基于动力学响应的球头刀五轴铣削表面形貌仿真

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Dynamic-based Simulation for M achined Surface Topography in 5-axisBall-end M illingLIANG Xinguang YAO Zhenqiang ，(1.School of Mechanical Engineering，Shanghai Jiao Tong University，Shanghai 200240；2.State Key Laboratory of Mechanical System and Vibration，Shanghai Jiao Tong University，Shanghai 200240)Abstract：Focusing on the complexity of the relative motion between cuter and workpiece in five-axis milling，a 3D trochoidmechanism is adopted to describe the actual tooth trajectory of the bal-end cuting edge.A kind of two-bufer mechanism isproposed to calculate residual height.One is establied to determine each spatial bufer point which is discretizcd by a constantinterval on workpiece surface，the other is built in cuter centre to simulate system dynamic response for each time interva1.Thus，thenominal machined surface topography and system vibration trajectory Can be calculated respectively.According to the exact timewhen cuting edge passing by the discretized point of the residual surface，the corresponding instantaneous vibration response can beinterpolated and used to update the nominal residual height SO that the prediction model of surface topography can be establishedwith the consideration of mil!ing system dynamic response.Validation tests are carried out with the varying cuting depth，increasingspindle speed，constant lead angle and fixed feed rate.It indicates that the proposed method Can be used to predict surface topographyaccurately an d distinguish stable milling status from chater efectively。

Keywords：Bal-endcurer 5-axismiling Surfacetopography simulation Dynamical response0 前言球头刀数控五轴铣削加工在叶轮机械等重叠率较高的复杂曲面结构件的加工制造中得到了广泛的应用。由于能够显著影响零件表面微裂纹的产生与疲劳失效，如何准确可靠地表述不同切削参数、·国家重点基础研究发展计划资助项 目(973计划，2009CB724308)。

20121205收到初稿，20130205收到修改稿不同加工模式以及系统振动对已加工表面轮廓形貌的影响已成为工艺参数优化研究的主要问题。

对于球头刀五轴铣削表面形貌建模方法的研究可分为两类。-种是利用刀具在进给轨迹上所形成的包络面约束，对工件表面残留材料的最大高度进行建模，从而实现已加工表面轮廓的仿真。该方法在计算效率上具有显著的优势。cmOu 以由此获得的最大残留高度为指标提出了最大势能场的刀路轨迹规划方法；SENATORE等Lz 用该方法对曲172 机 械 工 程 学 报 第49卷第6期面加工中的刀具选择、刀轨间距规划问题进行了研究。GRAY 等p 则应用该方法对五轴铣削中刀具位姿对已加工表面轮廓的影响进行了评估。然而刀路轨迹包络面的等效方法只适用于刀轨间距远大于每齿进给量的铣削工况，无法描述相邻切削刃在回转过程中所形成的形貌细节特征。

另-种广泛应用的方法是 Z-map法，即将工件坐标进行离散，转换成x-y网格节点，并求取每个网格节点对应的z坐标，利用 y-z矢量来表述已加工表面。ZHU等 使用该方法，对名义状态下铣削后的自由曲面进行了更新，得到了自由曲面五轴球头铣削的表面轮廓。BOUZAKIS等p 以静态铣削为对象，采用平行参考面族的方法，建立了四轴球头铣削表面轮廓模型，并通过切屑形状、铣削力、表面粗糙度对模型进行了验证。OMAR 等L6 以平头铣刀端铣为对象，用 Z-map法构造了工件表面轮廓，研究了铣削系统在不同刀轴回转误差下对零件表面轮廓的影响。LIU等[7-8]利用将工件与刀具回转角度同时离散的方式，研究了刀具偏心与刀具磨损对球头铣削五轴加工表面轮廓形貌的影响。然而，由于工件与刀具离散规则对工件表面形貌精度的影响较为显著，为保证表面形貌的预测精度，对工件离散间距的细化不可避免，降低了Z-map法的计算效率，并且由于建模过程不包含时间信息，无法与铣削过程的动态响应进行关联，不适于进行动态轮廓误差的建模应用。GAO 等[9-10]提出了-种对回转时刻和切削刃位置进行迭代求解的方式，避免了建模精度对工件离散度细化的依赖，通过采认适的初始解，该方法可获得较好的求解效率，然而该方法并未提及如何描述铣削系统动态响应对已加工表面轮廓特征的影响规律。

