金属材料表面静摩擦学特性的预测研究-理论模型

of metallic material surfaces.theoretical modelTIAN Hong-liang ，ZHAO Chun.hua ，FANG Zi-fan ，ZHU Da-lin ，CHEN Bao-fia ，LI Xiang(1.Colege of Mechanical and Material Engineering，China Three Gorges University，ichang 443002，China；2.Hubei Key Laboratory of Hydroelectric Machinery Design and Maintenance，China Three Gorges University，Yichang 443002，China)Abstract： The fractal geometric theory was modified.The improved fractal models for normal load，maximal staticfriction force and static friction coeficient were established using the improved fractal geometric theory.According to theintermediate variable of real contact area，the prediction model of static tribological performance of metalic material jointsurface was given.The calculation and analysis indicate that the static friction coefficient slight-concavely increases as thenormal load or material property parameter increases，while it slight-concavely decreases with the increasing of fractalroughness. When the fractal dimension iS smaler.the static friction coemcient increases as the fracta1 dimensionincreases：however，when the fractal dimension becomes larger，the static friction coeficient decreases as the fractaldimension increases.The maximum static friction force iS mostly linearly proportional to the norm al load on a commonlogarithm reference flame.The fractal geometric theory can be taken in use under the condition of small norm al load。

Key words： mechanical joint surface；static friction coeficient；fractal geometric theory；maximal staticfriction force机床乃至各类机械，为了满足各种功能、性能、加工要求和运输上的方便，-般都不是-个连续的整体，而是由各种零件按照-定的具体要求组合起来的。把机械结构中零件、组件、部件之间互相接触的表面称为机械结合面。摩擦学的研究对于国民经济具有重要意义，据估计，全世界大约有 1/2～1/3的能源以各种形式消耗在摩擦上。因此在机械结构中，研究和预测结基金 项 目： 国 家 自然 科 学 基 金 资 助 项 目 (51275273；51075234；51205230)；水电机械设备设计与维护湖北省重点实验室开放基金资助项 目(2012KJX05；2012KJX07)；三峡大学博士科研启动基金资助项目(KJ2012B013；KJ2012B014；KJ2012BO15)收稿 日期 ：2012-09-13 修改稿收到 日期：2013-01-15第-作者 田红亮 男，博士，副教授 ，1973年6月生合面静摩擦学特性是非常重要的。传统的库仑摩擦第- 定律 认为，摩擦力与法向载荷成正比，静摩擦系数与所施加的法向载荷无关，也不依赖于切向载荷，仅随接触材料的不同而变化。然而随着近代摩擦学的发展，发现库仑摩擦第-定律中摩擦力与法向载荷不成正比；静摩擦系数对于同种材料不变的结论不符合实际情况；静摩擦系数随着接触正压力的增加而增加等。

长期以来，人们-直在进行结合面静摩擦学特性的研究，Chang等 利用经典的 Greenwood.Wiliamson接触模型 ，考虑了粘着力(adhesion force)的影响，建立了金属粗糙表面间的静摩擦系数计算模型。尤晋闽等 综合考虑微凸体的完全弹性、弹-塑性及完全塑性等不同变形机制，推导了干摩擦结合面的静摩擦系第 12期 田红亮等：金属材料表面静摩擦学特性的预测研究 -理论模型 41数的统计计算模型，该模型顾及完全弹性区、弹-塑性I区的接触点承受切向载荷的能力，得到了随着法向载荷的增加静摩擦系数逐渐减小的结论，印证了传统摩擦学观点 J。盛选禹等 根据 Majumdar和 Bhushan在1991年提出的分形几何理论 J，对静摩擦系数进行预测。但文献[7]在求解峰顶曲率半径 尺时存在计算原理性缺陷，此外，文献[6]在算法上存在4个缺陷：①法向载荷、总摩擦力都应为有条件等式；② 沿用文献[7]的计算原理，导致了-系列公式错误；③ 所得出，随 西的增加而降低”的结论不合理；④ 静摩擦系数的仿真数据最大值为1 000，不符合实际工程粗糙表面静摩擦系数的分布范围0-1。

基于上述原因，本文对分形几何理论进行了改进(本文公式与文献[6-7]的不同之处，在第 1节中逐-指出)，对金属材料表面最大静摩擦力的来源机制作了探讨，建立了法向载荷、最大静摩擦力、静摩擦系数的改进分形模型。通过数字仿真，对静摩擦学特性进行预测，本文结论与-些传统摩擦学观点存在差异，分析了产生差异的原因。

1 基于改进分形理论的金属表面静摩擦模型1.1 分形几何理论的改进处处连续、统计学自相似性、点点不可微的Weier-strass-Mandelbrot函数为：x)：G川芝 (1)式中：G为分形粗糙度；D为分形维数； 为最低频率的初始项； 为谱密度的尺度参数； 为表面的采样长度坐标。

