梯度法收敛准则在机械优化设计中的应用分析

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机械优化设计方法是 20世纪60年代发展起来的-门新兴学科，它是将最优化原理和计算技术应用于设计领域，为工程设计提供-种重要的科学设计方法。优化设计中无约束优化方法是最优化设计方法中的典型方法 ，而其中的梯度法为基本方法，许多更有效和实用的算法也常常是在这个基本算法的基础上建立起来的。除算法外，收敛准 则也是机械优化设计中的重要组成部分，其选用将直接影响优化设计的精度和结果，文献 l2 均说明了收敛准则对优化设计结果的影响。目前梯度法收敛准则的选用还具有多样性，文献 采用相邻设计点的距离充分小的准则作为迭代收敛准则，而文献 采用 目标函数梯度足够小的准则作为迭代收敛准则，本文针对梯度法收敛准则的选用进行探讨。

1 优化方法常用的收敛准则在优化设计中设计变量、目标函数和约束条件是优化设计数学模型的基本组成部分，通过选择适当的优化方法对数学模型求解即可得到最优解。在求解过程中要考虑优化问题的收敛性和迭代过程的终止条件，文献口 给出常用的收敛准则有以下几种 ：①相邻设计点的移动距离已达到充分小(以下简称为点距准则)时，即：I - lI≤ (1)时，停止计算。

②相邻两迭代点函数值的下降量已达到充分小时，即：lI )-l厂( )l 占 (2)时，停止计算。

③当目标函数具有-阶导数，迭代点的梯度已经达到足够小(以下简称为梯度准则)时：l vf(x )1l ， (3)收稿日期：2012-04-9作者简介：苗淑静(1973～)女，内蒙古赤峰人，讲师 ，主要从事机械系统动力学分析与控制第 l期 苗淑静等 梯度法收敛准则在机械优化设计中的应用分析 57时，停止计算。其中上述准则中的s ， ，占，，为事先给定的数值，用于控制算法收敛的计算精度。

从以上的收敛准则来看，在优化设计方法中到底选用哪种收敛准则通常根据经验选择，为此对梯度法中分别采用点距准则和梯度准则进行比较。

2 梯度法中点距准则和梯度准则间关系由数学基瓷知，函数的梯度方向是函数值增加最陕的方向，而负梯度方向必然是函数值下降最快的方向，梯度法正是利用从某点出发沿着函数的负梯度方向进行-维搜索的方法。其迭代公式为： XK-Ol Vf(X ) (4)其中Ol 为第 步搜索的最优步长，Vf(XK)为第 步搜索目标函数的梯度～(4)式中 移到等式左侧，即有：- X -Ot Vf(X ) (5)并将式(5)取模有 ：Il - IlIl- vf(x )I1 (6)式(6)中Ot 为第 步搜索的最优步长通常为实数 ，则有：l - lI vf(x )l (7)式(7)中左侧为相邻两设计点的距离(即点距准则)，而右侧为最优步长与第 步搜索目标函数梯度(梯度准则)的乘积。由式(7)可知，若搜索步长l Ol l1，则在梯度法中采用点距准则和梯度准则没有任何区别。通常情况下搜索步长l Ot I≠1，则有：l - l≠ l Vf(X )l (8)即梯度法中使用点距准则和梯度准则作为迭代收敛(终止)准则是有区别的，不能相互取代。

3 实例计算现分别以点距准则和梯度准则对梯度法进行实例计算，取常用的目标函数(a)、(b)、(C)、(d)为例进行计算，/ X)X 5 ； (a) /'(X)1.5x 0.5x；- -2 1 (6)/ X) 2 -4 1-2 1 2(c) /.(X) -2 1 24x； 1-3x2 (d)由于梯度法对初始点的选择无特殊要求，除(6)外其余目标函数的初始点均为 [1 1 r，而(b)目标函数的初始点为xo[0 0r，通过编制MATLAB程序对梯度法分别使用点距准则和梯度准则进行比较，以及对同-目标函数在不同精度下分别进行优化所得结果如表 1、2所示。其中表 1为目标函数(a)和(b)的比较，表 2为目标函数(C)和(d)的比较。各表中误差定义为同-精度下的最优点与理想最优点的距离。

表 1中最优点(a)和最优点(b)”分别为目标函数(a)和(b)在不同精度下采用梯度法所得的最优解。其中目标函数(口)和(b)的理想最优点分别为 [0.000 0.000r和Xb ：[1.000 1.000]。由表 1可知，对于目标函数(a)和(6)无论采用点距准则还是梯度准则只要精度相同得到的最优解均相同，而且随着精度的提高误差越来越小，对于这种情况两种收敛准则可以任意选用，只要给出控制精度即可。对 目标函数(b)化简可得 )0.5( - ) ( 。-1) -1，这两个 目标函数的共同特点为等值线均由-族椭圆构成。通过对等值线均由椭圆构成的多个 目标函数进行计算发现都具有与表 1相同的性质，由于篇幅所限，文中不对试验目标函数进行依次列写。

58 内蒙古工业大学学报表 1 目标函数(a/b)点距准则和梯度准则比较Table compare distance criteria between two points with gradiont criteria for objction function(a/b)表 2 目标函数(c/d)点距准则和梯度准则比较Table 2 Compore distemce criteria between two points with gradiont criteria for objection function(c/d)表 2中最优点(c)”和最优点(d)”分别为目标函数(C)和(d)在不同精度下采用梯度法得到的最优解，其中目标函数 (c)和(d)为非椭圆函数，理想最优点分别为 [4.000 2.000 和 Xd [-0.1667 0.3333 。由表 2可知，当精度较低( <0.001)时，两种收敛准则所得的最优解均有较大的差异。当精度较高( 0.00001)时，两准则所得的最优解均无区别。而且随着精度提高，两种收敛准则所得的最优解均接近理想最优解 ，符合随着精度的提高系统误差逐渐减小这-规律。通常机械系统的精度 占<0.001，在此种情况下，使用梯度准则比点距准则所得的最优解更接近理想最优解。

由以上分析可知，对于等值线由椭圆构成的目标函数可以使用两种收敛准则中的任意-种，而对于非椭圆目标函数，使用梯度准则比点距准则所得的优化结果精度要高。但从总体上来看，在梯度法中相同精度下，使用梯度准则比点距准则作为收敛条件具有较高的精度，从而避免经验选取终止条件的不足。

4 结 论本文针对梯度法的收敛条件应该选用点距准则还是梯度准则作为终止条件进行关系式的推导得到两种终止条件不能相互取代。通过实例计算比较发现，总体来说在优化设计梯度法中采用梯度准则比点距准则优化结果精度更高。