在铣削过程中，刀具与工件系统产生的动力学响应问题受到了大量的关注，如阎兵等l 建立了考虑刀杆柔性的球头铣刀铣削振动模型，探讨了交变进给力对刀杆固有频率的影响；BUDAK 等[12-13]在考虑刀具.工件相对倾斜角度的基础上，研究了球头刀五轴铣削系统的瞬时铣削力与动力学稳定性问题；李忠群等Ll 建立了考虑切屑厚度再生效应的圆角铣削动力学模型：SUN等J 研究了球头刀五轴铣削状态下的铣削力建模问题；LIANG等J 研究了与铣削力紧密相关的切屑厚度建模问题；乔晓利等LJ提出了利用内置力执行器对铣削颤振进行主动控制的方法。然而，如何将动力学响应特征与静态的已加工表面轮廓信息进行结合，是进行铣削表面形貌动力学仿真的关键。

本文针对自由曲面球头刀五轴铣削工况，提出了-种考虑铣削系统动力学响应的已加工表面轮廓预测模型，并利用铣削试验中颤振工况与稳定铣削工况所获得的加工表面形貌与纹理特征对预测模型进行了验证。

1 数学模型1.1 已加工表面残留区域离散在球头刀五轴铣削中，图 1定义了局部工件坐标系 wz ，其中 Oxw方向为刀具相对于工件的进给方向，Ozw方向为工件的局部法向， 方向则服从右手定则，用于定义刀具的横向进给方式。

在此坐标系下，刀具轴线矢量方向可由其在坐标轴平面的投射线相对于 Ozw轴的夹角而定，形成前倾角 a与侧倾角 ，如图1所示。若以刀具轴线矢量为Ozt轴建立刀具坐标系 Oxtytzt，且令 Oxt轴与坐标轴平面 X Ozw平行，可按式(1)构建坐标变换矩阵式中，a'-arctan(tana·eos)。则切削刃上任-点的坐标可按照式(2)在坐标系 Oxtytzt与 之间实现变换。

图 1在球头刀精铣削过程中，切削刃以三维次摆线轨鉴给，划过工件铣削区域并创成出已加工表面。

然而大部分已加工表面都将被后续切削刃以及后续刀路轨迹包络面所去除，只留下相对较小的已加工表面残留区域，如图2a、2b所示。因此，将单个残留区域在局部工件坐标系下进行二维离散可显著提高已an：r表面形貌的仿真效率～残留区域沿刀具每齿进给方向与横向进给方向进行阵列，可获得己加工表面的轮廓与形貌，如图2c所示。不失-般性 。-0 。 O ∞ m或、 ， 、、 Z，，，，.........，........-，、 、、2013年3月 梁鑫光等：基于动力学响应的球头刀五轴铣削表面形寐真 l73地，图2d在每齿进给方向与横向进给方向将残留区域离散为M× 个坐标点。于是已加工表面形貌建模问题转化为如何确定铣削刃经过每个残留区域离散点时所形成残留高度 zw的问题。在五轴铣削的过程中，影响残留高度分布的因素包括两类。

(a)相邻刀刃在进给方向形成的铣削区域边界(b)相邻刀轨问形成的铣削残留区域边界(d)确定残留高度的已加工区域离散法则图2 已加工表面形貌的描述方法(1)铣削刃名义运动轨迹。自由曲面球头刀五轴铣削中，刀具轴线相对于工件表面法向的倾斜角度变化多端，经过残留区域参与切削的铣削刃在刀具轴向位置上的分布亦有所不同，所形成的三维次摆线运动轨极在残留区域离散点处留下形态各异的残留高度Zw。

(2)铣削系统振动响应轨迹。由于系统弹性的作用，由刀具与工件组成的铣削系统将在铣削力的激励下产生动态响应，所形成的振动位移附加于铣削刃的名义运动轨迹上，在切削刃经过残留区域离散点时创成出包含系统振动信息的残留高度zw。

1.2 球头刀五轴铣削表面静态形貌建模对应残留区域上任-具有坐标值 (f ( 的离散点(i1，2，，M；J1，2，o oⅣy)，结合切削刃点名义的三维次摆线轨迹，可利用局部刀具。

工件坐标系变换矩阵 7 将经过任-离散点的切削刃点坐标在刀具坐标系 OXtVtZt中按式(3)进行描述。

xw(i)-fY ( )z (i， )式中，R为球头刀具的球面半径； 为切削刃点与球心连线同回转轴的夹角； 为切削刃点的回转角度； 为刀齿间距角，是2冗与切削刃数的比值；.厂为每齿进给量。

