少齿数非对称齿轮主动设计与温度场分析

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第34卷第7期2013年 7月哈 尔 滨 工 程 大 学 学 报Journal of Harbin Engineering UniversityVo1．34 No．7Ju1．2013少齿数非对称齿轮主动设计与温度场分析田兴，李威(北京科技大学 机械工程学院，北京 100083)摘 要：为了提高齿轮的传动能力，运用主动设计方法，研究了适用于单向传动的少齿数非对称渐开线齿轮的啮合机理.

探讨了齿轮对流换热系数的计算方法，建立了轮齿本体温度场有限元分析的模型，分析了影响少齿数齿轮温度场分布的因素，推导了少齿数齿轮齿面的本体最高温度随转速、载荷和油温变化的函数表达式．通过实验与理论对比，验证了有限元方法分析少齿数齿轮温度场的正确性．研究结果表明：齿轮的最高温度出现在分度圆靠近齿顶的位置，载荷对温度的影响比转速大.

关键词：非对称齿轮；齿轮传动；少齿数；主动设计；本体温度；温度场doi：10．3969／j．issn．1006—7043．201210025网络出版地址：htp：／／www．cnki．net／kcms／detail／23．1390．U．20130606．1626．012．html中图分类号：TH132 文献标志码 ：A 文章编号：1006-7043(2013)o7一O9o7—06Direct design and temperature field analysis forthe asymmetric gear with a small number of teethTIAN Xing，LI W ei(School of Mechanical Engineering，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100083，China)Abstract：In order to improve the gear transmission ability，this study proposes to use a direct design method to ex—amine meshing theory of asymmetric involute gear with a small number of teeth suitable for one—-direction transmis—sion．The calculation method of gear convection heat transfer coeficient was reviewed．A finite element model ofgear teeth was established to analyze temperature field of the gear．The factors influencing temperature field distribu—tion of gear with a small number of teeth were analyzed．Function expression of gear tooth surface s highest tempera-ture changing with speed，load and oil temperature was derived．Theoretical and experimental comparisons，weremade to verify the accuracy of using a finite element method to analyze the temperature field of the gear with a smallnumber of teeth．The results show that the highest temperature appears in reference circle near the addendum．Theload was found to have more influence on gear temperature than speed.

Keywords：asymmetric gear；gear transmission；a small number of teeth；direct design；bulk temperature；temperature field随着科技的进步，机械传动装置向小型、轻量化方向发展，少齿数齿轮传动得到了越来越多的研究和应用．为了满足用户日益严格的订制要求，齿轮的主动设计方法应运而生．Kapelevich等 。 运用主动设计方法对非对称 齿轮的齿形做 了研究 ，李 宁等 探讨了非对称斜齿轮的啮合机理．Alipiev 卜8J在非对称齿轮的基础上，对少齿数齿轮副啮合情况做了理论分析．Anifantis等 计算了齿面摩擦热收稿 日期 ：2012—10—12． 网络出版时间：2013—6—6 16：26基金项目：国家自然科学基金资助项目(51275035).

作者简介 ：田兴(1986．)，男，博士研究生；李威(1967一)，男，教授，博士生导师.

通信作者：田兴 。E·mail：beikejixietianxing###163．corn.

流量和对流换热系数，龚宪生等L1 对行星齿轮轮齿本体温度和闪温进行了分析.

目前，国内关于少齿数非对称渐开线齿轮的研究处于起步阶段，相关文献很少．本文运用主动设计方法研究该齿轮的啮合机理，并利用ANSYS参数化设计语言(APDL)对其温度场进行分析.

1 齿轮的主动设计非对称齿轮主要用于单向传动，本文以工作侧齿廓为研究重点．使用传统理论方法设计齿轮时，实际啮合线要比理论啮合线短，当齿轮副齿数减少时，哈 尔 滨 工 程 大 学 学 报 第 34卷传动重合度很有可能小于 1，所以齿轮设计的重点是尽可能延长实际啮合线．如图1，当实际啮合线与理论啮合线相等，重合度达到理论上的最大值．在这种极限情况下，啮合线开始于点J7v。，结束于点Ⅳ2．齿顶圆rⅡ 和齿顶圆r。 分别过啮合线的结束点Ⅳ2和起始点Ⅳ。．于是，非对称齿轮在传动方向上的重合度计算公式为8 =N1N2 6=[(z1+z2)tan d]／(2竹)．(1)这就是齿轮的主动设计，通过改变齿形来提高传动质量，目的是使重合度达到潜在最大值．本文采用等变位齿轮传动，变位系数之和 +X ：0，X +：=0．此时，非对称刀具齿条的齿形角等于非对称齿轮的压力角.

