少齿数齿轮变位系数的研究

Study of modification coefficients of gear with fewer teeth ZHAO Xiang-fei -， TIAN Yan。， LIU Hong-qi ， ZHANG Jie。

(1.China Academy of Machinery Science and Technology，Beijing 100044，China；2.Colege of Mechanical Engineering，University ofScience and Technology Beijing，Beijing 100083，China；3.College of Computer and Information Technology，Nanyang Normal Universi-ty，Nanyang 473061，China)Abstract：The crest width and contact ratio of the pair of gears with fewer teeth，which were generatedby standard hob，were calculated under the minimum modification coefficient.The relationship be-tween the modification coefficient and the tip fillet radius was derived.Parametric finite element mod-els of undercut gears and modified gears were founded by APDL language of Ansys to analyze thetooth root bending stress.The results show that the minimum modification coefficients，chosen bystandard hob to avoid undercutting，make contact ratio become smaller or crest width become thinner，which can not meet the application requirements；while the minimum modification coefficients，whichare calculated through increasing hob tip fillet，can avoid undercutting to improve the tooth root ben-ding strength and make contact ratio reach 1.2 and crest width greater than 0.25 m。

Key words：modification coefficient；crest width；contact ratio；hob tip fillet；bending stress0 引 口少齿数(Z<10)齿轮传动具有单级传动比大、质量轻及结构紧凑等优点，适合于结构尺寸受限制的齿轮传动诚，已经广泛应用在齿轮油泵、汽车变速箱等领域 。

齿轮-般采用效率较高的滚齿加工，但应用滚齿范成加工受到齿数的限制，当标准滚刀加工齿轮齿数小于 17齿即发生根切。根切会使齿根强度和重合度减小，这对传递动力及精度要求高的诚是不利的。-般避免根切的方法是选择最小的变位系数，但对于标准滚刀加工齿数都较少收稿日期：2012-12-04；修回日期：2013-02-06基金玩目：国家科技支撑计划资助项目(2O12BAH32F05)；河南戍础与前沿技术研究资助项目(122300410306；112300410235)作者简介：赵向飞(1984-)，男，河北保定人，机械科学研究院博士生；刘红旗(1958-)，男，河南南阳人，机械科学研究院研究员，博士生导师；张 杰(196O-)，男，辽宁沈阳人，北京科技大学教授，博士生导师。

656 合肥工业大学学报(自然科学版) 第 36卷的两配对齿轮，选择最小变位系数会使重合度e<1.2，齿顶厚 S d0.25 m，达不到良好的传动效果，虽然减小变位系数会使重合度和齿顶厚增加，但减小变位系数又会使齿轮发生根切，这是相互矛盾的。

为了解决上述矛盾，本文对根切现象进行了研究，建立了滚刀刀顶圆角与变位系数的关系，求得满足要求的变位系数，再增大刀顶圆角。

以Z1-6、Z2-12的配对齿轮为例，对标准滚刀加工的根切齿轮、普通变位齿轮以及增加滚刀刀顶圆角后的变位齿轮进行研究，采用 30。切线法求得齿形系数 和应力集中系数 ，验证了分析结果的准确性。

1 根切与变位原理图1所示为采用标准齿条刀具切制齿数小于17齿的齿轮而发生根切的现象。虚线刀具表示未变位前的齿条位置，实线刀具表示变位后的齿条位置。O为齿轮中心，r为齿轮的分度圆半径，rb为齿轮的基圆半径，h 为刀具的直线切削刃高度，a为刀具的压力角， 为变位系数，m为模数，R为刀顶圆角半径，P为啮合节点，L。为虚线刀具的中线，Ls为实线刀具的中线。A点为啮合线与基圆的切点即极限啮合点，由于基圆内无渐开线，超过A点的滚刀直线刀刃不能范成渐开线齿廓，反而将根部已加工的渐开线切去-部分，即当直线切削刃高度h >AB时发生根切。根切使齿根削弱，严重时还会使重合度减小，所以应当避免，即AB - r(sin口) (1)图 1 根切与变位原理为避免根切，将虚线刀具自中线L 向外移出- 段距离X/T/到达实线刀具位置，其直线切削刃最高点C也移动到D点。D点所在直线L 敲通过啮合极限点A，则切出的齿轮不会根切。这时与齿轮分度圆相切并作纯滚动的已经不是实线刀具的中线 L。，而是与之平行的另-条直线 Lz，如果刀具继续下移会进-步避免根切，但要考虑其他因素[ 。

2 最小变位系数下齿顶厚与重合度计算为了简化说明问题，本文研究齿轮 Z <17齿，并且按速比i-Z2/z -2与齿轮 2进行啮合传动，齿轮采用标准滚刀通过变位加工，其参数为：m-5 mm，a-20。， -1，C -0.25，R-0.38 mm。

如图 2所示，双 Y坐标系中 轴表示齿数z ，左边Y轴表示齿顶厚S 与模数m之比，右边Y轴表示避免根切的最小变位系数z -(17-Z )/17。直线表示 i-2时变位系数 z 随 Zt的变化情况，曲线表示 i2时，S /m随Z 的变化情况。