利用式(3)描述的离散坐标值[Xw(ii)，ywC 与切削刃点位置参数I ， I的关联关系，可在每齿进给方向 Oxw与横向进给方向 Oyw上获得约束方程式(4)，其中 、 与 表示变换矩阵 的行矢量。

j嘶 t 等 (il (4) ( ， ) y It，Yt， ) -Yw(∥)0根据约束条件 与 对变量 与 的邻域可( OHx aHdOHxaaHa㈣在此基础上，离散点[Xw(i)， ( ]所具有的法向残留高度zw(i，J)可描述为式(6)～单个残留区域内的所有离散点所具有的残留高度沿方向 Oxw与ll、 、、n n吣 - S C，。.。...。.。... R， 、，， ...。........。...。

174 机 械 工 程 学 报 第 49卷第 6期Oyw进行阵列，便可获得名义上的已加工表面轮廓与形貌。

f，sin sin ]Zw(i， )R l COSsinc I (6)- c。s j1.3 球头刀五轴铣削瞬时铣削力模型对于球头刀铣削而言，任-切削刃微元所具有的铣削力系数可通过两个三次多项式来描述。-个用来描述切削刃在刀具不同轴向位置所具有的铣削力特征，如式(7)所示KM( )K3Jlf[1c/(x/2)1 K2 [x/(n/2) -tK1 [xl(r12)]Ko (7)式中， 表示铣削力沿切削刃回转方向t、法向，与轴向a的三向力分量，下标 代表符号 t、，.与a；为三次多项式系数，下标户0，l，2，3。

另-个三次多项式用来描述切削刃微元对不同未变形切屑厚度所具有的非线性效应，如式(8)所示( )(口2 a181) a0 (8)式中， 为瞬时未变形切屑厚度，可描述为角度参数 与 的函数；a2、al与 口。为切厚尺寸效应多项式系数。

在此基础上，任-切削刃微元所具有的三向局部铣削力 ( ， 可由式(9)进行描述。而后应用ALTINTAS等 提出的变换方法可实现将微元铣削力在刀具坐标系 Oxtvtzt下进行描述，并通过积分获取瞬时铣削力函数F(O。

d ( ， ) ( )c (Jlz) (9)1.4 球头刀五轴铣削系统振动响应仿真图3描绘了在刀具轴线与局部工件表面不垂直的情况下，具有径向双自由度的刀具系统与具有法向单自由度的卞工件系统在振动 自由度上的分布特征。

图 3 刀具振动坐标系与工件振动坐标系在铣削系统动态响应 f)的作用下，瞬时未变形切屑厚度 将会受到切厚再生效应的影响，而瞬时铣削力 O亦可按式(10)进行-阶泰勒展开F(f) (f)OF (t)[P(f)-P(f- ( )] (10)式中， (f)为静态名义铣削力；OF(t)/OP为铣削力对刀具相对于工件振动位移 P( 的灵敏度函数；r(f)为铣削系统变时滞参数，描述了相邻两个铣削刃经过未变形切屑前后表面-对瞬时切厚控制点时所具有的间隔时间。

鉴于刀具与工件接触区域的尺寸远小于整个刀具系统与工件系统，无论是刀具系统还是工件系统均可以应用单点激励.单点响应模型进行描述。因此，切屑厚度再生效应的铣削系统动力学状态方程可描述为式(11)]( ) F、 Ct T )( ]式中，Pt(t)、 ( )为刀具与工件铣削系统状态变量，由铣削系统在所有振动 自由度方向上的位移与速度变量所组成；A 、A 为刀具与工件系统固有的系统矩阵，由铣削系统的模态参数构成； 、 为刀具与工件系统的系统输入矩阵； 、 为刀具与工件系统输出矩阵；P( 为刀具坐标系下刀具相对于工件的位移； 为工件振动系统与刀具振动系统的自由度空间变换矩阵，当工件振动坐标系与工件局部坐标系 D 。.z 重合时，有 。

在此基础上，以大于系统最大固有频率 100倍设定采样频率，利用文献[19-201所提出的半离散法先后对包含变时滞参数r(f)的瞬时铣削力 与当前状态变量 (f)、 (f)进行-阶微分方程的时域离散，可关于任-离散时刻，实现铣削系统的振动响应仿真。对应于典型的铣削稳定域参数与颤振域参数，图4a模拟了颤振频率 )以系统固有频率分量 )为主的Hopf颤振状态的系统振动位移轨迹，图4b对发生flip颤振的系统动态响应进行了仿真，振动频率以刀齿通过频率(厂T)的半频分量与倍频分量的叠加形式为主，而图4c则对处于稳定状态的系统动态响应进行了仿真，振动频率以刀齿通过频率的倍频分量为主。

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作者简介：粱鑫光，男，1981年出生，博士研究生。主要研究方向为铣削动力学稳定性。

E.mail姚振强(通信作者)，男，1962年出生，博士，教授，博士研究生导师。