Y型果树动力学模型假设与分析

林果产业是现代林业的重要组成部分，2010年全国林果产量达 11 773万 t，其中水果 11 030万 t，干果743万 t，枣、银杏和核桃在干果中占有很大比例。

采收作业是林果生产的重要环节，干果类果树采用机械化振动采收，采收效率高，果实损伤率低 j。林果类振动采收机械的工作参数对采收效果起决定性作用，而果树动态特性的研究对振动工作参数的选择有重要意义，果树动态特性可通过动力学建模分析和实验两种手段获得 J。针对果树动力学建模分析，国内外开展了相关的研究。Saunderson等 提出了分析树木在高风速下动力性能的数学模型，该模型将树干简化成具有-定刚度和分布质量的垂直锥形悬臂柱，而树冠被简化为连接在悬臂柱顶部且密度与树干不同的圆柱体，同时对模型建立了微分方程，并用数值方法进行求解。王琳5 根据云杉的形态特征 ，将云杉简化成-端固定 、-端 自由的横截面随高度成幂指数变化的均质弹性杆，将树干生长段和树冠的总质量简化成-个质量加于自由端，得到了云杉自由振动的响应形式。Guitard等 提出的计算模型则将红橡木视为具有-定刚度的圆截面悬臂梁固定在地面上，并沿高收稿日期 ：2012-04-13基金项 目：林业公益性行业科研专项项 目(201004052)；江苏省研究生培养创新工程”项 目(CXLX11o519)作者简介：翁凌云(1988-)，女，江苏金坛人，硕士研究生，(E-mail)zjx0634222###126.tom。

通讯作者：许林云(1965-)，女，江苏海安人，教授，博士生导师，博士，(E-mail)lyxu###njfu.corn.cn。

曰 度方向等分，而树枝处理为沿高度方向上的分布质量，但并未考虑树枝 自身的刚度；通过与实际实验对比，得到了红橡木的振动频率及在风力作用下的阻尼参数。

自2O世纪8O年代以来，随着矮化密植的发展，对树形的要求越来越高。在果树生长过程中，对果树进行整形修剪，既提高产量，又利于采收机械化。根据树体形状及树体结构，果树的树形可分为有中心干树形、无中心干形和平面形等。干果类果树最为典型的树形是变侧主干形(属于有中心干树形) ，其树形特征与字母 Y相似，故简称 Y型果树。由于果树的种类繁多，且树形各异，因此很难建立统-模型对果树进行假设。本文主要针对 Y型果树 ，将其简化为-端固定、-端固有质量团、直径随高度线性变化的圆截面楔形粱，并对其受 自由振动及受迫振动建立动力学模型，进行分析求解。

1 Y型果树自由振动模型分析1.1 模型假设根据 Y型果树的生长特征，在参考其外部形态的前提下进行模型假设，得到近似模型。在建立 Y型果树 自由振动动力学模型的过程中，为了便于分析，将Y型果树进行接近实际情况的条件假设。

Y型果树的生长情形及形态特征适用于欧拉-伯努利粱模型，即梁的长度大于截面高度 5倍以上 ，将树干简化为直径随高度线性变化的楔形粱，并将树冠简化为集中质量团。楔形粱底部固定，集中质量团位于楔形粱自由端上，如图1所示。

201S年 4月 农 机 化 研 究 第 4期F do图 1 Y型果树 目由振动模型假设Fig.1 Model assumption of Y-trellis treesfree vibration对上述建立的模型进行参数设定：Y型果树树干长为 ；根部直径为d。；树干直径随高度成线性变化，即任意高度 处的直径d d。[1( -1)詈]，其中 dL/d。；假设树干均质，密度为P；树冠为楔形粱自由端质量团，质量为 M。

根据上述的假设参数，可以得到Y型果树自由振动的模型为-端固定、自由端固有质量团的楔形粱，所以其自由振动的微分方程 为嘉 ]卅㈤ 。㈩式中 ， -任意高度 处横截面对轴中心的惯性矩， 'T [1( -1)詈 ，0，，0 d。 ；A ，-任意高度 处的横截面面积，A ， ：弘 [-c 詈 手d。；E-弹性模量；四( ，t)-横向位移。

刚度。在上述假设条件的限制下，当c -。c或者 c -0时，分别代表粱端部为固定端或者 自由端，即( ：0， )0 (3)譬( ：L，f)0 (4)在 0处，根部挠度为0，即订( 0，t)0 (5)在 L处，质量团受到的惯性力等于楔形粱 L处的剪力，即L 6，在确定以上2个初始条件及 4个边界条件后，即可求得微分方程的解析解。

1.2 Y型果树自由振动解对于 Y型果树的自由振动，可以利用分离变量法进行求解，即令可 ( ，t) ( ) ( ) (7)式中 ( )-Y型果树振动的振型函数；e -固有频率方程；- Y型果树横向自由振动的固有圆频率。

将式(7)带人式(1)得嚣 ㈨ 。㈦为了便于方程的求解，引入无因次参数 ， 孚，代入上式得参 为了得到 Y型果树的近似解，故对 ， p 和 /4 p进行变形 ，将其格式写成， p ·Io (1o)A p Ao (11)其中，z[1( -1) ～式(10)和式(11)4 喜 ， 初始条件与个边界条件1 ，则初始条件为：通常把 L J与 p可(o2Aoom ( )，其中田( ， 0)：可。(z)， ( ， O) 0( )。边，。

