多重分形振动信号故障特征提取方法

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Fault Feature Extraction M ethod of Vibration SignalsBased on M ulti-FractalLi Zhaofei，Chai Yi，Li Huafeng(Colege of Automation，Chongqing University，Chongqing，400044，China)Abstract：Considering fault feature extraction difficulty to the non-linear vibration signals，afeature extraction method is proposed based on the general dimension mean (M eanDg)and theparameters of singular spectrum (Aa and Af).Firstly，characteristics of multi-fractal for thevibration signals are analyzed，then MeanDq，Aa and af are calculated，respectively.Subse-quently，they are used as fault characteristic values.Finally，fault feature extraction method isapplied to fault detection for rolling bearing.The result shows that the state of the vibrationsignals for rolling bearing can be effectively identified by MeanDq，Aa and af together.Be-sides，MeanD。and△a have a stronger sensibility than af.Apparently，the example provesthat the integrated method is feasible。

Key words：vibration signal；general dimensionsion mean；singular spectrum ；rolling bearing；fault feature extraction：multi-fractal故障特征的提取是状态监测与故障诊断的难点之-。由于机械系统是非线性振动系统，因而采集的振动信号常常是周期运动、非周期运动、系统噪声、测量噪声等各种信号的混合。如何从这些信息中提取故障特征成为对其进行故障诊断的关键口]。研究表明机械系统振动信号呈现分形特性，利用分形方法可以较准确地提取非线性振动信号的特征。大多研究者用单重分形从整体上表现了振动信号的不规则性，但缺乏对局部奇异特性的描述。多重分形不仅能从整体上描述信号的不规则性，且能够更加精细地反映信号的局部特性[2]。

文献[1，3]从广义分形维数中选择某几个分形维数作为特征量；文献[43是选择广义维数的最大值与最小值之差作为特征量；文献[5，6，7]是以广义维数能谱作为特征量；文献[83是以 Holder指数作为特征量；文献[6，9，10，l1，123是用多重分形谱参数作为特征量。这些研究都较好地实现了对故障特征的提取与识别，但是几乎没有就故障特征量对故障反映的灵敏度进行分析。

本文对采集的滚动轴承振动信号应用多重分形方法，首先分析了振动信号的多重分形特性，然基金项目：国家自然科学基金(60974090)资助项目；教育部博士点基金(102063720090013)资助项 目；中央高校基本科研业务费专项资金(CDJXS10172205)资助项 目。

收稿 日期 ：2011-10-05；修订日期：2011-13O第 1期 李兆飞，等：多重分形的振动信号故障特征提取方法 35后提出广义分形维数均值的概念，并以广义维数均值和多重分形谱参数(最大、最小概率子集分形维数的差别和多重分形谱的宽度)联合作为振动信号故障的量化特征，从而实现了故障特征的有效提龋另外，比较了量化特征量对故障反应的灵敏度。

多重分形谱和广义分形维数多重分形也称为多标度分形，1972年 Man-delbrot研究湍流时在首次提出[13l。多重分形是定义于分形结构上的由许多标度指数的分形测度构成的无限集合，它刻画了分布在子集上的具有不同标度和标度指数的分形子集的局部标度特性。后来被广泛应用于交通、股市、地震、空气质量等领域。

多重分形奇异谱最先由Halsey等[1 给出，经过刻画定义于分形集上的归-化测度(分布)的奇异特性来研究其标度性。分布的奇异性由两个指数来刻画：奇异性强度(a)及对应的分布密度厂(a)。分形奇异谱则是由Ot值的取值范围和函数厂(a)确定。

