综合啮合刚度归一化的齿轮副动力学修正模型

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齿轮传动系统的动态激励有内部激励和外部激励两类，内部激励是齿轮传动较特殊的激励类型1J。由于齿轮在啮合过程中同时参与啮合的轮齿对数是周期变化的，使得其啮合力发生周期性变化。

同时，齿轮轮齿的啮合综合刚度也随时间周期性变化，在系统的动力学分析模型中，反映的是弹性力的周期性时变参数，时变啮合刚度是影响齿轮传动系统动态特性的核心因素 。

对于齿轮时变啮合刚度的获得方式，目前主要有有限元法、半解析法和简化方波法 。这些方法主要停留于分析由软件模拟仿真得出的结果上，没有建立起高效严谨的动力学理论模型，其分析过程和结果均是离散的，因而不能准确反应任意时刻的齿轮啮合动态特性。针对齿轮传动时单齿啮合区段与双齿啮合区段的差异，拟对齿轮的啮合刚度进行归-化定义，使对应的动力学模型在时序上实现连续，从而达到能分析任意啮合时刻动态特性的目标。

2时变综合啮合刚度的归-化- 对齿轮啮合时，由于外载荷的介入，主动、从动齿轮的轮齿均会发生弹性变形。设kt.k 分别为主动、从动齿轮在啮合点处法向方向的啮合刚度，则-对轮齿的啮合刚度i 可以视为.i。和k 的串联结果 ，即有 ：， kk2- 般情况下，直齿轮的重合度 1≤s≤2，因此啮合过程中发生着-对齿啮合和两对齿啮合的交替。当两对齿啮合时，其各自的啮合刚度kmlk 可视为并联，则整个齿轮副的综合啮合刚度为可表示为：k - 。 (2)由于在齿廓线的不同啮合位置时，各轮齿的变形量不同，因此，轮齿的啮合刚度 k 是啮合点位置的函数，且具有时变性和突来稿日期：2012-10-06基金项目：江苏省首批高校优秀中青年骨干教师和校长境外研修资助项目(JSI20110930)作者简介：金旭星，(1971-)，男，硕士，讲师，主要研究方向：机械创新设计244 金旭星：综合啮合刚度归-化的齿轮副动力学修正模型 第8期变性〖虑到啮合过程中的单齿啮合和双齿啮合的交替变化，啮合刚度具有明显的周期性。为进行啮合区段的归-化，这里将啮合刚度统-表示为以啮合频率为基频的傅立叶级数型式k，，，-- k ∑ki(3os( 州， ) (3)l式 ： 。-平均刚度；各齿轮的力矩平衡方程为lp9p r-FRp1 ：～T FRg g g g由式(5)、(6)可得：(6)- 齿轮副啮合频率； R ∑ (o n -O R ～ )c ( 尺 -oR ～ )西.-第 i阶分量的幅值和相位。

与式 (3)对应的单齿和多齿啮合时的综合啮合刚度变化规律曲线，如冈 1所示。经归.-化处理后，曲线实现了在时序上的连续 实际进行分析时，可将曲线近似为矩形波函数处理。

， 、6苎4篓警孽0旋转角度(。) 旋转角度(。)皋1 1归 -化后的齿对综合啮合刚度曲线Fig.1 rile Normalized Curve for IntegratedMesh Stiffness of Gears3齿轮副动力学模型的建立鉴于-般齿轮传动的传动轴的柔性比轮齿的柔性要小，且小在同-数量级。因此，可在只考虑齿轮副处的弹性变形情况下，建立齿轮副的动力学模型，如图2所示。其中，主动、从动齿轮的基圆半径分别为R 、R ，k 为齿轮副的综合啮合刚度。在两个轮齿之 还有齿廓误差 e(t)的介入。此外 ，还考虑了齿轮副的啮合阻几三系数 。7 ，和 分别为两轮所受的扭矩， 和 分别表示两轮的转角，，fJ和 分别为两轮的等效转动惯量。

被动齿轮 --～图2齿轮副的动力学模型Fig.2 Fhe Dynamics Model of Gears Pair设齿轮啮合过程时的重合度不大于2，则啮合齿的对数i(1.2)在啮合线上的综合变形可表示为：6l-R - R ～ 4)℃J：e，-啮合齿埘 i的齿廓误差。

计入啮合阻尼的齿轮动态法向啮合力可表示为：∑ ∑ 6 。 )：∑ (OR，-O R -e 1c ( 尺 - - )] (5)∑[ R - -e ) ( R - R - )l- (7)由上式可以看出，即使主动齿轮转速以及传动载荷恒定，南于综合啮合刚度k 的变化，也会使从动轮的转速出现波动，即造成齿轮的圆周振动，使传动产生动态啮合力，从而形成对整个系统的振动激励。

