偏置面齿轮齿面方程和仿真

面齿轮传动相当于圆柱齿轮和锥齿轮的啮合传动。当轴交角 y90o，锥齿轮轮齿将分布在-个平面内，此时锥齿轮就是面齿轮，因此被认为是面齿轮传动，这种齿轮传动可以应用于相交轴和交错轴之间运动的转换1 I。相交轴面齿轮传动-个重要的应用例子就是在直升机传动中[3]。根据加工刀具轴线和被加工的齿轮轴线之间的关系，面齿轮传动可以被分为四种类型：正交面齿轮，非正交面齿轮，偏置正交面齿轮和偏置非正交面齿轮。曲线齿面齿轮传动是-种新型的齿轮传动副，它是-种曲线齿面齿轮与圆柱蜗杆相啮合的传动。根据小轮的特征可以称其为偏置圆柱蜗杆传动，而根据大轮的特征可称其为曲线齿面齿轮传动。以正交偏置曲线齿面齿轮作为研究对象 ，如图 1所示，小齿轮是 ZA型圆柱齿轮，大齿轮是面齿轮，在啮合过程中面齿轮轴线垂直于蜗杆的轴线，而且两者轴线之问有-定的偏置距离。

2建立坐标系参考齿轮的啮合特性，在蜗杆与面齿轮啮合过程中，采用如下的四个坐标系。如图 1所示 ，蜗杆 l和面齿轮 2上两个固定坐标系初始位置分别为：s -O。ij 和 St-Ov ， 同连在蜗杆 1和面齿轮2上的运动坐标系分别为 s.-0，il 。和 sf-0： ： z。

坐标系原点0 0 是重合的，是面齿轮轴线和齿顶的交点， 、轴和面齿轮轴线重合，kp，k。和蜗杆的轴线重合 √ 轴和蜗杆的轴线平行；坐标系原点 O。，O。是重合的，是啮合参考点(面齿轮齿宽中点)在轴 方向和蜗杆轴方向的交点，在交点处的轴 ，k 和蜗杆轴是重合的，轴 i和面齿轮轴向是平行的。 ，和 代表各运动坐标系相对于其吲定坐标系的旋转角度。以下是辅助坐标系和其他各坐标系的基本矩阵变换。

辅助坐标系如下：s [0 ； ，jq， ]-空间固定坐标系。让SoEO。； ， ， 沿 轴移动距离 b；Sr[Or； ，√，， ]-空间固定坐标系，让 s Eo ； ， ]沿-i轴移动距离 n；基本的坐标转换矩阵如下：来稿日期：2012-06-17作者简介：徐伟俊，(1973-)，男，宁波象山县人，工程师，学士，主要研究方向：机械产品设计与加工李 清，(1974-)，女，副教授，博士，主要研究方向：先进制造方面的研究第4期 徐伟俊等：偏置面齿轮齿面方程和仿真 95M01 MsCOS妒1sin 10 00 O1 0 0 0O 1 0 00 0 1 0O 0 0 10 00 01 O0 11 0 O 00 1 0 0M v - I!O 0 1 -60 0 0 l0 0 -l O0 1 0 -c，1 0 0 0cosg：2-sing：2 0 0sing：2 cosg：2 0 0O 0 1 00 O 0 10 0 O l图 1面齿轮传动坐标系Fig.1 Face Gear Drive Coordinate System在上述的矩阵中， 。是从坐标系s，转换到坐标系s ，其余的各坐标系转换与此类似。此时，我们可以得到如下的关系表达式：M2FM o1- sing：lsing：2-cosg：lsing：2 cosg：2-bcosg：2csing：2SI3g：ICOS妒- C05 1Osing：2-bsing：2-ccosg：2O -0O 13蜗杆齿面方程3.1 ZA型圆柱蜗杆加工原理和齿面方程这种蜗杆用直线刃车刀加工，如图2所示。车刀切削刃安装在蜗杆的轴截面内[31。直线刃车刀的几何形状，如图3所示。