在应用中，计算多重分形谱相当复杂，对于通常的集合-般无法获得解析解，只能利用数值计算法间接进行估算。常用的是矩法估计，其算法如下[ ：(1)测度的定义沿时间轴将振动信号时间序列分划为尺寸 e(<1)的-维行子，5 为盒子尺寸为 的第 i个行子内振动信号的所有以幅值之和，Ns 为振动信号全部幅值之和，得概率测度r 、P - (1)d，5 E(2)奇异强度的定义概率测度 P (e)组成的集在无标度区内可分划为-系列子集，即按 P (e)的大挟分成满足下列条件的幂函数子集P 。C口 (2)式中：a称为奇异强度√画分形体上各尺寸 e下，物理量分布概率随e变化的各个子集的性质，a越小，子集的概率越校a在分形 曲线上是有限的，有 口E[口 i ，Ot ]。

(3)函数 厂(口)的定义如有相同a标记的盒子数为N(e)，在无标度区域内其与也有着标度关系，即N。C 8-，。 (- O) (3)式中：相同a值的子集分形维数即为f(a)，也就是分布密度函数。因为aE[a ，a ]，所以 ，(a)-般为单峰的光滑函数，称为多重分形谱。

(4)配分函数的定义对 P 用 q次方进行加权求和，定义配分函数为- p (e)。 (4)式中：q称为权重因子(在 q<1时，P (e)的低值对的贡献最大；在 q>1时，P。(e)的高值对 (e)的贡献最大，因此 。刻画了概率测度 P 的另-种分布形式)。q可以从-Cx3～cx3，但实际上l ql达到-定程度后，再大的l qI对多重分形谱已无甚影响。根据文献[15]，q的取值应遵循-个标准，即 q改变 1时，△a的改变率小于0.2 。

(5)质量指数计算P 的另-种测度由；[ 给出， 。在无标度区内有以下的测度关系；(q。C (5)式中r(q)是质量指数，其数学上的表达式为) (6)(6)由r(q)计算广义分形维数f q1- I n(e)，g≠1 l- (q-1)- 1 ∑ n 训 l-面 - q-(7)它是随q值不同有不同意义的分形维数。当振动信号均匀分布时，D 三1。在 q-0时，D。--r(O)D，这说 明 q：0时，它刻画研究对象的空间几何特性，与物理量的不均匀概率分布 P无关，D。正是豪斯道夫维数。在 q- 1时， (e)-∑P -1，因此有 r(1)0，此时广义分形维数 D。

叫做信息维数。在 q2时，D 叫做关联维数，它描述了在-定的尺度范围内随机任意选择两点的概率。关联维数的变化表示在数据集中点的分布变化。

(7)多重分形谱的计算根据统计物理中的勒让德变换，建立作为描述同-物理对象的 3个标度指数 a，厂(a)和 r(q)之间的联系，即)(8)，(a)qa(q)-r(g)通过式(8)，通过程序计算并测定概率测度、质量指数及配分函数，就可得分形结构的多重分形谱指数 a及厂(a)。该算法虽不能获取分形维数的准确数值，却可获取奇异强度及相应的分布密度。

2 广义维数均值及多重分形谱参数由式(7)对广义分形维数的分析，在以q作为36 数 据 采 集 与 处 理 第 28卷横坐标，D。作为纵坐标的直角坐标系上，如果 D是-条接近于 1的平滑直线，即D。与q不相关，序列的波动较小，反之则序列的波动性越大；若 D。

与 1偏离越大，序列的波动性越大。因此，本文中把广义分形维数的均值作为故障特征量之-，对故障程度进行量化分析，即№ an D -q q 式中 N为 q的个数。由多重分形谱的描述，多重分形谱宽 △a：a -a i 的值刻画了整个分形结构上概率测度分布不规则性的程度，即可描述振动信号的波动幅度；最大、最小概率子集分形维数的差△-厂刻画了相关物理量形成子集中元素个数在最大、最小处的比例，Af<0时，概率最大子集数目大于概率最小子集数目，反之亦然，对振动信号就可刻画其大、小峰值所 占的比例；f 为多重分形谱的最大值，其大刑画了有相同概率的单元数随e的变化程度，可以刻画振动信号大、小峰值的变化速度，而大、小峰值变化速度及所占的比例则可以反映振动的剧烈程度。所以，多重分形谱刻画了整个分形结构上概率测度分布的不均匀性、比例，能全面刻画振动信号的振动剧烈程度及波动程度1 。