g2●＼ ＼ J1 ra2 齿条刀具 u
唑／ ／ 7 } ＼／，—、、． I 、 ＼ X m ， ／ ／ ，I ＼．＼ ／ ， ： ／． |． ＼『- r |X 一X ＼ ＼／／l， ， ／ ，、 ～ ● 闰 I ， 、 ＼ ／ 、 I， ／ ／ 、 = f g2齿条 刀具2 X —X。1． | 。

fp／2 0· 齿轮lp=兀图 1 基于主动设计方法的渐开线啮合Fig．1 Involute meshing based on direct design method为了确定图1中齿轮的参数，预先选取啮合的一 h= 。+g1+g2=m cos d／cos 一1)+对齿轮的齿数 和 ，模数 m以及齿轮的潜在重合 Z2(COS ／cos O／ad2—1)+2cI +2c；)]／2 (7)度占pd( Pd≥1)，根据式(1)，计算出非对称齿轮工 6)非对称齿轮的径向变位系数：作侧的压力角 0[d： 1=h／2一hp1一g1=[ 1(COS O／d／COS Oladl一1)一0fd：arctan[2~r6~／(zl+z2)]． (2) I 2(COS d／cos Otad2—1)一2c +2c2 ]／4，然后，根据图1的几何关系，可以得到以下参数 1 =h／2一h ：一g：=[Z2(cos O~d／COS 。以一1)一的关系式- 【 。(cos ／c0s 一1)一2c +2c ]／4.

1)齿顶圆压力角：tan O／ ad1 ．r-(Z
。
1： z2)tan a d／zl (3) Itan =( 1+ 2) d／ 2． 、2)以节点 P为界点，齿条刀具斜直线部分高度：2，(4)【hp2=N2Psin d=mz2sin ／2.

3)根据式(4)，齿条刀具斜直线部分高度之和：hp=hp1+hp2=m(z1+Z2)sin d／2． (5)4)非对称齿条刀具圆角高度为fgl=r 一r2一hP1+C1 m(z2COS d／cos a 一lzIsin ad—z2+2c )／2，Ig2=rd1一rI—hP2+C2 m(zICOS d／cos O／adl一[z2sin d—zI+2c )／2.

(6)式中，c 、c 分别为齿轮 1和齿轮2的顶隙系数.

5)非对称齿条刀具齿全高：(8)7)非对称齿轮齿顶圆的齿顶厚 ：s。1=r。1{[1f+2x1(tan d+tan O／ )+2 1]／ l+(inv d+inv 0c 一inv l—inv 1)}，s。2=r {[1f+2x2(tan d+tan )+2 2] 2+(inv ad+inv 。一inv 一inv )}.

(9)式中：inv为渐开线函数，inv =tan 一 ；r口1=(0．5z。+ + 1)m，为齿轮 1的齿顶圆半径；r。2=(0．5 + + )m，为齿轮2的齿顶圆半径.

8)当s。。：s。：时，切向变位均衡系数 ：△f={竹(ra2zl—ralZ2)一2x1(tan O／d+tan 。)。

(ralZ2+ra2Z1)+ZIZ2[(inv d+inv )。

(r 一r。1)+(inv 1+inv 们1)ra1一(inv O／ad2+inv a )r。2]}／[2(r。lz2一r以z1)].

(1O)运用主动设计方法，本文研究的少齿数非对称渐开第7期 田兴，等：少齿数非对称齿轮主动设计与温度场分析 ·909·线齿轮的参数如下：齿数比z。 2为6／10，模数为10 min，变位系数 、 ：分别为0．2、一0．2，齿宽为10 cm，齿顶高系数为0．92，顶隙系数为0．18，压力角为30。／20。.

2 齿面摩擦热流量的计算齿轮在任意啮合位置接触点 C处的主动轮与从动轮的摩擦热流量可以由下式分别表示：g 。=卢 g =卢 ，q =(1一卢 )q =(1一卢。)nfa日 ， (11)． rad；M为齿轮传动比.

(12) 图2 齿轮啮合示意Fig．2 Gear meshing式中：q 、q 分别为主动轮和从动轮摩擦热流量；为摩擦热流密度分配系数 ；叼为热量转换系数，．，7=0．9～0．95；f为齿面摩擦系数； 为齿面平均接触压力；Vo为齿轮相对滑动速度；A 、A：分别为主动轮和从动轮导热系数 ；P 、P 分别为主动轮和从动轮材料密度；c，、c 分别为主动轮和从动轮材料比热容.

主动轮和从动轮选用相同的材料，所以卢，= 、 √_、一 = — —
． +~／—A2p2—c21／2 +(13)2．1 齿轮相对滑动速度的分析轮齿的相对滑动是衡量摩擦热流量大小的重要因素．在分析啮合面切线方向的速度时，引人无量纲参数，来表示啮合线上任意点 的线性坐标.

