig.3 The identification results of the kinetic model辨识模型的两个工作台阶跃响应与实测阶跃响应对比图如图3所示。由图3可以看出，内工作台和外工作台的辨识结果在大的趋势上与实际数据基本吻合，在峰值以及小的变化趋势上外工作台辨识结果基本符合，而内工作台模型则不能完全符合实际系统特性。辨识过程中采用的是外工作台数据，因此辨识结果中的外工作台模型契合度更高。而内工作台的输出响应是由理论模型中内工作台和外工作台之间的约束关系决定的，因此辨识精度相对较低。

4 基于黑箱模型的系统辨识基于理论模型进行系统辨识时，由于内工作台和外工作台之间的物理关系十分明确，都是由相同的未知参数决定的，因此只要进行-次辨识 ，得到未知参数，则内工作台和外工作台的模型都能够确定。然而，基于黑箱进行系统辨识时，内工作台和外工作台之间的物理关系不明确，要得到其系统结构则必须进行两次辨识。定位实验得到的是单输入 -双输出的实验数据，为了保证两种辨识方法的-致性，此时也采用相同的数据进行辨识。内工作台系统的输入是施加在压电陶瓷上的阶跃信号，此时外工作台的输入不明确，不能通过模拟信号进行仿真，因此只进行内工作台阶跃响应信号的黑箱系统辨识。

在基于黑箱的系统辨识中，系统的阶次以及模型的形式是都是未知的，需要先选用-种标准模型进行阶次辨识，然后再进行模型参数辨识。-般常用的标准模型有 ARX模型，ARMAX模型，Box-jenkins模型以及输出误差模型等，参考图1中的定位平台实际结构，选用 ARX模型进行辨识。ARX里模型的基本样式为：A( - )Y(k)B(z- )u(k-n ) (k)其中： (k)为误差，n 表示系统的延时，由于在理论模型中没有考虑误差、延时等因素，因此，为了方便对黑箱辨识结果和基于模型的辨识结果进行对比，在 ARX模型中也不考虑这些因素的影响，即 (k)0，/1， 0。

采用 Risanen的最小描述长度算法辨识系统的阶次，其计算规则是minI Vf 1 1 l L、 N ，J其中：Ⅳ为辨识用数据的长度，d是不同阶次下黑箱系统中要辨识的参数个数， 为不同阶次下的输出预测误差平方和，通常称为误差性能准则函数，即损失函数。

使用内工作台阶跃响应数据对内工作台系统进行辨识。内工作台系统 ARX模型的A矩阵阶次辨识结果为 10， 矩阵的阶次为 1，在此基础上进行系统参数辨识。此时辨识的模型是 10阶系统，有更高的 自由度，与图2中建立的理论模型没有关联。但是两种辨识方法的结果可以进行对比分析。

l 1 1 1 O O O O H《譬4 3 2 1 O 1 2 3 4 5 6 0 0 0 0 籁啦 H春窖第 13期 汪静姝等 ：基于理论建模和 ARX模型的定位平台系统辨识 69此时系统的未知参数有 1 1个，采用最小二乘法对各个参数进行辨识 ，辨识得到的系统模型为：A( - )1-1.384z 0.557z- 0.286 3z-。-0.684 3z- 0.574 3z- -0.209 8 - -0.070 43z- 0.034 48z- -0.332 4z- 0.316 3z 。

B( )0.084 65黑箱模型辨识得到的内工作台阶跃响应与实测阶跃响应对比结果如图4所示。

图4 基于 ARX模型的辨识结果Fig.4 The identification resuhs of the ARX model由黑箱模型辨识得到的内工作台系统阶跃响应的超调部分与实测数据十分吻合，幅值及相位都相互重合，能够有效反应系统的阶跃特性 ，其辨识精度高于图3中的结果。这是由于基于黑箱模型的辨识是没有施加约束条件的，直接从数据出发，因此得到的辨识结果与实际数据更加吻合。

5 结 论(1)本文建立了定位平台系统的单输入双输出动力学模型，并在理论模型的基础上使用最小二乘法辨识系统中的未知参数。模型阶跃响应与实际阶跃数据的变化趋势基本吻合，说明本文的动力学模型能够反映系统内工作台和外工作台的动力学特性。

(2)本文进行了基于 ARX模型的系统辨识，其辨识结果在阶跃响应超调部分的幅值和相位都与实际数据十分吻合，比基于动力学模型的辨识结果更加接近实际数据。

(3)两种辨识结果适用于不同的应用层面。基于动力学模型的辨识结果由于其考虑了系统实际结构，因此在系统结构优化等方面有重要作用。基于 ARX模型的辨识结果更加贴近实际阶跃响应曲线，可以让我们更加了解系统的传递特性，是控制策略设计的重要参考因素。