由于在实际中，故障往往都是慢慢演化发生的，如机械磨损，所采集振动信号的量化特征往往都非秤近，有时候很难区分，且计算存在误差，因此，选择单-的故障特征量难以也准确反映故障。

因此，笔者选用广义维数均值和多重分形谱参数联合作为振动信号故障的量化特征。

3 振动轴承信号特征提取3.1 滚动轴承振动信号的采集为了检验广义分形维数均值和多重分形谱参数作为故障特征量提取特征的效果，针对轴承振动信号分析，采用美国西储大学(Case West ReserveUniversity，CWRU)实验数据来 进行分析 。该故障数据库的各种故障通过电火花加工技术在滚动轴承内圈、外圈、滚动体上模拟，包含内圈、外圈、滚动体不同转速、不同的故障程度的实测振动数据。

作者选取不同程度的轴承故障进行分析，以分析本文提出故障特征提取方法对相同故障类型不同程度故障的处理能力。选用数据为主动端轴承6205-2RS JEM SKF，深沟球轴承，电动机空载情况下，电机转速为 1 797 r/rain，采样频率 f -12 kHz。为此，选取内圈正常数据和故障直径为0.18，0.36，0.54和 0.72 mm，故 障 深 度 为0.28 mm时轴承内圈故障进行分析，本文以后的分析中分别记为正常数据、故障数据 1，故障数据 2，故障数据 3和4。从采集的数据中选 1 024点进行研究，时域波形如图1所示。

邑 o·o - 0.5- 1·O- 1.50 200 400 600 800 1 000 1 200采样点(a)内圈正常状态信号时域波形0 200 400 60o 80o 1 000 1 20o采样点(b)故障直径为0.18衄 ，深度为0.28 mm时信号时域波形2.O1.51.0：0.5邑 o.o- 0.5- 1.O- 1.5e邑、 O 2O0 400 600 800 l O0o 1 20o采样点(c)故障直径为0.36 mm，深度为0.28 m.m时信号时域波形3 2 O 138 数 据 采 集 与 处 理 第 28卷图 3 r(q)-q关 系图如图4所示。图4为内圈正常状态内及故障直径为 0.18，0.36，0.54，0.72 mm，故障深度为 0.28mm时信号 Dq-q关系图。从图中看出，滚动轴承正常状态振动信号 D 几乎恒为 1，表示序列是均匀分布，而滚动轴承故障状态振动信号 D 不恒等于 1，表明序列是非均匀分布。在 q-0时，5个图的广义分形维数均为 1。故障状态下的广义分形维数是随 q增大而单调下降的曲线。表明具有多重分形特征，且故障越严重，广义分形维数在 1上下波动的幅度就越大，说明了故障状态严重的多重分形性要强于故障状态轻微多重分形性。因此，作者把 5种状态下广义分形维数的均值作为特征量，不同故障状态的MeanD ，△a，Af和 值如表 1所示 。

图 4 Dq-q关系图表 1 不同故障状态的Mean/)。，△口，Af和厂值由表 1出数值可以看出，故障程度越严重，广义分形维数的均值就越大，而正常状态下广义分形维数均值最校因此把广义分形维数均值作为特征量，对轴承状态进行特征提取完全可行。

3.4 多重分形谱参数提取特征结果图 5为滚动轴承振动信号的多重分形谱图，为开口向下的-条抛物线。图 5为内圈正常状态内及故障直径为 0.18，0.36，0.54，0.72 mm，故障深度为0.28 mm时信号 厂(口)-a关系图。由图5可得出所有图的 厂 均为 1，由本 文前 面的分析 ，多重分形谱的最大值 厂 ，其大刑画了具有相同分布的单元数随e的变化速度，可以表示振动信号大小峰值的变化速度，但是本文所选取的滚动轴承数据是在相同的转速下分析，因此，其变化速率相同，分布在所有的区域，即多重分形谱的最大高度.厂眦相同。