图2 齿顶厚 S 1与齿数 Zl关系由图2可以看出，4～8齿按速比 -2相互啮合时，其齿厚小于0.25 m，这会使齿顶变尖，导致齿顶部分在啮合传动时强度和刚性很差，影响齿轮正常平稳传动。而且齿轮啮合时，除了在节圆处是纯滚动外，在其他位置既滚动又滑动，尤其是在齿顶与齿根处，滑动率最大，如果齿顶变尖，会像尖刀”-样刮伤齿面。

重合度e与齿数 Z 关系如图 3所示，左边 Y轴表示重合度e，其余同图1。曲线表示 i2时，重合度 e随Z 的变化情况。从图 3可以看 出，3～8齿与齿轮按速比i-2相互啮合时，其重合度小于 1.2，不利于啮合传动。

综上分析可知，采用最小变位系数对于某些少于 17齿的配对齿轮，齿顶厚可能小于 0.25 m，重合度小于 1.2，对传动不利[4]。重合度和齿顶厚随着变位系数的减小而增加，但是对于少于 17第 6期 赵向飞，等：少齿数齿轮变位系数的研究 657齿的齿轮，减小变位系数又会带来根切。

图 3 重合度与齿数Z1关系3 滚刀刀顶圆角半径和变位系数关系3.1 滚刀刀顶圆角半径与变位系数的关系如图4所示，Ⅲ表示标准滚刀刀顶圆角，其圆心为O3，半径为R。-0.38 m～滚刀圆角增大为单圆角Ⅱ，其圆心为 02，半径为Rz。单圆角Ⅱ是该滚刀能达到的最小单圆角，并且在区间(0，R )内都为双圆角～刀顶圆角继续增大为单圆角I，其圆心为 ，半径为R 。L 、Lz与AB的含义同图 1。

图4 滚刀刀顶圆角与变位系数关系由图4可以看出，对标准滚刀Ⅲ而言，要避免根切，就需要将 C点移动到过直线 L ，即移动到图1的D点， 即为最小变位量。同理，＆ 为单圆角Ⅱ滚刀避免根切的最小变位量，F厂为单圆角工滚刀避免根切的最小变位量。很显然，Ff

图5 Xl、z2和 R计算程序框图将Z ：6、Zz-12及滚刀的相关参数输入程序，z 、 经修正后分别为 0.248 2和0，求得加工小齿轮滚刀刀顶圆角半径为 0.6 m，加工大齿轮滚刀刀顶圆角半径为 0.56 m，能显著减小齿根弯曲应力，可以弥补变位系数减小引起的齿根弯曲应力的变动[6曲]。该方法适合于其他任意齿数齿轮，刀顶圆角可能为单圆角也可能为双圆角，但要检测齿轮是否发生啮合干涉。

为了便于分析比较，普通变位齿轮参数见表 1所列，增大滚刀刀顶圆角后的变位齿轮参数见表 2所列。

表 1 普通变位齿轮参数参数 数值0.647 10.294 129.862 60.145 40.724 50.989 622.291 035.526 048.761 5m m m m m n现 、量 ～～佃第 6期 赵向飞，等：少齿数齿轮变位系数的研究 659表 4 增大刀顶圆角后的变位齿轮 YF和 Ys参数 H/m R/m YF Yso YqYsZ6 0 0.60 2.63 1.46 3.84三 ： ! ：!! ： ： ! ： !其中，H表示刀顶高，R表示刀顶圆角半径。从表 3和表 4可以看出，增大滚刀圆角后的变位小齿轮齿形系数yF和应力集中系数ys的乘积，相对普通变位齿轮减小了1.5 ，，大齿轮相对普通变位齿轮减小了 3.4 ，与有限元分析结果基本相同，能正确反应齿根弯曲应力的变化状况。这说明增大滚刀刀顶圆角能弥补变位系数减小引起的弯曲应力变动，并能进-步降低齿根应力。

5 结 论(1)少于 17齿齿轮按速比i-2与另-齿轮配对时，采用标准滚刀按最小变位系数加工时，会使部分齿轮重合度e<1.2，齿顶厚 S <0.25 m。

(2)通过编程合理分配变位系数，使重合度达到 1.2、齿顶厚Sa>0.25 m，并推导了滚刀刀顶圆角半径和变位系数的关系式，用于计算满足该变位系数的刀顶圆角半径。

(3)以Z -6和Z2-12两齿轮为例，采用APDL语言对根切齿轮和变位齿轮进行了参数化有限元建模及齿根应力分析，结果表明增大滚刀圆角可以抵消变位系数减小引起的齿根应力变化，并能进-步降低齿根应力。

(4)该方法也适用于任意其他齿数的齿轮，但重要的是如何选取满足要求的最佳变位系数，然后再计算获得该变位系数的最佳刀顶圆角半径。该方法的缺点是只能针对具体的齿轮加工专用齿条刀具，适合于大批量生产参数固定的齿轮。