考虑闭环稳定性的曲柄滑块机构集成设计

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Integrated design method considering closed-loop stabilityfor the slider-crank mechanismL Sulan(Ministry of Education Key Lab.of Electronic Equipment StructureXidian Univ.，Xian 71007l，China)Abstract： The slider crank mechanism is a transmission mechanism extensively used in engineeringpractice.It is necessary to use the control system for getting a satisfactory trajectory.So the mechanismdesign is composed of two parts，structural design and control design.These two parts impact each otherand are tightly coupled，and the separate design can not obtain the best performance.Hence integrateddesign is imperative.By making use of the Lyapunov function，an integrated design considering stability isproposed in this paper， seeing that stability is the most basic requirements of a closed-loop system。

Simulation results show that this method can effectively carry out the mechanism design，reduce the bodyweight，optimize mechanism performance and save the design cost simultaneously。

Key Words： slider-crank mechanism ；structure system ；control system ；stability；integrated design曲柄滑块机构作为-种典型机构在工程实际中具有广泛的应用.为了使其运动满足-定的要求，必须对其进行控制 ].而传统的机构设计都是串行的分离设计，即先进行机构的结构设计，然后再针对该固定的机构进行最优控制设计.这样可 以达到每个子系统最优 ，但是 由于结构和控制相互影响，紧密耦合 ，这样的子系统最优并不能保证全局系统的最优，因此有必要进行机构结构与控制系统的集成设计 。j。

机构设计的 目的旨在设计满足要求的机械结构 ，在保证刚度要求的情况下达到总质量或 占用空 间最小并且其运动能满足稳 、快 、准 ，即在能保证稳定的前提下，实现快速 、准确地跟踪 目标.稳定性是最基赐核心的要求 ，如果保证不了稳定性 ，那么更谈不上其他的要求 .在文献E2]中虽然也考虑了稳定性 问题 ，但是收稿 日期 ：20l1-12-02 网络 出版 时间：2012 11 16基金项目：国家自然科学基金重点资助项目(51035006)；中央高校基本科研业务费重点实验室专项资助项 目(72103389)；中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(K50510O40008)作者简介：李素兰(1982-)，女，讲师，西安电子科技大学博士研究生，E～mail：sli###xidian.edu.cn。

网络出版地址 ：http：///kcms/detail/61.1076.TN.20121116.0924.201302.226 025.html44 西安电子科技大学学报(自然科学版) 第4O卷其只适用于被控对象传递函数存在的情况，具有-定的局限性。

1 曲柄滑块机构的动力学建模曲柄滑块机构的机械结构如 图 1所示.建立全局坐标系 XOY，其中曲柄 OA长度和质量分别为z 和 ，连杆AB长度和质量分别为z和m ；曲柄和连杆横截面积均为圆环状，密度均为p；中径与壁厚分别为r ，硼 及r：，7.23 ；P( ，0)，Q( 。，0)分别为曲柄和连杆的质心； 和图 1 曲柄滑块机构分别 为质 心在 曲柄 和连杆 的局 邵坐标 系 中 的坐 标 ；滑块 B的质 量为 。；r为广义 力 (矩 )。

选取曲柄的转角 0 作为广义坐标 ，利用拉格朗 日方程建立该机构的动力学方程 ：d 3K 3K. 3P-dt - 十 式中，K代表动能，P代表势能，r代表广义力(矩).它们的表示式为K- 1-， 台： 1 m 2Q十 1 J。 1。

I A(0 )· ： ，P - ( 1 2)glsin ，将其代入式(1)，可得 A( ) 1 · G( )-r，其中，A( )代表惯性项系数 ， 1 代表哥氏离心力项系数，G( )代表重力项。

2 考虑稳定性的机构集成设计(2)在现代工业生产中，80 以上的控制器都是 PID类控制器.比例控制的特点是反应快，无滞后，只要有偏差立即就有-个相应的控制作用 ，可以及时克服扰动；积分控制主要用于消除静差；微分控制可以在偏差信号变得太大之前，引入-个早期修正信号，改善控制品质.笔者选取 PD控制器对机构进行控制，即 r(f)-是。 是 ( )，P为 t时刻的偏差.对于轨迹跟踪的话 ，则 e- ( )- d( )， d为期望值。

2.1 闭环系统的稳定性稳定性问题是 自动控制系统分析和设计的-个基本问题 ，它是系统能够长时间正常工作的前提.对于 -个控制系统而言，只有在这个前提得到保证以后，讨论进-步的性能指标(例如控制的精度、响应的快速性)以及对于各种干扰的鲁棒性才有意义。

曲柄滑块机构的动力学模型很显然是典型的非线性系统，而非线性系统由于不满足叠加原理，动态特性比较复杂.由俄国科学家李雅普诺夫提出的稳定判据现在仍然是非线性系统设计与稳定性分析的重要理论工具.构造如下李雅普诺夫函数：V - 百1 A(0 ) 。十 百1忌 。(f)4-A(O。) P ， (3)其中，忌。，忌 为控制器的比例增益及微分增益.若 忌 和 k 满足广 L2 ]k >max 4 )l ， j， (4则对应闭环系统稳定，即李雅普诺夫函数正定，且其关于时间的导数负定，其中a ，a ，a。，b ，C 的含义及证明如下。