如图2，以理论啮合线Ⅳ Ⅳ2为坐标轴，以Ⅳ。一Ⅳ2为正方向，节点P为坐标零点．任意一点 的无量纲坐标 为Px N x— PNt_f 二 —— == _ PN PN!兰! 二二 竺!：—tan—ax一1
． (14)rbdltan d tan Otd则主动轮和从动轮沿啮合面切线方向的绝对速度。、 为主动轮和从动轮沿啮合面切线方向的相对滑动速度 为： I V。一v2 I： sin (1 0 )l I．(16) = = r6d。 +二
式中： 为主动轮角速度，rad／s； 、n 为主、从动轮转速，r／min； 为主动轮任意啮合位置的压力角，2．2 齿面摩擦系数的计算影响齿面摩擦系数的因素很多，如：齿面的材料、粗糙度、润滑油动力粘度．此外，齿轮的转速和承受的载荷对齿面摩擦系数也有一定的影响．由于摩擦系数计算非常复杂，工程中通过实验测量来确定平均摩擦系数．本文根据 Buckinghanl摩擦系数经验公式，齿面摩擦系数，可表示为=0．05e刊 +0
．002 ． (17)由图3综合考虑，本文取齿面摩擦系数f=0．05.

薮1辎{I卧图3 齿面摩擦系数分布Fig．3 Tooth surface friction coefi cient2．3 齿面接触应力的计算齿轮齿面平均接触压力公式为订H ． (18)式中：F 为啮合齿面的法向载荷，N； 为齿轮材料泊松比；E 为齿轮材料弹性模量，MPa；R 为齿轮曲率半径，mm；b 为接触线的长度，mm.

啮合点处于单齿啮合区时，其接触线长度为b =b；当啮合点进入双齿啮合区时，接触线长度变为 bH= 2b.

5 n n+ 一l 一； 一如 = =哈 尔 滨 工 程 大 学 学 报 第 34卷3 对流换热系数的确定 齿顶计算齿轮润滑油的对流换热系数，本文采用的润滑油在 60~C时的性能参数如下：运动粘度 =80~10 m ／s，比热容c，=2 000 J／(kg·K)，热导率A，=0．133 7 W／(m·K)，密度Pf=998 kg／m。.

齿轮的对流换热系数，没有成型的理论可以精确计算，下面给出的是国内外文献 中提供的经典公式.

端面= c 9 ’ -( )齿根、齿面0。1 14 Re pr1／3Ah =—————————— ． (2o)齿顶h d=0．664A，Pr 。( ) ． (21)式中，P 为润滑油的普朗特数 ，P，：p_：vf：
． 4 轮齿本体温度场的有限元计算4．1 轮齿温度场计算原理轮齿温度可分为稳态本体温度和表面瞬态温度.

表面瞬态温度呈周期性变化，但仅限于热表层，影响很小．所以，在进行齿轮温度场分析时，将轮齿的本体温度作为稳态温度场进行处理.

如图4，整个齿轮的求解域为 D，把求解域划分为E个单元，z个节点．在求解域D中，T=T( ，Y， )为满足边界条件的本体温度场温度函数．泛函 ( )的表达式为，c ： 【( 。+( +( ])dxdydz+【^ 一To)-ql Tds+ [hemc T一 ，】Tds+【 吾一 ，] s+ 【 c T—To)]Tds.

(22)式中：A 为齿轮的导热系数， 为环境温度.

使，( )取极小值，用 (T)=0来计算求解域的温度函数．求解以上方程必要的边界条件如下：工作齿面一 A =h (T一7"0)一q． (23)非工作齿面、齿根一 A t／一Jr=h
。 (T一7"0)． (24)一 A = (7'一 )． (25)端面一 A ： d ( 一 )． (26)轴孔内圈一
o1
：0． (27)dn进行有限元计算时，离散计算区域，得到单元温度函数，将其代入单元的泛函r．于是，对 ，( )变分求极值问题就转化为对，( )各节点温度求极值问题，得到总体热平衡方程的矩阵形式，即Q=日 · ． (28)式中：Q为总的热流量矩阵，日为总的热传导矩阵，为总的温度列矩阵．求解式(28)，就可得到齿轮有限元模型各节点的温度值.

(V区 )lH区 )图 4 少齿数非对称渐开线齿轮加载边界Fig．4 Loading boundary for small numbers of teeth4．2 轮齿本体温度场的有限元分析摩擦热流量是随啮合位置变化的量，在有限元分析中不能作为常数加载．本文运用 APDL对摩擦热流量进行加载：用公式编制程序，计算出每一节点处的摩擦热流量，利用循环语句依次加载到单元表面上.

少齿数非对称渐开线齿轮的本体温度场分布如图5所示．由于摩擦热流量的输入，轮齿的温度明显高于齿轮轮体．齿轮的最高温度出现在分度圆靠近齿顶的位置，齿轮轮体上温度几乎相等.