为便于讨论时变综合啮合刚度 k 对动力学方程(7)的影响，将模型进-步简化∩定义啮合线上两齿轮的相对位移 为： R -OgR (8)不考虑齿轮传动效率，齿轮的静态啮合力为：Fo将式(8)、(9)代入式(7)，即可得到标准格式的动力学方程：m xc xk Fd (1O)式中：m -系统的当量质量；广激振力，且：(1 1) m -- 丘- Jl R l R ∑Cm ∑ e (12)式(10)即为齿轮轮齿啮合过程中沿啮合线方向的直线振动方程，它考虑了综合啮合刚度的变化。显然，在无任何外界于扰力作用的情况下，振动仍会发生。所以，正常运转过程中的齿轮振动其性质为内部激励振动，而啮合轮齿刚度的变化在啮合副的轮齿间构成了激振力。与方程(10)对应的系统固有频率可表示为：(13)显然，系统的固有频率也是综合啮合刚度的函数，即在-对齿轮啮合期间和两对齿轮啮合期间存在着明显不同的固有频率，这与-般机械传动的固有频率特注明显不同。

4分析与讨论为量化研究由式(10)表述的弹性动力学模型，以下对-具体算例进行分析。设定齿轮副的结构和运动参数为：齿数 zIzF-47，模数mBmln，齿宽 b15mm，转速 n375r/min，扭矩 T41.8N.m。

式(1o)属二阶非线陛微分方程，无法采用常规方法求解，必须采用数值分析方法，这里采用四阶龙格库塔法(Runge-Kutta)m。

数值分析时，设定初始参数，然后在 MATLAB中编制-个与式(10)对应的程序文件，再利用其包含的四阶龙格库塔算法拈No.8Aug.2013 机械 设 计 与制 造 245Ode45”进行求解。由模型(1O)计算出的齿轮切线加速度和齿根应变随时间的响应结果 ，如图 3、图4所示。

由图3、图4可以看出，在轮齿的-个啮合周期内，正是由于综合啮合刚度的不断变化，导致了单齿啮合区段与双齿啮合区段的振动激励响应效果的不同。在单齿啮合时，切线加速度的平均值及突变幅度均较大。双齿啮合时，由于每对啮合轮齿所受的载荷要比单齿啮合时小，因而其切线加速度响应值较小，虽然两对轮齿的合成应变比单齿啮合的应变大，但其平均值仍比单齿啮合所得到的应变校因此，齿轮传动在进入双齿啮合区段时较平稳 ，其本质原因是其振动较小，这与常规理论分析的结论是-致的。

理墨B图3切线加速度响应曲线Fig.3 The Responding Curve ofTangent Acceleration图4齿根应变响应曲线Fig.4 The Responding Curve ofGear Root Deformation齿轮啮合线方向的幅频特性 ，如图 5所示∩以发现，在计入经归-化后的时变啮合刚度的条件下，幅频特性曲线的振幅在角频率 50rad/s以后开始急速衰减。但在急速衰减之前却存在着两个振幅较大的谐振区，分别在角频率 15.2rad/s和 49.8rad/s时，其振幅值均在 0.O13mm左右。而按照传统动力学模型分析时，只会出现-个振幅最大值，计算结果与传统结论之间有较大差异。

其原因在于，式(3)的啮合刚度值是受包括角频率在内的各个初始参数值大小综合影响的结果，虽然各初始条件同时改变，其啮合刚度的计算结果却存在相同的可能。因此，确定齿轮转速时，避开谐振峰值的转速不是-个 ，而应是两个。

鲁墨0.0l倒譬/-. ./ ./， 、. /。 、 0 10 2O 30 40 5O 60 70 8O角频率 w(rad/s)图5切线幅频特性Fig.5 Amplitude-Frequency Characteristicsto Tangential Direction本例中的齿轮转动角频率为：- ： 39.3rad/s不在谐振区范围。

啮合周期为： -7 3，4×10～s计算结果与图 3中加速度曲线中单齿啮合与双齿啮合的总周期是呼应的。因此，上述分析结果与实际状况较吻合，模型(10)是可靠的，适于分析齿轮副的动态特性。

5结论(1)齿轮传动时，由于同时参与啮合的齿对数的交替变化，齿轮副的综合啮合刚度也将周期性变化。综合啮合刚度对齿轮副的动态特性影响较大。

(2)齿轮副在单齿啮合与双齿啮合区段时的综合啮合刚度是不同的，利用傅立叶级数将两区段的综合啮合刚度进行了时序上的归-化处理，从相应的动力学模型分析结果显示，这种处理方法是适合且高效的。

(3)在将综合啮合刚度的时序归-化后，由相应动力学模型计算得到的谐振峰值不惟-。说明齿轮的综合啮合刚度值受到多种因素的影响。在开展齿轮设计及维护时，应综合协调考虑齿轮副的各个结构参数及运动参数。