界条件为楔形梁端部弯矩与转角成线性比例，即 -般情况下， <1，于是就可以把 作为小E1 ：(-1) c 孥 ( 0，1) (2) 参数，对方 (12)进行渐近求解，得当i：0，1d： 0 L；C赫 扭转 吨 ， 时，分别对应 ， 表示 d 十 - 十 -2013年 4月 农 机 化 研 究 第 4期 [ 1 (14) -l- l Z W、，J I I-tJ(-)Js方程(14)是以√[ ]4 为宗量的二阶贝塞尔方程，根据贝塞尔函数求解四阶微分方程，其通解形式设为W(1/z)[AJ2( ) y2( )ci2( )DK2( )] (15)式中， ， ，c，D为积分常数，.，，y，，， 为4个不同的二阶贝塞尔函数，g2kL/( -1)。

将 1( -1) 代入式(2)，经过代数转换，得警 ( 1( c ( ) (16)当 0或 L时，对应z1或 ，分别代人式(15)和式(15)中，得到其特征方程的矩阵形式为J2(q)Q112( )(g)y2( )，2(g)12( )(g)( )蜀QuqJ4(q) 也 (g)qY4(q)- (q)QBg，4(g) 以(g) (q) (g) 0 (17)兄1qSZ(qS)-4eldL( )qY4(qS) ( ) ，4( )-4eldi( ) K( )- 趣 ( )式中，P1C1Z/EXo(O/-1)， GI/EI，( -1)o根据上述代数变换，对应的边界条件为( ) 0 (18a)l ：0 (18b) J： 。

。 (18c)E扎p ‰ -o(18d)对式(18d)进行代数变换得)4/3 ×( 1)/( 1)2 ) (19)其中，6M/m，m为楔形粱单位长度质量。

将通解方程(15)代 入 i术 界条件得(q)Q24( )Rl4Q2161J2(q)Js(g)Q2 1 (g)y5(g)Q2361，2(g)Is

因其系数行列式为0，可以得到关于固有频率参数k的方程♀方程组即可以得到k的各阶值，进而得到Y型树自由振动的各阶固有频率～不同的k值重新代回式(15)，则可以得到对应不同阶的振型函数，进而得到 自由振动的各阶响应。

2 Y型果树受迫振动模型分析2.1 模型假设在Y型果树自由振动的动力学模型的基础上，建立Y型果树受迫振动的动力学模型。在激振力作用下，Y型果树与激振装置构成的振动系统进行动力学模型简化，如图2所示。

x《 )T l x0I1.激振装置 2.夹持机构 3.果 树图2 Y型果树受迫振动模型假设Fig.2 Model assumption 0f Y-trellis treesforced vibration干果类果树采用机械化采收，机械化采收是利用振动方式使果实振摇掉落。采收机械的激振装置包括长冲程曲柄连杆式和偏心块式L1 。本文主要采用对称偏心块式激振装置，-般包括激振器和夹持机构 。激振时，夹持机构与果树树干或树枝连接，为减轻对树体的损伤，夹持机构上必须有橡胶、尼龙等保护垫 ，激振器与夹持机构刚性联接，激振器可随果树-起自由振动，偏心块旋转轴与树干垂直；对称偏心、 幻Q R， l 2013年 4月 农 机 化 研 究 第 4期根据振型函数的正交性 J dx0(i≠ )，用乘以式(31)，再从0积分到 ，得-[-O.)n2赤㈣ (32)其中，Q ( )称相对于 F( . )的广义力，其表达式为Q ( )J F(x， ) ( )dx (33)其中，F( ， )F1 Fz ，常数b J ( )d 。

本质上，式(32)可以视为无阻尼单 自由度系统的运动方程，运用杜哈美积分，式(32)的解可以表示为(t)A COS(t tB sinto t1 J。Q ( )sin09n( dr (34)其中，式(34)右边的第 1项和第 2项表示瞬态或自由振动(由初始条件引起)，第3项表示稳态振动(由力函数引起)。

将式(28)代人边界条件方程，经过代数转换，边界1O- /3 cosflLsi /3co01- sin/3L- c。 若存在非 0解，当且仅当系统的参数矩阵等于0时，令 西/3L，并简化得(1c。s，cos (c。s n -c。s in咖)-0(38)求得咖代入公式∞2 √ ≥中，求得系统的各阶固有频率，将不同的/3值重新代回式(27)，则可以得到对应不同阶的振型函数，进而得到 Y型果树受迫振动下的各阶响应。

3 结论1)在给定条件假设的基础上，将 Y型果树简化为- 端固定、-端固有质量团且果树直径随高度成线性变化的圆截面楔形粱，建立了Y型果树自由振动的微分方程 ，给出了求解微分方程的方法，得到了 Y型果树自由振动下振型函数的解析解表达式及 自由振动的各阶响应。

2)在上述基础上，对 Y型果树做进-步简化，简化为-端固定、-端固有质量团的等截面梁，建立了条件为(0)0dW- (0)：0d2D ：0砜 ( ：- (35)将边界条件代入式(27)，得Cl C30卢(C2C4)0- lCcoCt- sin/3LC2 coshLC3fsinlSLC40( si )c (- c。 /3si ) ( sin s C3( c。s 堆i c40(36)以上方程代表了关于 C ，C ，C。，C4的4个齐次线性方程组，其参数矩阵为1O卢。cosh/3Lsin 3cos01卢 sine。s /3sin0 (37)Y型果树受迫振动的微分方程，并给出求解微分方程的方法，得到了 Y型果树受迫振动下振型函数的解析解表达式及受迫振动的各阶响应。

3)在树干的密度、高度、根部直径及直径变化率- 定的情况下，即对于-颗确定的果树，树冠的质量成为影响系统振动频率的-个主要因素。楔形粱自由端质量团质量 的变化 ，将影响到果树的振动固有频率，即果树树叶生长、树叶脱落及果实生长等使发生变化而影响果树振动的固有频率。