从图6可以看出，沿齿轮啮合面方向，温度出现2个峰值，分别是齿根和齿顶附近；沿齿宽方向，由于轮齿端面散热条件好，轮齿表面温度沿齿宽方向对称，轮齿端面的温度值略低于中部.

图7中，当转速为 3 000 r／min、载荷从 183．8 N／mm增加到 367．6 N／mm时，载荷比值为 2，齿轮的最高温度从 87．55℃增加到115．12~C，温升比为 1．31．当载荷为 275．7 N／mm、转速从 2 000 r／min增加 到4 000 r／rain时，速度 比值为 2，齿轮的最高温度从第 7期 田兴，等 ：少齿数非对称齿轮主动设计与温度场分析100℃增加到 109．5l℃，温升比为 1．10．由此可见，载荷对温度的影响比转速要大.

当齿轮的载荷和转速增时，由式(11)、(16)和(18)可知，啮合面的摩擦热流量增加．但是载荷的增加，对对流换热系数的影响很小；而转速的增加，导致对流换热系数增大．所以载荷的温升比会大于转速，载荷对温度的影响要比转速大.

从图8可以看出，齿轮最高温度和最低温度分别随着油温的增加呈线性增加．油温每增加 10℃，齿轮的温度也相应增加了约 10℃．油温直接影响齿轮的温度，这也说明控制油温对降低齿轮温度的重要性.

64．82l 70．307 75．793 81．279 86．76567．564 73．05 78．536 84．022 89．508 (C)图5 本体温度场分布Fig．5 Bulk temperature field distribution根图 6 啮合齿面温度分布Fig．6 Meshing surface temperature distribution氇堡j赠1Ⅱ匡略埴翘图 7 齿面最高温度随载荷和转速的变化规律Fig．7 Change rule of the highest tooth surface temper-ature with load and speed赠蝈油池温度／℃图 8 不同油温下齿轮的温度Fig．8 Gear temperature with diferent oil temperatures5 轮齿本体温度最大值近似表达式速度、载荷和油温是影响齿轮本体温度的重要因素．为了预测在不同转速、载荷和油温下的齿轮本体最高温度，为齿轮设计提供可靠的依据，建立了少齿数非对称渐开线齿轮齿面的本体最高温度随转速、载荷和油温变化的近似表达式：Tm ： + il一60． (29)其中：=一8．675 × 10—9 + 1．072 × 10—4n+ 0． 153.

6=6 × 10一 几 一6．18× 10一 n+ 24．225.

式中： 为温度系数，6为指数系数， 为法向单位线载荷， i。为油温， 为齿轮本体温度最大值.

6 少齿数非对称齿轮传动系统温度场试验试验采用封闭功率流式齿轮试验台一MRc一1型FZG摩擦磨损试验机，试验台主要包括一对试验齿轮及一对驱动齿轮，现场试验布局如图9.

图 9 齿轮试验台F．g．9 Gear experiment bench从表 1可以看出，在一定的转速和载荷范围内，有限元分析获得的仿真值以及拟合公式得到的近似值，与试验所得数据比较接近，证明了运用有限元方法分析少齿数非对称渐开线齿轮温度场的正确性．试验值比近似值要大，主要原因是有限元分析中没有加· 912· 哈 尔 滨 工 程 大 学 学 报 第 34卷入齿轮轴，但是在试验中，齿轮轴轴承旋转摩擦生热对齿轮温度分布会产生影响．随着载荷和转速的增加，试验值与仿真值差值也逐渐加大，表明轴承摩擦生热也在增加．但是两者相差不大，也说明齿轮轴轴承摩擦生热对齿轮的温度分析影响不大．在以后的齿轮的温度仿真分析中，考虑轴承摩擦生热的影响会提高分析的精度.

表 1 试验参数和结果Table 1 The experiment parameter and result7 结论1)运用主动设计方法，对少齿数非对称渐开线齿轮的啮合机理进行了研究，推导出了齿轮各参数的关系式.

2)在啮合面，齿根和靠近齿顶的位置，温度分别出现 2个峰值，最大值出现在靠近齿顶的位置，轮齿表面温度沿齿宽方向对称，端面的温度值略低于中部.

3)转速、载荷和油温是影响齿轮温度大小和分布的重要因素，推导了少齿数齿轮齿面的本体最高温度随转速、载荷和油温变化的函数表达式，为齿轮的优化设计和润滑改进提供可靠的依据.

4)运用有限元分析获得的结果，与试验测得的数据比较接近，证明了有限元方法分析少齿数非对称渐开线齿轮温度场的正确性．温度场的分析结果，为进一步研究齿面闪温、热应力、抗胶合能力和齿轮修形提供了研究基础.

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