基于空间插值的工业机器人精度补偿方法理论与试验

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Theory and Experiment of Industrial Robot Accuracy CompensationM ethod Based on Spatial InterpolationZHOU Wlei LIAO Wlenhe TIAN Wei(Colege of Mechanical and Electrical Engineering，Nanjing University ofAeronautics and Astronautics，Nanjing 2 1 00 1 6)Abstract： With the development of technology of robot，industrial robot is used more and more widely in the industrial field.Theindustrial robot usually has a high repeat positioning accuracy and a low absolute positioning accuracy.According toDenavit-Hartenberg kinematics model，the robot coordinate system is established，meanwhile the geometric eror model is alsoestablished by taking account of errors introduced in joint parameters.The inner relationship between positioning accuracy of twoadjacent points is discussed by using the eror model，and therefore the concept ofpositoning errors similarity is proposed.Above onthis.a method of robot accuracy compensation based on spatial interpolation is proposed.A KUKA robot is introduced t0 invalidatethe proposed method，and the results show that by using the accuracy compensation method the maximum value of the robotpositioning eror is 0.386 nlnl，and the mean value is 0.156 ml'nwhich are much more better than the previous values 1-3 iTlrn，thusthe method iS feasible and efective。

Key words： Industrial robots Accuracy compensation Spatial interpolation Positioning accuracy Calibration0 前言机器人的定位精度是衡量机器人性能的重要指标之-，它包括重复定位精度和绝对定位精度。

通常-般的工业机器人具有较高的重复定位精度，但它的绝对定位精度却是比较差的。影响机器人位江苏势技支撑计划资助项目fBE2011178)。20120711收到初稿20121213收到修改稿姿误差的因素有很多，主要包括：机器人零部件的加工制造误差，机器人的安装误差，传动机构的误差，机器人连杆和关节的柔性以及机器人工作环境等因素。对于不同种类的工业机器人，以上所述的每-种因素都可能成为影响机器人末端执行器位姿精度的主要因素L1 J。

在已有的文献中，机器人精度补偿按照控制方式的不同可以分为两种方法：-种是增加末端反馈检测，实现全闭环控制2 J。这种方法通常是通过采2013年 2月 周 炜等：基于空间插值的工业机器人精度补偿方法理论与试验 43用嵌入式控制方法，把激光跟踪仪、机器人、控制计算机集成起来对机器人末端的位姿进行实时快速地反馈，从而来提高机器人的定位精度。采用这种方法往往可以达到很高的定位精度，但是成本投入较高，而且对于加工复杂外形部件在工业现场往往不易实施；另-种是通过标定的方法来提高机器人的绝对定位精度。这种方法补偿后的精度通成以达到士1 mtn，可以满足焊接等对精度要求不是很高的应用 ，但不能满足如飞机装配等对精度要求比较高的应用的需求。相关的研究方法主要有以下几种：运动学模型参数标定法L5 J、基于神经网络的正标定法[8]、基于神经网络的逆标定法 们。

针对上述问题，在传统标定方法的基础上提出了-种基于空间插值的工业机器人精度补偿方法。

该方法通过空间插值来预测出机器人在目标期望点处的定位误差，然后将它逆补偿到理论坐标上从而来提高机器人的绝对定位精度，具有方法简单，适用范围广，可以实时补偿的优点。

1 机器人位姿误差模型1.1 运动学参数描述机器人的位姿误差通常是 由静态因素和动态因素共同作用的结果。如果分别单独考虑各个因素对定位精度的影响并进行相应的补偿，就会使精度分析和提高变得十分复杂。因此，可以将上述因素总结为两点：① 机器人各连杆的运动变量误差导致的定位误差；② 机器人各连杆的结构参数误差引起的定位误差。通过将上述各项因素统-归纳为机器人各连杆的运动变量以及结构参数误差后，就能够较简单地建立机器人的定位误差模型 J。

