双圆弧齿轮传动多目标优化设计

双圆弧齿轮传动是近几十年发展起来的-种新型齿轮传动。它具有承载能力高、使用寿命长以及能在高速和重载条件下工作 的特点。 目前国内外针对双圆弧齿轮传动系统的研究 尚处于初级阶段 。从它的基础理论 、设计方法到实际应用，还有许多问题有待解决。

双圆弧齿轮的齿形参数直接影 响着双 圆弧齿轮的承载能力 和传 动性能 ，而齿轮参数 的优 化设计还是 目前研究 中 的薄弱 环节。本文 根据 齿 轮啮合 原理、双圆弧齿轮的设计方法和规范，摈弃传统的多 目标优化设计方法 ，对现有 的用 于两 目标优化设计 的粒子群优化设计技术加以改进，给出约束 3目标现代优化设计方法，在追求综合性能最优的前题下对双圆弧齿轮的齿形参数进行优化，以充分发挥双圆弧齿轮传动系统的潜能，达到最佳的技术经济指标。

1 纵向重合度纵向重合度 8 对双圆弧齿轮的承载能力、振动和噪声有重大的影响。合理选用重合度，可以提高齿轮传动的承载能力，减轻振动和噪声。

重合度由整数部分肛 和尾数部分 Ae组成：日 Ae选认大的重合度，可以提高传动平稳性和承载能力 。但是 采用大重合度 时，传 动系统对齿距误差 、齿向误差、轴线平行度误差和轴系变形量会特别敏感。因此采用大重合度时，必须严格限制齿距误差 、齿向误差、轴线平行度误差和轴系变形量。否则不能保证几个 接触迹均匀地承担载荷 ，不能达到传动平稳和应有的承载能力 。

尾数 △ 取得太小时，则当接触鉴入或脱开齿面时 ，端部齿根 弯曲应力过 大，容易引起齿端崩角。

随着尾数的增大 ，端部应力将有所减小 。但 Ae增大到 0.4以上之后 ，应力减泻慢。△s取得太大时 ，增加了齿宽而不能使每-瞬间都增加接触迹数目 。

整数部分 的常用范围为 1～6，尾数部分 A8的常用范围为 0.2～0.4。

收稿 日期 ：2012-11-17作者简介：郭波(1979-)，男，辅南平人，武夷学院电子工程系讲师，工程硕士，研究方向为机械设计与制造，(E· 134· 组合机床与 自动化加工技术 第 6期综上所述 ，为选取适宜 的纵向重合度 ，本文改变传统的设计方法中将重合度作为约束条件的做法，而将重合度作为-个追求的目标函数。

2 齿面相对主曲率圆弧齿轮的啮合齿面是-对共轭齿面。-对共轭齿面的曲率情况用相对主曲率来表征。

：式中：kmax-齿面相对主曲率，mm～；- 传动比；- 压力角 ，(。)；- 螺旋角，(。)；z -小齿轮齿数 ；m -模数 ，mm。

根据 Hertz弹性接触理论 ，齿 面相对主曲率越小(即相对曲率半径越大)，齿面接触应力越小，接触强度越高；根据弹性流体动力润滑理论 ，齿问最小油膜厚度越大 ，抗胶合能力越强。因此 ，以追求齿面相对主曲率最小作为第二个 目标函数。

3 双圆弧齿轮传动约束多目标粒子群优化设计为使双圆弧齿轮传动获取最佳的技术经济效果，本文以纵向重合度在-定条件下最大、齿面相对主曲率最邪齿轮传动总体积最小为同时追求的三个 目标函数 ，这是-个 3目标优化问题。3个 目标没有公度性 ，且相互关联、相互制约、相互冲突，不宜用传统的多 目标优化方法进行处理 。这是 因为传统 的多 目标优化方法是将 3个子 目标通过权重 的设置聚合成-个带正数的单个 目标函数进行优化，系数由决策者决定 ，或者 由优化方法 白适应调整。传统方法在处理这类问题时至少存在着如下两个缺陷：首先 ，3个 目标函数没有相 同的物理含义 ，量纲不-致 ，没有可 比性 ，将 3个 目标 函数转化为-个单 目标 函数缺乏科学性 ；其次 ，通过权重的设置将多 目标 问题转化为单 目标问题 ，带有较浓重的主观色彩 ，难 以反映客观真貌。权重的设置要求设计者有长期的研究经验和厚重 的领域 知识 ，稍有偏差就会大大 影响多目标最优解的产生，因此合适地选取权重并非易事。