图2加工阿基米德蜗杆的车刀的安装Fig.2 Installation of Processing Archimedes WormS Cutter考察两条产形线 I和I嘲，它们分别形成蜗杆齿槽两侧的齿面 I和 Ⅱ。两条产形线表示在与车刀刚性固接的坐标系S 中。当坐标系s 绕蜗杆轴线作螺旋运动时，相应的蜗杆螺旋齿两侧的齿面就被加工出来，如图4所示。被加工出的齿面在坐标系 S 中用下列矩阵方程表示 ：，(， ) 6( )· ( ) (2)式中：坐标系Js 刚性固接于蜗杆； -螺旋运动的回转角 ，参数确定产形线上流动点的位置，并且从产形线与 轴的交点处测量 。这样，对左产形线 Ⅱ上的流动点 口 ， 丽 ，同理，对于右产形线 I上的流动点 A ， 。

日IJ图3直线刃车刀的几何形状Fig-3 Geometry of the Straight Edge Tool图4螺旋运动隋况下的坐标变换Fig.4 Coordinate Transformation in Spiral Movements在坐标系S 中，曲面的单位法线矢量用下列方程表示：(， ) × ) (3)其中， 1/l ，上面或下面符号的选取要根据下列条件，即齿面的单位法线矢量指向蜗杆的螺旋齿。

M16cosO-sinO 0 0sin0 cosO 0 0(4)0 0 1-pO 0 0 O式中：P-螺旋参数，P ，是-个算术值(p>0)。pO的选择分别对应于加工右旋蜗杆和左旋蜗杆的情况。

利用方程(3)和(4)，我们可以在坐标系Js 中表示蜗杆齿槽两侧的齿面方程和齿面的单位法线矢量。在这里 ，以左旋蜗杆作为研究对象，左旋阿基米德螺旋蜗杆齿面方程为：机 械设 计 与 制造NO.4Apr.201 3(1)齿侧面 I的阿基米德螺旋齿面方程； . i. 2l1 in叫 。tga-业2)-pO(5)： ina-rptga- ).p)1 釜] ke象 Or ，：l J Ij!十月 ；Ij方 1 1 I所以阿堪米德蜗杆 轮齿面 1上任意 点的 化法欠 能够丧示勾：nln jI i1n l 11k1nMi-]i-(- )siI i” 。