常用的机器人模型是经典的D.H模型[11-12]。连杆坐标系 f1与 f之间的相对平移和旋转关系可由- 个齐次变换矩阵来进行描述4Rot(z，0i)Trans(0，0，df)Trans(af，0，0)Rot(x，。f)cossin0iO0- sin COSaicos cos isin f0sin sinaf- cos sinaiCOS 6cfOaf cos0af sinl式中 4--f1与i关节之间坐标变换矩阵a --第f关节连杆长度- - 第 f关节连杆扭角di--第 f关节的关节偏置- - 第f关节的关节转角式(1)也可以用四个 3×1矢量来进行描述( ) (2)式中 ni，oi，口 --三个姿态矢量- - 位置矢量从机器人的基座开始按照上述步骤依次进行坐标系的转换，并将每个齐次变换矩阵命名为A.，， ，， ，那么便可得出从工具坐标系到机器人基座的总变换rnA1A2A3 (3)式中， 为工具坐标系到机器人基座坐标系的齐次坐标变换矩阵。

1.2 位姿误差模型的建立机器人的位姿误差建模的方法有很多，但根据计算方法的不同，可以归纳为矩阵法和矢量法两大类型。以下采用矩阵法来进行误差模型的推导。

根据式(1)中4 的正确描述依赖于它的四个参数。对于转动 自由度来说 是变量，其他三个参数则为固定量；对于平动 自由度来说di是变量。以转动自由度为例，根据微分理论，对式(1)两边取微分有04筹 差 嚣 塑0， (4) a口 a6c a式中 Aai--第 f关节连杆长度偏差△仉--第 f关节连杆扭角偏差Adi--第 f关节的关节偏置偏差△ --第 i关节的零位转角偏差由式(1)可以得到l20塑 ：4.Qo00，z0 -Caf S 0Caf 0 0 aicaf- s口f 0 0 -aisdfO O 0 0式中，caf表不 cosai，saf表不singf。

Qd(7)(8)(9)(10)0 O 0 O 0 0 0 O 0 0 0 0 0 0 机 械 工 程 学 报 第 49卷第 3期Qa 0 0 0 10 0 0 00 O 0 O0 0 O 0忽略高阶微分式(1 8)可以变化为(11) d ∑(4 4 ·4 · )i1[ .(4 . )～. .(4 . )] (19)il(12) 定义由此可得d4.4·(Qa f △ fQd )Ai·6Ai(13) QaAa fQd QB△ (14)式中，阻 为4的误差矩阵。

将式(6)、式(10)～(12)代入式(14)中可得 OCafAe，- - s.iAOi0- CafAOi0Aai0AafaicaiAOiSafAd，- ais △ CafAdi006zfA- 0式中 ， A，瓯 ， ，saAOi- -AaiO0 ·Ai。 (20)则式(19)可以变化为d ·∑(Wi1-1omi· 。) ·6 (21)i1式中. 6 ∑( ～· ·vi )i1f 0 - 61， (k 16z 0 - dy- 6v 6x 0 dzl 0 0 0 0 J6 -- 的误差矩阵(22)， - - 相对工具坐标系各方向的位置偏差， ， 6z --相对工具坐标系各方向的旋转偏差(15) 进-步整理可得A- - 相对关节f坐标系各方向的位置偏差- - 相对关节f坐标系各方向的旋转偏差矿dxiA Aa：i ]式中，di 为相对关节 i坐标系的位置偏差矢量。

/( 1 口 。)·(23)(24)式中 以 ，，啦 ，口 。-- 。的三个3xl姿态矢量f171 l-- 1的3× 的位置矢量经过进-步整理现在考虑每个连杆都带有误差 则由式(3)可得d (A1 41)( dA2)( dA)n( ) (18)il式中，d 为机器人末端工具坐标系相对于基座标的微分变化。