据式(1)的幅值可得单峰顶端的变形量为：： G 01加· 。 (2) D ] y式中：0为-个接触点的面积，且：/0 7- (3)根据赫兹接触理论可得峰顶曲率半径 为：R (4)值得说明的是式(4)不同于文献[6]的式(2)。

塑性变形开始时，微凸体对应的临界变形量 为：( ) 尺(0.5俩 ) (5)式中：KH/o" ， 为较软金属材料的硬度，0.53； 为较软金属材料的屈服强度； or /E 为材料特性。

式(2)除以式(5)得：妾 D -1 ～ (6) 6 - 0 - 式中：o 为划分弹塑性区域的临界面积，且：口 (0.5√1T )而G2 (7)值得强调的是式(7)不同于文献[7]的式(10)。

- 个接触点面积 口的大小分布函数为：n(0)0.5Dao. 口 。· 。 (8)式中：口 为最大的接触点面积。

实际接触面积为：A )d。 n (9)- 个微凸体承受垂直于结合面的法向弹性载荷为：P (6)÷E (10)将式(2)、式(4)代人式(10)得：P (0) GD～口 。 。 (11)3 q应当指出式(11)不同于文献[6]的式(3)。

- 个微凸体承受的法向塑性载荷为：P。(口)Ko- 0 (12)当口 >o 时，结合面法向总载荷为：P(0L> 。)J P (0)n(0)daJ P (0)n(口)dan J n 5 o 5on㈦ Ko- 。C 州 (13)0 3√叮T需要指出式(13)不同于文献[7]的式(16)。

将式(8)代人式(13)得：P(A，>A )- 二： E，bGD-I。o .s。(n s-。-。 1.5-D) l 3/竹(3-2D) 0 5D 1 0.5。，D≠1.5 1 吼 L 3I 。 sl 3Ko-ya75 0 ，D：1.5 ，IT 口 式中： D 。。 为实际临界接触面积。

由式(9)可得式(14)的无量纲形式为：A (14)3 3 2D G ( D · √盯( - )( 1.5-D]A ㈣( 口 m∞，。≠1.5 5n ，D 1.5式中：A ，A。为表观接触面积；G - G ； ac42 振 动 与 冲 击 2013年第 32卷 (0.5 )南 G 不同于文献 [6]； r： n 0Do c 。

需要指出式(15)不同于文献[6]的式(7)、式(9)、式(10)。

1.2 金属表面的静摩擦学模型接触体中存在联合法向与切向力，尚无文献报道应力惩接触面积的完整解。Hamilton假设 ：接触体在法向弹性载荷 P 作用下 ，由赫兹解获得的接触区域形状不受附加应用切向力 Q的影响；如果比率 Q/P<0.3，则屈服将首先发生在表面下，些微远离当 Q0时赫兹解相应的屈服点；马上当比率 Q/P >0.3以后，屈服点运动到表面，屈服发生在接触边界的边远边缘上。

现假设 Q/P >0.3，接触边界边远边缘的表面 3个主应力分别为：(1-2 )P 21Tr (等1)or2 0-16r2--1 2v 9 p ( - )尸。

最大切应力理论 为：(16)(17)(18)1- 3 (19)将式(16)和式(18)代人式(19)得：Q。 高 e (2u)随着切向力的增加，当结合面开始出现相对滑动时，完全弹性变形区的微凸体最终将达到屈服，此时微凸体所承受的切向总载荷等于摩擦力的临界值 -最大静摩擦力，故最大静摩擦力为：F(口 >。 )J： Q (。)d口 ·n(。，d。拿 三 ： P c口) c口)d口(21，将式(8)和式(11)代入式(21)得：F(A，>A )： -- 拿 (。 -。 O.5D。 1-。·s。) 两 L 0～ 0c J肌 GD-1。o .如 .3 ，tr (6-3v)(3-2D)- 。 -( - - 加)， D≠ 1.5 (22aL a /1 ) · L： O'y(。 -。0 .75 0：ac 2s) ； L 0E n ， 。 5箭 妥- 明是瓦 22 J小 IJ亍又 献 l6j嗣 (1 J o由式(9)可得式(22)的无量纲形式为：F (AT> [A 。( Ⅱ 。· 。

6 3v 3 2D G ( D-./ tr) 如· 3订 ( - )( - ) /[( ～ ]，D≠1.5 (23)f [ - 7 (3口 0.25]l ·n ，。 5需要-提的是式(23)不同于文献[6]的式(20)、式(21)。

， [ A，0.5D( n ) 。 ( 。[( ) ～ 1.5-D]( 。[( )1.5-D 加 。( 。 ) 。 D≠1·5 (24)0.75 2 ] (等-)0.75 n n 根据式(15)、式(23)、式(24)，结合面无量纲法向总载荷P 、结合面无量纲最大静摩擦力 F 、结合面静摩擦系数厂都是接触率A (图1)的显函数。因此，通过中问自变量4 ，可建立 P 、F 、厂中任意两者之间的隐函数。综上所述，式(15)、式(23)、式(24)是金属材料结合面静摩擦学特性的预测模型。