l7n lj- f-pcosOusitcsinO” CO SOL内 lI-任意-点的单位法矢硅在 际系s r1表尔为在方程中： 所以阿基米德蜗杆齿轮齿面Ⅱ上任意 -点的 位法矢量能够表示为：， ： i nz12- (psinOusincaosO4杆齿面和被加工面齿轮在接触点处的相对速度蜗杆 面和被加工面 轮在齿轮接触参号点 P的卡1埘速瞍为[31：： 、- f2)在公式f， 怀1、2”分别表示蜗杆和而 轮 ，，J、 0”所的空间 标系 (2表，J：蜗卡r任坐标系S№的旋转角速度， 表尔蜗”坐抓系s 中的旋转角速度，将从坐标系 转换刊 标系 巾，需要川到坐标转换矩阵M ，： l- 0 0 I，、足参考点 P在坐标系s。中的l，人 ，参l茁点 t 系 s中的矢 足已Ⅻ的， #-0/I/。 ； ，Mo 是从 l 系 S 钊坐标系 S ，的标转换矩阵在坐标系S0 rfj：-0102：L-n c b得到了相对速度：- ( 1 slnq2lyl s l JI12(1 III( l(I)s l-，l sing1)- 2 1bw2602 lXI sin iYl cos l j-co)!Nx，t速度仵 系Slt 为：- I-嘧l。i2jsin I6 sin Il1 c l I：l·i2 I ·i21oos l (9)!I sinqI clls妒I)-( 。i21 j式 f1 - 轮的传动比，其中 ：篙 1 -5偏置面齿轮的齿面方程m齿轮啮合理论知道，闪街轮齿面啮合的条什为 In ，. 0 t 10将疗程(7)卡l(9 J带八(10)，得到啮合方程和虫呙杆 fo14 mI I的嗡台方程：蚱 ： 12 ) ，..tl 2： 1 1n 0 t I l门l !，l Ijl1 n l yln Il l将方程(8)和9)带入lo) 僻刮啮合 程和蜗卡l，Ii-，l'1)!ij而 U的啮合方程：21 5 (，2) I17。 t12 嚣 . (12)rL/)z1 0 2。 l2： l 2 凡 12 vl 212： l利用公式(1)，将蜗杆齿面任-点的欠鲢转换剑 抓系S：中：× - ×No.4Apr.2013 机 械设 计 与 制造： . ·；。 (13)联立方程(5)、(7)、(11)和(13)，得到了偏置面齿轮∑I的齿面方程，其被蜗杆齿面I包裹：f 0I f- l1sino1sin，2-yl(：os sino2zIcos r]r2bcos2csin2·；1 lsin lcosqhYlcos lcos 2。1sin 2-6sin rccos 2IiCOS I)，1tsmt-a(14)联立方程(6)、(8)、(12)和(13)，得到了偏置面齿轮 ∑Ⅱ的齿面方程，其被蜗杆齿面Ⅱ包裹：02M2- xt2sln tsrn 2-y12cos IS1YI - 2cos 2-bcos2csinq2· xl2singlcos 2y2cos Ic0s 2 l2sinqr6sin 广cc0s2cos l yI2sinO，-a面齿轮齿面，其步骤为：曲面放样-曲面缝合-移除缝合-阵列，就得到了偏置面齿轮的仿真。

在本例中，小轮为左旋渐开线圆柱螺旋齿轮，设其基本参数为模数为 0.75，齿数为 6，螺旋角为55。，压力角为 20。，齿高系数为1，径向间隙系数为0.25，高度变位系数为0.45。根据上述推导的数学模型，最后在 SolidWorks中建立的实体模型，如图6所示。

图 6偏置面齿轮的仿真Fig.6 Simulation of Offset Face Gear(15) 7总结6真实齿面生成在面齿轮齿面生成之前，首先要确定面齿轮的基本参数，如齿数，模数，压力角等，再通过使用 MATLAB编程计算面齿轮的最须径和最大半径，结合接触点选择内半径和外半径的最优值。从方程(14)和(15)可以知道而齿轮齿面方程包含两个参数 0和 ，MATI AB计算和 SolidWorks仿真的流程图，如图 5所示。

I ! 里 堡 些：! 垫塑 - ! !： ： 里l图5齿面生成流程图Fig.5 The Flowcha of Generating Tooth Face齿面生成可以被分为如下 4步 ：(1)让 Z2-7C(c是-个常数 )，就可以得到参数 0和 的关系方程式 ： ( )；(2)在啮合条件下得到了0和 的范围，给 0取 n个离散的值，就可以得到相应的 n个值；(3)将相应的 0和妒的值代入到齿面方程中，就可以得到 n个离散点的坐标 ，这 n个离散点可以在三维软件中拟合出-条曲线；(4)取不同的 Z值，就可以得到 m条曲线，结合 n条曲线就可以得出面齿轮的齿面。

面齿轮齿面除了T作部分也包含齿根过渡曲面，它是由刀具的齿顶阋和齿廓相交形成。工作的齿面和过渡齿面才是面齿轮- 个完整的单侧齿面。在 MATLAB中编程计算得到了面齿轮齿面独立基准点标记，通过-个后缀名为.1xt的文件输出I I，然后在SolidWorks巾仿真。具体步骤为：插人-曲面-通过 XYZ点的曲线-选择 -lxt文件，得到最后的曲线。在最后这些曲线就构成了基于啮合理论研究和推导偏置面齿轮齿面方程 ，将通过MATLAB计算过程得到的数据点导人到 SolidWorks中就得到了偏置面齿轮的模型。