[萋 ] △ △ △口 △( )△△Aa△口(25)O O O O 0 O 0 O 0 1 0 0 0 O 0 u u -十 u.十 拧 口 口∑ ∑ ∑n o 0 A 0 0 瓯∑ ∑ ∑ 矧. ... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ...。.. .... ..... ... 。... ..... 、、c之；，，，.................-/2013年 2月 周 炜等：基于空间插值的工业机器人精度补偿方法理论与试验 45f薹 1 △ △ c ( )(26)式中 d --相对工具坐标系的位置偏差矢量- - 相对工具坐标系的旋转偏差矢量A0(AO，A02 △ )Ad(Ad1 Ad2 △ )Aa(AaI Aa2 Aa )Aa(Aai Aa2 Aa.1- - 各关节参数对应的3xn系数矩阵，卢l，由上述推导可知， 矩阵(卢l，2，3，4)的各元素是由机器人关节参数组成的函数表示。对于转动关节机器人，它的四个关节参数中有3个是固定的只有关节转角是变量。因此由式(21)可知，随着机器人所处位置的改变，dT.因为对应着不同的 和矩阵也随之变化。

2 空间插值补偿模型2.1 机器人位置误差相似度机器人处于某-位姿时其在机器人基坐标系下的位置误差d 可以视为-个三维矢量。为了对两个位置误差矢量间进行比较，本文提出了位置误差相似度的概念，即对于任意两个位姿处的位置误差矢量分别为 和 ，定义其对应的位置误差相似度的数学表达式如下： J I I (27) ， - I ，Jl/l- I Pl≠式中， 为位置误差相似度。

在比较两个位置误差矢量之间相似度时，如果两个矢量完全-致则此时相似度最大为无穷；此外由式(27)可知，当两个矢量之间越接近时 值越大即它们之间的相似程度越高。

2.2 空间插值补偿模型的建立如第 1.2节中所述可知dr.中的位置误差矢量d 的各个分量都是由机器人各杆件运动学参数组成的-系列的三角函数来描述的，而且这其中只有各关节转角为变量，其他都是常量。容易知道在机器人各关节可达范围内这些由正弦、余弦组成的三角函数是n阶连续可微的。因此当两个定位点所对应的机器人各关节转角之间相差较小时可以认为它们的位置误差矢量是具有-定的相似度的，而此时各关节角之间偏差越小则相似度就越高。

通过分析相邻关节角配置的两个定位点之间位置误差矢量之间的相似度，可以得出以下结论：当两个位置误差矢量之间达到-定的相似度时，在- 定的误差范围内，理论上可以用其中-个位置误差矢量来近似代替另外-个位置误差矢量。即当P，和p 足够相似的情况下， 、 之间相互代替引入的误差I - I也是比较小的，如图1所示。

图 1 位置误差矢量相似度以上讨论的是相似的两个位置误差矢量之间的关系，当将其扩展到相似的多个位置误差矢量时，其中-个位置误差矢量可以用其他位置误差矢量来进行线性拟合。从求解方程的角度，-个位置误差矢量可以由其他3个位置误差矢量来进行唯-的线性表示，而当其他位置误差矢量多于3个时则存在- 个最4'-乘表示。反之，当需要用几个已知的位置误差矢量来表示-个与它们都相似的未知位置误差矢量时就需要求得每个已知位置误差矢量的影响系数即权值。