粒 子 群 优 化 算 法 (particle swarm optimization，PSO) 在解决约束多 目标优化 问题 中得到有效应用 。在文献 [5-6]中提出的寻优原则和搜索方法基础上，给出本文范例约束 3目标粒子群优化算法。算法并非将3个子目标函数通过权重的设置聚合成为-个单目标进行优化，而是首先在可行域内初始化-个粒子群体，然后通过各个子 目标函数共同指导每个粒子在可行域中向3个 目标函数不同时增大的方向-步步搜寻，最终使粒子落入非劣最优目标函数空间。

具体实现要点如下：① 以纵 向重合度的倒数( )、齿面相对主曲率 (X)及双圆弧齿轮传动总体积. (X)中的每个目标函数，找到粒子群体中相对应的全局极值 G(其中 1，2，3是 目标函数的个数 )和每个粒子 的个体极值 P㈨ (其中 i1，2，，Ⅳ是粒子群体中的粒子个数)。②在更新每个粒子的速度(相 当于有向步长 )时 ，用各个 G 的均值 g作 为全局极值。③每个粒子的个体极值 P 是通过判断矢量 P 相对于矢量 G 的离散程度来决定，是取P 的均值 ，还是在 P 中随机选龋算法流程如下 ，① 给定算例粒子群规模 Ⅳ，在可行域内随机产生各粒子的位置 和速度 V (i1，2，，Ⅳ)。②用 目标 函数 ( ) ( )和 ( )分别计算每个粒子的适应度值。③在 ( ) ( )和 ( )下分别对每个粒子求得个体极值。④对 . ( )、。

( )和 ( )分别求三个全局极值。⑤计算 三个全局矢量 的均值 g和每两个全局矢量之 间的距离 d。

⑥计算每个粒子个体极值之间的距离 d 。⑦对每个粒子计算更新速度 和位置 时所用 的个体极值 P ，如果 d

4 优化范例4.1 算例描述功率 P9000kW，转速 nl6054r/rain，n21485r/min，每天24小时连续运行，持久寿命设计。大小齿轮材料均 选用 42CrMo，单级人 字齿轮结 构，齿形 为GB/TI2759-1991标准双圆弧齿廓 ，齿 轮精度不低 于6级(GB/T15753-1995)。

4.2 选取 5个设计变量x[Xl，X2， 3，X4，X5]式中 ：X -小齿轮齿数 ； ：-法向模数 ；- 齿宽系数 ；X -螺旋角；- 齿端修薄长度。

4.3 建立目标 函数(1)将纵向重合度5.077Xl X3 tanX4- - - 最大(即倒数 ( )-1最小)作为-个追求的 目标 ；8(2)将齿面相对主曲率2.491 sin24 o sjn X.c0sX。

k ( )-- -- - I 1 2最小作为第二个追求的目标；2013年 6月 郭 波，等：双圆弧齿轮传动多目标优化设计 ·135·(3)将齿轮传动总体积)： ( )： (d d；)最小作为第三个追求的 目标 ；式中：6-经修斌单侧齿宽，mm；6：-5. 07-7X 3X2X-1二 COSA 4dI-zJ、齿轮分度圆直径，mm；d d：-大齿轮分度圆直径，mm；d：4.077d4.4 确定约束条件依据文献[7]和工程经验确定齿面接触疲劳强度约束条件、齿根弯 曲疲劳强度约束条件、齿宽系数约束条件、齿端修薄长度约束条件及限定设计变量的上下界。

4.5 优化计算用 MATLAB进行程序设计计算 ，循环 300次 ，结果得到 60组可行解及相应的 目标函数值 ，非劣最优目标域如图 I所示 。

5图 1 非劣最优 目标域决策者可根据自己的偏好选择其中的-组解作为最终方案。例如，选择综合性能都较佳的第 22组解作为最终方案 ：X [Xl X2 X3 X4 X5] [Z. m (b 卢 占] 31 10 0.5371 30.7176 10]式中： -齿宽系数；艿-齿端修薄长度 ；其它符号意义同前。

5 结论(1)本文给出了 3目标粒子群优化方法，并对范例成功地进行了优化，优化设计出的双圆弧齿轮传动即具有较高的接触强度、抗胶合能力 、较好 的平稳性及啮合特性 ，又具 有较低的产品成本。能够充 分地发挥摆针传动系统的潜质，比传统的多目标优化设计方法及通过每-单 目标进行优化的现代方法具有明显的科学合理性。

(2)由于其它齿轮的设计计算与双圆弧齿轮传动有相似的原理，可以将本文的优化方法拓展到其它齿轮传动中。该方法对于其他相类似的复杂机械传动系统的约束多 目标优化研究也具有-定的适用价值。