基于变密度法的周期性拓扑优化

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Periodic Topology Optimization Using Variable Density M ethodJIAO Hongyu - ZHOU Qicai LIWenjun LIYing(1.School of Mechanical Engineering，Tongji University，Shanghai 20 1 804；2.Colege ofMechanical Engineering，Changshu Institute ofTechnology，Suzhou 215500)Abstract：The design domain of lath-shaped structure has a large length-width ratio，SO it is difficult to obtain a solution or a clearand periodic topology configuration using the conventional algorithm.Th e mathematical model for periodic topology optimization isbuilt；in which mean compliance is taken as objective function and relative densities of elements are taken as design variables.Amethod for periodic topology optimization is presented using variable density method solid isotropic microstructures withpenalization(SIMP).An additional constraint condition iS taken part in the mathematical model to ensure a topological structurewhich possesses periodicity.The iterative formula of virtual sub-domain design variables is deduced taking advantage of optimalitycriteria method an d Lagrange multiplier is calculated using volume constraint.A filtering function is imported in order to solvecheckerboard and mesh-independent.Results show that periodic holes are appeared in the process of optimization.The numbers ofholes do not change as the iterative num ber increasing，which shows that the proposed method has stronger robustness.Periodictopology configuration which has a good consistency is achieved when the num ber of sub-domain is diferent。

Key words：Periodicity Topology optimization Variable density method Solid isotropic microstructures with penalization0 前言结构拓扑优化作为-种有效的设计工具可以获得比传统的形状、尺寸优化更轻的结构，在工程结构轻量化设计中具有广阔的应用前景。

国家自然科学基金(5127506o)和 十二五”国家科技支撑计划(2011BAF11B02)资助项目。20120713收到初稿，20130312收到修改稿目前，结构拓扑优化是结构优化领域研究的难点和热点问题。围绕结构拓扑优化问题，国内外学者已开展了大量的研究。BENDSOE 等 提出了结构拓扑优化的均匀化方法，建立了基于均匀化方法和微结构概念的连续体结构拓扑优化问题的数学模型。变密度法是受均匀化方法的启发而发展的，它把拓扑优化 问题转化为材料 的最优分布 问题。

SIGMUND 等 对变密度法材料插值模型进行2013年 7月 焦洪宇等：基于变密度法的周期性拓扑优化 133了深入研究，从理论上研究了各种不同变密度法的材料插值模型。MARTINEZTM对固体各向同性微结构材料惩罚模型法(Solid isotropic microstructureswith penalization，SIMP)的理论收敛性进行了研究。

HUANG等[4-5]提出了双向结构渐进方法，并研究网格独立性及优化结果的收敛性等问题。隋允康等o利用高精度逼近的独立连续映射模型方法研究了多种约束下连续体结构的拓扑优化。陈祥等， 采用材料属性有理近似模型法(Rational approximation ofmaterial properties，RAMP)建立了基于变密度理论的优化模型，以导重法为求解算法，研究了平面矩形简支梁结构的拓扑优化。

板条状结构广泛应用于工程结构设计。如桥式起重机的主梁采用箱形结构，由上、下翼缘板和两侧的垂直腹板组成，翼缘板和腹板由板条状的钢板焊接而成。-般来讲，主梁的轻量化普遍采用尺寸优化，减重程度有限 J。然而，常规的拓扑优化虽然可以获得较好的拓扑，但往往由于结构过于复杂不利于加工制造。对于板条状结构的拓扑优化，国内外相关的文献较少。

为了实现板条状结构的拓扑优化，得到具有周期性的、易于加工的结构拓扑形式。本文以结构的最小柔度为目标函数，建立了基于变密度理论SIMP法的周期性拓扑优化数学模型。对常规拓扑优化难以求解 的板条状悬臂梁进行了周期性拓扑优化研究。

1 周期性拓扑优化问题描述为了获得具有周期性的结构拓扑形式，整个板条状结构的优化域划分成 m个子域，其中 m 为 x轴方向子域的数目，如图 1所示。札，为设计变量，i为子域编号，.，为子域内单元编号。通常情况下，子域的数 目由作者确定。常规拓扑优化问题可以看成周期性拓扑优化 m：1的-个特例。

图 1 优化域分成 m--3个子域2 变密度理论的SIMP法变密度理论的材料插值模型通过引入中间密度单元，就将离散型优化问题转换为连续型优化问题，而实际上中间密度单元是无法存在和制造的，因此又要尽量避免中间密度单元的产生，减少中间密度单元的数目，这时就需要对设计变量中出现的中间密度值进行惩罚。

目前最为流行的材料插值模型为 SIMP法[1O-l1]和 RAMP法[12-13。SIMP法用公式表达为E(xi) ( ) ( - ) (1)式中 E(xi)--插值以后的弹性模量- - 实体部分材料的弹性模量点lmi --孔洞部分材料的弹性模量嚣--单元相对密度，取值为 1表示有材料，为0表示无材料即孔洞- - 惩罚因子在本文中，SIMP法用公式表达为E(x，j)( ) (2)式中，蜘 为第 i个子域内第.，个单元的相对密度。

3 周期性拓扑优化的数学模型静力学方面的拓扑优化 问题-般可以按两种方式建立优化模型：-是在体积或质量约束下求最小柔度，即最大刚度。二是在刚度约束下求最小体积或质量。由于篇幅所限，本文主要讨论体积约束下的最小柔度问题。