第 12期 田红亮等：金属材料表面静摩擦学特性的预测研究-理论模型 43(a)沿 ， 轴各有256结点的表面(高度按黑-蓝-浅红增加)(b) lo%的黑色接触区域图1 某两工程粗糙表面的实际接触情况Fig.1 Real contact conditionof two engineering rough surfaces2 静摩擦学特性的预测与讨论当K1，西：0.01， 0.3，G 10 。时，分形维数对静摩擦学特性的影响如图2所示。由图2(a)可得璺羹七j(暴分形维数D(a)最小有效分形维数的确定惑0。

当K1， 0.01， 0.3，D1.5时，分形粗糙度对静摩擦学特性的影响如图3所示。由图3(a)可得到最大有效无量纲分形粗糙度为 1.43×10。。

当K1，G 10 。， 0.3，D1.5时，材料特性对静摩擦学特性的影响如图4所示。由图4(a)可得到最小有效材料特性为2.641×10～。

由仿真计算结果可见：(1)由图2(b)、图3(b)、图4(b)可知，静摩擦系数随着无量纲法向总载荷的增大而微凹弧式增大，这与文献[2，4]中结论(静摩擦系数随着无量纲法向总载荷的增大而微凹弧式减小)正好相反。这是因为：①分形几何理论忽略了接触微 凸体之 问的相互作用[12]、由于弹塑性转变引起的加工硬化，接触点数目和各接触点尺寸将随着法向载荷而增加，最初是接触点尺寸增加，随后法向载荷增加主要引起接触点数 目增加，更多弹性变形的微凸体能够继续承受切向载荷，随着法向载荷的微小增大，最大静摩擦力却有大幅度的增大，所以静摩擦系数变大，分形几何理论适用于小载荷。② 以文献[2，4]为代表的传统摩擦学结论认为，由于法 向载荷 的增大所引起基体的变形量的增加 ，只使实际接触面积稍微增大，所以随着法向载荷的大幅度的增大，最大静摩擦力只有轻微的增大，这就导致静摩擦系数急速下降，传统摩擦学结论适用于大载荷。

0。8O无量纲法向总载荷(c)法向总载荷对最大静摩擦力的影响图2 分形维数对静摩擦学特性的影响Fig.2 Efect of fractal dimension to static tribological performances(2)根据图2(b)，在 1.3≤D 1.7范围内，静摩擦系数随着分形维数的增大而增大；在 1.7 sD 1.9范围内，静摩擦系数随着分形维数的增大而下降，所以分形维数存在-个最佳值，该值使静摩擦系数达到最大值。

(3)根据图3(b)，静摩擦系数随着无量纲分形粗糙度的增大而微凹弧式减校(4)根据图4(b)，静摩擦系数.厂随 的sDI1而微凹弧式增加，这与文献[6]中结论(.厂随 的增加而降低)正好相反。

(5)传统的库仑摩擦第-定律认为，静摩擦系数与法向载荷大小无关，法向载荷越大，最大静摩擦力也就越大。从图2(c)、图 3(c)、图4(c)看出，在双常用对数坐标系下 ，最大静摩擦力与法向载荷大多呈现出线性正比的关系，支持了传统结论。但当分形维数较小(图2(c))，或无量纲分形粗糙度较大(图 3(c))，或材料特性较小(图4(c))时，最大静摩擦力与法向载荷呈凸弧增长趋势。

振 动 与 冲 击 2013年第32卷无量纲分形粗糙度G(a)最小有效分形维数的确定瓤蜒斟艋无量纲法向总载荷(b)法向总载荷对静摩擦系数的影图3 分形粗糙度对静摩擦学特性的影Fig.3 Efect of fractal roughness to static tribological C材料特性(a)最小有效材料特性的确定3 结 论无量纲法向总载荷(b)法向总载荷对静摩擦系数的影响无量纲法向总载荷向总载荷对最大静摩擦力的影响无量纲法向总载荷P。

(C)法向总载荷对最大静摩擦力的影响图4 材料特性对静摩擦学特性的影响Fig.4 Efect of material property to static tribological characterizations通过本文的研究，可得到如下结论：(1)分形几何理论适用于小载荷，传统摩擦学结论适用于大载荷。

(2)结合面间的静摩擦系数并不像传统的库仑摩擦第-定律描述那样为定值，它是由接触材料性能参数、表面形貌参数 D、G以及法向载荷共同决定的。

(3)静摩擦系数随着法向载荷的增大而微凹弧式增大，也随着材料特性的增加而增加，但随着分形粗糙度的增加而减校(4)当分形维数较小时，静摩擦系数随着分形维数的增加而增加；但当分形维数较大时，静摩擦系数随着分形维数的增加而减校(5)在双常用对数坐标系下，最大静摩擦力与法向载荷大多呈现出线性正比的关系。

(6)金属材料具有屈服极限，因此本文适用于金属材料，而不适用于弹性及黏弹性材料。