反距离加权法是常用的空间插值方法l引，它是- 种加权平均算法，以两点之间的距离的倒数作为权值，即距离越近相互影响的权值因子越大，距离越远相互影响的权值因子就越校当已知点分布比较均匀时，插值点的逼近程度也比较好，且计算简单运算速度快。对于机器人在任-定位点处的位置误差矢量，如果已知其他几个与它有较高相似度的位置误差矢量，则理论上它可以通过反距离加权法来进行求龋为了使样本点分布均匀以便插值的逼近程度更好，同时为了方便对机器人的待工作空间进行划分，可以把工作空间划分为-系列的立方体网格，以立方体网格的顶点作为采样点。这样对于工作空间内的其他任意-点，它的位置误差矢量可以由包含它的立方体网格的顶点对应的位置误差矢量来进行插值。如图2所示，立方体网格8个顶点为 (卢l，2，，8)，它们对应的位置误差矢量即理论定位坐标矢量与实际定位坐标矢量之差分别为 (卢1，2，，81，则对于到达立方体网格中任-目标定位点 的位置误差矢量P可以通过以下步骤来求龋机 械 工 程 学 报 第49卷第 3期葑 ) ∑l l式中 di--目标定位点K的理论坐标与Ki点实PZ(qf ) (29)图2 空间网格精度补偿原理图2.3 位置误差相似度的确定为了旧能保证插值的精度，由第2.2节中建立的空间插值补偿模型是建立在具有较高位置误差相似度的前提上的。由第1.2节中可知，对于转动关节机器人其在工作空间中任-位姿处的位置误差矢量是机器人各关节转角的函数，以6自由度工业机器人为例，假设其表达式为fAx1 f ( ，o2， ， ，o5，06)1pl II L(ol，02，o3， ，o5，06)l (30)/I Lrz(Ol，o2，o3，o4，o5， )J式中 I厂--机器人在各个方向上的定位误差函数- - 机器人各关节转角易知p与0的取值即在机器人工作空间中所处的区域相关，并且两个不同位姿定位点的 之间的相似度还与其各 自对应白变量之间的距离相关P√( - ) ( - ) (06- ) (31)式中，P为机器人关节转角间欧氏距离。

对于位于机器人工作空间某-区域的相邻两点，如果P所对应的函数在该区域内变化比较平缓那么从定性的角度就可以认为这两点的位置误差向矢量具有较高的相似度；反之，如果在该区域内变化比较剧烈，那么这两点之间的位置误差矢量之间的相似程度就涉及第二个影响因素即立方体网格的大校假设给定允许的最大定位误差的大小为 ，划分的立方体网格的边长为，，网格各顶点的位置误差矢量为 ( 1，2，，8)，网格中任-点的位置误差矢量为P♂合式(29)若要误差小于 有I 土 I P- (gl )I< (32)(33)因此只要IP-PiI< 成立，式(33)即可成立♂合式(27)，当P≠p 时即需要 1/Ip-Pil>1/e (34)式f34)即可作为确定误差相似度的充分条件。

然而按式(21)计算其中包含的位置误差矢量P时需要事先对机器人各连杆参数进行标定，标定过程比较繁琐且标定的精度会直接影响到该式计算的精度，另外还涉及到求逆解，计算量大不易在实际应用中进行实施。本文提出-种比较易于操作的判断方法，下面对它进行介绍。

第2.2节中提出的反距离加权算法的缺点是不能插出比已知样本点最大值更大或最小值更小的值。因此当插值点正好处于极值并且它又处于网格中心点时，其与用插值求得的值之间误差就会较大，因为此时插值就相当于对网格的所有顶点的位置误差求平均值。基于这个情况可以在机器人待工作区域内任选-点并将它作为网格中心点，同时再选定- 个网格边长，接着通过-定的测量手段获取该点和网格顶点的位置误差矢量。当它们之间满足式(34)时，则认为在选定的网格边长下立方体网格内的点和网格顶点的位置误差矢量之间具有较高的相似度。同时为了检验精度补偿的实际效果，用基于空间插值的精度补偿方法对网格中心点进行精度补≤ -

(31可以对机器人工作空间中某-区域的立方体网格进行进-步的细分来提高该区域的定位精度，所需增加的工作量仅为采集细分出的网格顶点数据，对其他区域不会产生影响。

(4)提出的基于空间插值的机器人精度补偿方法实际上考虑了机器人运动学参数误差和负载带来的影响，但是没有考虑到环境因素比如温度变化带来的影响，在后续的工作中有待进-步研究。