灰色神经元拟合算法在有限元模型修正中的应用

Fitting Algorithm of Gray Neurons and Its Application to Finite ElementM odel M odificationYANG Haifeng ， CHENG Hang ， QUAN Long ，(1.Key Laboratory ofAdvanced Transducers and Intelligent Control Systems ofMinistry ofEducation，Taiyuan University ofTechnology，Taiyuan 030024；2.Research Institute of Mechatronics Engineering，Taiyuan University of Technology，Taiyuan 030024)Abstract：To conquer the difficulty in using less data to establish precise mathematical prediction model of the parameters and modalin the process ofupding finite elemem model，a new mathemical model based on the ay theory of adjusting vector neuronsweights is introduced.Several diferent mathematical prediction models are fired by using the least squares method of modelcalculation.Two models wim the highest prediction accuracy are picked out to constitute the input of the neuron prediction mode1。

The neuron vector summation method is defined with the purpose of a quick and accurate weight calculation.The network is trainedby the sam ples and the final value of the weights is predicted by Gray prediction theory based on the sequence of the weights，whichare established by the vector neuron prediction mode1.The model based on less data Can Obta higher accuracy prediction.which isversatile to meet the requirement of engineering calculation.The efectiveness of this model is verified by update instance of thegearboxS finite element model，therefore，an efective way to update the finite element model is provided。

Key words： ay system theory Vector summation Neuron prediction model Finite element model modification0 前言模态参数反映了结构的动力学固有属性，可以由计算或试验分析获得。计算模态-般使用有限元模型进行分析，但受建模误差影响往往不能反映结构的真实特性；试验模态使用实际结构进行测试，但受试验条件限制有些模态无法获得。因此，利用·国家自然科学基金(51035007)和山西省自然科学基(2011011026-3)资助项目。20120824收到初稿，20130427收到修改稿模态的实测结果对计算模型进行修正，得到能够反映结构真实信息的有限元模型对于之后进行更复杂的动力特性仿真分析非常重要。

有限元模型修正-般采用参数化修正方法，其中建立待修正结构参数与模态之间的高精度映射关系-直是计算的重点也是难点。国内秦玉灵等lJ使用二阶多项式、孔宪仁等[2使用-次-高斯组合径向基函数、程霄翔等3J使用带有交叉项的二次多项式对结构参数与模态频率的关系进行拟合；国外研究人员[4-5]也对数据拟合方法的应用做出研究。由于参机 械 工 程 学 报 第 49卷第 13期数和模态之间存在非线性关系，用上面提出的响应模型来拟合效果不理想，同-求解问题中各阶模态频率拟合误差最低 0.1%，最高可达 9%。范剑锋等6J在研究中引入神经网络需要大量样本才能获得较好的训练效果，工程应用性较低。

高精度神经网络的建立依赖大量训练样本，而灰色理论可以从小样本中准确归纳出数据的变化规律L7J。因此，本文提出-种新型的基于灰色理论调整矢量神经元权重的预测模型，达到利用较少数据进行高精度建模的目的。最后通过减速器箱体的有限元模型修正实例验证该方法的有效性。

1 灰理论调整矢量神经元权重1.1 矢量神经元预测模型本文使用的神经元模型 结构如图 1所示。样本结构 1， 2，， ， )，其中 1，X2，，Xn)为 自变量， 为期望输出，首先将数据运用最小二乘法拟合为两种不同形式的函数作为神经元的 2个输入)，1、Y2，每-个输入乘以权重 W，权重可以通过期望输出 与规则 6- 确定，最后经过神经元运算 之后得到输出 0。当样本全部输入完毕，神经元训练结束。

图1 神经元模型结构与常见神经元的代数求和运算不同，本文中神经元运算 采用了自定义的矢量求和运算。这-运算机理如图2所示。

41图2 矢量运算数学原理该原理说明给定两个矢量 口。、az，各自分配权重之后，矢量 a总能表示成这两个矢量的和。即总有以下关系式存在a--WlalW2a2 (1)式中 wl l的权重w2--口2的权重权重的确定与 al、a2、0l、02有关，本文定义包含这四个参数的运算为-个矢量算子，表示为1，a2，0l， )。根据本文中神经元只有两个输入的特点，通过类比的方法将这种矢量算子引入到神经元运算中。为了降低计算量，设定矢量a1、a2正交并且有 0l-.-02-45。，则矢量运算可以转化为如下形式的代数运算口： ( )： (2)那么矢量神经元的计算过程可以用如下的数学表达式进行描述与推导。