单元相对密度为设计变量，结构的最小柔度为目标函数，基于变密度理论 SIMP法的周期性拓扑优化问题的数学模型可表达为find (Xl，1，X1，2，XI，3，，xO∈Ri1，2，，m ，1，2，，nmin ， ∑∑ ui ：i1 l∑∑( U。T kous.t kU ：Fm n 厂·Zo∑∑ ·i1 jlxki. 。- 0

本文采用优化准则法求解式(3)的拓扑优化问题，首先构造 Lagrange方程表示为LcA( -f· ) (kU-F)( Ii - ai2)24(xi - )∑ ( - ) (5)i1式中， ， ， ， ， 为 Lagrange乘子， 为标量，， ， ， 为矢量；口0， 为松弛因子。

当 全值 时，上述 Lagrange方程应满足Kuhn-Tucker必要条件如下： 3O(KU).- ：0oxi oxij oxij xtjVf·VoF KU( - )0 1，2，，m (6)( - )0 J1，2，，n.，>0>0Xmin≤xiJ≤针对设计变量的取值情况，式(6)可以改写为OL OC。

OVV：vF 露U>0>0 0 < <<0 xi ： n>0 xi (7)i1，2， ，m 1，2， ，nOL考虑到式(7)中-OX- 0的情况，即i.i苦 嚣 若 U --十 十 (8) oxtoxi oxt.j oxi.j -将CF UU kU代入式(8)中，得-0L： U -i.UT-Ok U UTk m t.j .cXt j oxi j ℃xt jaLv叫嚣 考j-o利用结构刚度矩阵的对称性，式(9)整理为3L： OUT(2kU ) u t，j U t，j U i，j( ) (10)由于 是任意的 ，因而选 -2U来消掉OU-T， 即使f，J-O UT(2露 )：0 (11)ox；； 、因此，式(10)可以表示为茜- 若 若-o (12) oxi j oxi.joxi.j 、J人工材料密度的模型中存在 ki， ( ， ) ko，： √Vf 代入式(12)中得- p( ， ) ， vf√0 (13)式(13)两边同时乘以 ，并整理得2plu，jki， ， ， vf√ (14)单元的应变能可通过式(15)计算2013年7月 焦洪宇等：基于变密度法的周期性拓扑优化 l35Ej j式(15)代入式(14)得2pEi j l j式(16)适用于优化域内的所有单元。

内的第 个单元求和得(15)(16)对各子域2p∑互， Zx，， √ (17)i1 i1构建-个虚拟子域，虚拟子域内单元数 目及单元分布与子域完全相同。各子域内各单元相对密度的平均值和应变能的平均值作为虚拟子域内单元的相对密度和应变能。则虚拟子域内第 个单元的应变能为Ejm∑ilJ (18)虚拟子域内第 个单元的相对密度为， (19)结构的设计域划分为若干个单元体积 完全相等的有限元网格，即Vi，Vo。

将式(18)、(19)代入式(17)得2pEj (20)由式(2O)可得虚拟子域内单元相对密度与应变能之间的关系，即求解过程如下。

Lagrange乘子和设计变量的取值应满足体积约束。假设当设计变量由第 k步 ，更新到第 七1步。时 ， 体 积 由 V 变 化 到 且 有Vh f·VoV。，V 在 领域内泰勒展开，并省去二阶及高阶项有Vkl - 羔 ( - )i1 jl～./. ∑vo(xl- ) (23)jl记 ( ) ≤ 为集合 A，( ) ≥ 为集合 B，Xmi <( ) k< 为集合 C。则式(23)可写为- ∑ ( 血- ) -A∑V0( -x)mZ ( k k- ) (24)B C将式(2 1)代入式(24)可得- - ，z∑ ( )-ABcC( )czs /求解式(25)，可得到 的值。

2p ej 1 (21) 6 周期性拓扑优化的过滤函数式(21)作为优化设计准则，考虑到式(21)及设计变量的上下限，得到基于优化准则法的迭代公式为 ( ) <( ) <( ) Xmm (22)( ) k≥式中，k为迭代数； 为阻尼系数，引入 的目的是为了确保数值计算的稳定性和收敛性。

式(22)作为虚拟子域内设计变量的迭代公式，更新后的设计变量作为各子域内单元的设计变量，即 .，xj，这样就可以保证在优化过程中额外的约束条件，即式(4)得到满足。

5 Lagrange乘子 的计算用式(22)对虚拟子域内设计变量的更新需要求解 ，而求解 需先求得 Lagrange乘子 ，具体拓扑优化容易出现数值计算不稳定，导致棋盘格、网格依赖性等问题。HUANG等Ll 提出了-种引入过滤函数来抑制棋盘格、网格依赖性的方法。

过滤函数建立-个以单元 a为中心，以rmin为半径的子域 。子域 内所有单元用来计算单元a过滤后的应变能f∑ 生l- (26)∑e-I式中 E --过滤后的应变能，--子域 内单元数目- - 权重系数曲 - 6 (27)式中， 为子域 内单元 b中心到单元 a中心的距离。

138 机 械 工 程 学 报 第 49卷第 13期Journal ofMechanical Strength，2012，34(4)-615-620。

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作者简介：焦洪宇(通信作者)，男，1981年出生，博士研究生。主要研究方向为工程机械轻量化关键技术。

E-maih cslgihy###163.corn周奇才，男，1962年出生，博士，教授，博士研究生导师。主要研究方向为机电-体化、城市建设机械智能控制。