选取 [P( ) ( )] ，A(0 )对应系统的惯性项，满足 0< a ≤ A(0 )≤ 。 ，(21X 1。 gz 忌 zaI≤ V≤ 1日 8 忌 。n - Q，http：//第 2期 李素 兰：考虑 闭环稳定性的 曲柄滑块机 构集成设 计 45Q -号 ] ，.Qz-号 ] 。

I9(w--A(O )舀 1 ；G( )，并假设l丢 I≤ I c(o gl dl< ≤- - 忌 。-丢 ( )；。-吹 P( )-吹 (f)Pwe( 丢e ㈤ ，当志 >max (n。c )1 ， 二 j满足时，则

综上，当 >max[ ·'4 。 )1/2， 二 J时，闭环系统稳定·2.2 考虑稳定性的集成设计根据曲柄滑块机构的结构设计要求和控制设计要求，可以建立如下集成优化设计模型：求解 口(r1，r ， 1， 2，k。，kd) ，rain - -a∑ 卢I 。e2( )dt ， (5)S.t. f ≥ 厂 ， (6)≤ 盯L，， - 1， ， 1； J- 1， ， ， (7)≤ ， i- 1， ，n2； J-1， ， ， (8)V> 0 ， (9)、7< 0 ， (10)t ≤ u ， (11)≤ ， (12)式中，r1， 与 叫 ，W2分别为曲柄和连杆杆件的中径及壁厚.由于质量 m和累计误差E的量纲及数量级不同 ，需要进行归-化处理.a， 为加权因子，a∈[0，1]，卢∈[O，1]，a卢- 1；V 为第i个构件的体积，lD 为第 i个构件的材料密度；To为-个运动周期；e为跟踪误差； 为结构基频， 为第 1阶固有频率的最小容许值； 和分别为曲柄滑块机构的应力约束总数，n 为结构分析选取的工况数；% 与 分别为第J个工况下第P个单元应力的实际值与最大容许值； ， 分别为第J个工况下第 i个节点位移的实际值与最大容许值.式(9)$1(10)为系统的稳定性约束，式(4)的条件隐含在这两式中； 。为调节时间， 为超调量， 、 分别为对应的上限值.同时，还必须满足结构的动力微分方程及机构的动力学方程：m c ， - ， J- 1， ， ， (13)A( ) 1 G( )- 是 忌 ， (14)其中，m 、c 、 分别为结构在第J个工况下对应的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵， 、考 、 及f，分别为第J个工况下结构的加速度、速度、位移及载荷列阵。

由于目标函数和约束都是设计变量的复杂非线性函数，这里选取二次序列规划算法 (SequentialQuadratic Programming，SQP)来进行求解.该算法在每-个迭代步对 目标函数和约束分别进行二级、-级的泰勒近似 ，通过求 解这个 近似的二次 规划 问题 来得 到改进 的解 ，直到满 足最终 的收敛精 度.笔者采 用http：//46 西安电子科技大学学报(自然科学版) 第4O卷BFGS(Broydon-Fletcher-Goldfarb-Shanno)校正公式的迭代格式来修正其 Hessian矩阵。

3 仿真算例根据如上集成设计方法，利用Matlab和Anasys结构分析软件对某曲柄滑块机构进行集成设计，要求该机构能够实现位置跟踪.通过调整控制力矩和结构设计，使曲柄转角从 13。跟踪到 83。，取得良好的设计效果(见图 2).在寻优计算中，迭代终止收敛精度取0·000001，最大迭代次 图2 曲柄滑块机构集成优化前后对比数为 4O次.仿真时从不同的初始点出发，经过多次试验得到最优计算结果 ，如表 1所示。

表 1 曲柄滑块机构优化设计前后对 比参数 下界 上界 初始值 优化值rI/mr，/m/m2/mkp愚dt /S/(Y0)口 /MPaf， /HzE/(rad ·s)m/kgO.OO5 00.002 00.000 80.000 4O.OO1 0O.OO1 01OO.O15 O0.008 00.OO6 O0.003 01OO200.21O200观察表 1可 见，与初 始设 计相 tt，集 成设计 的累积 跟踪误 差 减小 了 5.34%(由 0.021 219 rad ·s到0.020085 rad2·s)，而质量也减d，T 28.73%(由0.269 549 kg到0.192 105 kg)，表明集成设计的总体性能更优。

4 总 结笔者的设计具有如下特点：(1)针对曲柄滑块机构，通过引入李雅普诺夫函数对其进行了结构和控制的集成设计，使得集成设计更为可靠，同时该方法也适用于其他典型机构；(2)具体构造的李雅普诺夫函数适用于 PD控制器，对于其他控制方法需要重新构造合适的李雅普诺夫函数，但此设计方法仍然适用；(3)针对机构进行结构和控制的集成设计是当今研究的-个热点问题，而对于集成设计更深层次的关系，比如结构子系统和控制子系统之间具体的耦合关系(包含结构设计变量和目标函数，控制设计变量和目标函数的关系等)，还需进行进-步的研究和探索，也是下-步的工作重点之-。