1.21.OO.80.6 0.40.20.0- 0.2O 20 40 60 80 100口图 5 厂(a)-a关系图5个多重分形谱图的形状和宽度彼此各不相同，故障越严重 A a越大。表明在该标度范围内，故障程度严重数据的多重分形特征较显著。轴承正常状态下振动信号的多重分形性最弱，且波动变化的奇异特性也最小 ，并且 ，多重分形谱图呈左钩状的是故障程度严重数据，即 △，>0，振动信号数据较多的是在波峰，所以奇异谱的顶部相对较圆润，表示指数在大幅值的机会比处于小幅值的机会大。

5个不同的形状刻画了滚动轴承不同的固有动力学特征，也表明多重分形能全面精确地表现出故障状态和正常状态之间的分形特性和复杂动力学行为的差异。

3.5 故障特征量提取特征灵敏度根据表 1计算得到的特征量可以看出：广义分析维数均值MeanD 和多重分形谱的谱宽 △a能灵敏地反应故障的变化，而最大、最小概率子集分第 1期 李兆飞，等：多重分形的振动信号故障特征提取方法 39形维数的差别 af反映故障变化的灵敏性较弱。

这是因为-些复杂系统的行为主要撒于某个物理量(如浓度、电势、几率等)的空间分布，它表现出的自相似特征也是局域性的，具有空间分布的特征1]，而广义分形维数均值正是真实反映了这种空间系统的空间分布特征；△0t的大小在统计意义上反映指数序列波动的均匀程度，能描述整个分形结构上 概率 测 度 分 布 不 均 匀性。因 此，△a和MeanD 特征对故障的反映较灵敏；而 af描述了有关物理量围绕较高或者较低数值产生波动的程度，即af对故障灵敏度的反应较弱。

为了进-步分析获取的几个故障特征量对于各状态振动信号反应的灵敏度和对数据长度的稳定性，根据振动信号特点，将各状态数据各分为相等的M 小段，得到正常状态和各故障状态下对应的 3个特征向量 A口-[△a ，Aa ，， M]，△，[af1，af2，，afM]和 MeanDq- [MeanDq1，MeanD。2，，MeanD]。图 6给出了分别对五种状态振动信号选取 8 912点，平均分成 8小段，每段 1 024点，q取值和前文分析相同时，特征量 △a，af和MeanD。对振动信号各状态提取特征的对比。由图6可以看出：对各个状态信号分段后特征量 △a和MeanD。能敏感地反应故障的状态，故障越严重特征量越大 ，特征量 △a灵敏度最好 ，af作为特征灵敏度最差，特征量存在多处交叠；特征量A a和MeanD。对数据长度的稳定性不如 af，在故障程度较强时存在较大震荡，这是因为 zxf在故障较强时围绕较高数值产生波动的程度变化不大，和前文的分析相同。

对振动信号进行不同长度的分段，故障特征量对数据长度的变化与上面分析基本相同，综合前文的分析，A a和MeanD。特征量对故障的反应较灵敏，但对数据长度的稳定想较差，而 af对数据长度的稳定性较强。

1.OO.8j四 0.6凄马 0.40.2O.OO 2 4 6振动段号(a) 特征振动段号(b) 特征振动段号(c)MeanD，l 图 6 △a，af和MeanDq提取振动信号特征对比4 结束语本文从多角度说明了振动信号正常状态和故障状态呈现出多重分形特征，并且故障状态的多重分形强于正常状态的多重分形特性。所提出的广义分形维数均值能敏感地反映出故障的强度，可量化表征滚动轴承的各状态。多重分形谱宽(△a)刻画了信号振动的剧烈程度，最大、最小概率子集分形维数的差别(Af)能够反映振动信号大、小峰值所占的比例及其增长速度特征，较敏感地反映滚动轴承故障的变化。广义分形维数均值和多重分形谱宽提取振动信号特征的灵敏度较强，af对数据长度的稳定性较强。广义分形维数均值联合多重分形谱参数作为特征量的方法可对滚动轴承状态进行准确的评定。