令样本为 l，12，，Xn，Y0)，对数据预先进行最小二乘拟合得到两个不同形式的函数Yl厂( 12 ) (3)Y2g( X2 Xn) (4)Y1、Y2作为神经元的输入，各自乘以权重之后进行矢量求和运算，根据前面定义的矢量算子，权重值可以由式(5)、(6)求出 Yl粤/2y](5)Y2 2y 2传统权重调整方法使用误差梯度下降规则，不仅收敛速度慢甚至有时进入误差的局部极小值而导致权重调整失败。本文提出由式(5)、(6)计算权重可以保证每次调整神经元的输出与期望值误差为零。

1.2 灰色理论调整神经元权重灰理论与神经网络的结合 已经得到了广泛的应用[9-10。本文使用灰色理论的预测功能来实现通过较少数据调整神经元权重的目的。单因素-次变化的灰色模型可以达到对权重预测的目的，这种模型记为 GM(1，1)。该模型计算过程如下。

设权重的变化序列为 。，数据组成形式如下W。(W0(1)，W0(2)，，W0( )为 。的-次累加序列，数据组成形式如下W (W1(1)，W (2)，，w ))- 次累加运算公式kwl(七)∑w。(f) kl，2，， (7) 百z 为 的紧邻均值生成序列，数据形式如下Z (z (1)，z (2)，，z ( )机 械 工 程 学-塑 第49卷第13期2 1 2 2 1 122.9 1 571·03 1 3 3 1 128.6 1 577·44 2 1 2 1 057.6 1 502·75 2 2 3 1 065.0 1 509·56 2 3 l 1 037.3 1 536·97 3 1 3 1 004.1 1 439·18 3 2 l 974。22 1 465·59 3 3 2 111：!! !兰 ：为了验证拟合模型对未出现的试验组合预测效果，再安排五组表 3中没有出现的试验，数据整理如表4所示。

用 Matlab编写最小二乘拟合程序分别用-次多项式、二次多项式、高斯函数拟合表3中l，6、h与厂的关系式。

- 次多项式公式二次多项式公式(12)∑3 壹cf# (13)高斯拟合公式 ·/ "X2： 口 l (14)拟合之后，将各个公式对数据的拟合值和数据的原始值做对比分析，各函数拟合效果见图5。

由图5可以看出，-次多项式和二次多项式对数据的拟合效果要比高斯拟合好，-次多项式和二次多项式在个别点的拟合精度比较高，各有优势，因此用-次多项式和二次多项式作为神经元的输试验组序列(a)-次多项式拟合试验组序列(b)二次多项式拟合试验组序列c)高斯拟合图5 函数拟合效果入。表3中九组样本依次输入训练神经元，每-次权重的调整结果如表 5所不。

根据权重的变化序列利用式(9)进行灰色预测，得到-次多项式权重 wl( O.706 3，二次多项式权重 w2 ；0.705 2，因此第-阶频率计算公式为 (15)O4 地 删m卅姒2 2 22 2 26 2 3 -2 l 1 l l 1 l X口。∑0 口，n2013年 7月 杨海峰等：灰色神经元拟合算法在有限元模型修正中的应用 67表5 矢量神经元训练权重变化记录训练次数 ----------壑垩 ---- -- 次多项式权重w1 二次多项式权重矢量神经元、-次函数、二次函数拟合值与原数据的相对误差对比见表6，神经元拟合误差均匀且普遍较小，因此拟合效果比前述几种模型都要好。

表6 多种函数拟合相对误差对比使用表4中的数据，对比分析三种拟合函数对于未出现数据的预测效果。相对误差对比见表 7，可见即使对于拟合数学模型时未出现的数据，神经元模型也具有较高的预测精度。

表7 拟合函数预测效果对比以此类推可以得到剩余三阶模态频率的预测模型，依据模态相关性理论，建立有限元模型修正的目标函数[13-14l。

minZz 喜( )s.t. 390≤Xl≤440120≤x2≤135185≤ ≤205 (16)式中 )--结构参数与第f阶模态频率关系式- - 第f阶试验模态频率X1--箱体长，单位mnl耽--箱体宽，单位mnlx3--箱体高，单位n31Tl遗传算法模拟生物的进化过程，具有极强的全局寻优能力，因此使用遗传算法计算式(16)得到最优解。修正齿轮箱有限元模型并计算模态，结果见表 8∩见修正后的箱体计算模态频率与试验模态频率相对误差减小，说明修正后的模型更加接近实际情况。

表 8 模态修正前后对比4 结论(1)灰色理论调整矢量神经元权重的方法可以利用较少数据建立高精度预测模型，结构简单计算方便，不需要对数据做归-化、去噪等繁琐的预处理，符合工程需要。

(2)对模态频率进行了拟合计算，均取得良好的拟合效果，说明该方法具有较强的通用性，也可将本文提出的拟合算法应用于其他需要进行数据拟合的问题中。

(3)通过齿轮箱箱体的有限元模型修正实例分析，表明了该模型不仅对已有的数据有 良好拟合效果，还对未知数据具有较精确的预测能力，满足计算需求。