基于产形齿条端面齿廓的相交轴渐开线变厚斜齿轮建模

渐开线变厚齿轮在外形上沿轴线呈现-定的锥角，可广泛应用于平行轴、相交轴以及交错轴的空间传动中。变厚齿轮的主要特点是在不同的轴向截面上齿形具有不同的变位系数，通常沿轴向线性变化。

对于渐开线变厚齿轮，国内外学者做了较多的研究。Jesper Brauer针对直齿变厚齿轮从参数方程的角度分析了其几何特征 ；林超、魏沛堂推导了变厚斜齿轮渐开线螺旋面、过渡曲面及齿根面齿面方程，建立了精确实体模型 ；朱才朝、宋朝省等提出了变厚齿轮直接设计法和间接设计法，分析了设计参数对啮合主方 向角的影 响 ，并研究 了其啮合动态特性 ，舒长生针对变厚斜齿轮轮齿左右两侧螺旋角的变化规律提出了附加螺旋角的概念 。研究人员在建立变厚斜齿轮齿面方程时都是从产形齿条法面方程着手进行推导，未能直接通过设定齿轮参数得到斜齿轮端面方程，建模过程相对繁琐。

笔者根据齿轮啮合原理，以产形齿条法面齿廓为基础，建立其端面齿廓方程，推导产形齿条与变厚齿轮间的坐标变换关系，求解两齿面相对滑移速度及产形齿条上的单位法矢构建啮合方程，得到渐开线变厚斜齿轮齿面表达式，而后利用 UG软件建立相交轴渐开线变厚斜齿轮副的实体模型。

2 产形斜齿条端面方程的推导在推导渐开线变厚斜齿轮齿面方程时，以假想产形齿条作为刀具加工变厚斜齿轮，产形齿条与被加工齿轮相对位置关系如图1所示。

稠图1 产形齿条和齿坯相对位置关系图1中，半径为 r 的节圆柱与产形齿条节平面相切，节圆柱上的切点线速度 r 等于齿条平移的速度，假想分度平面与节平面之间呈夹角 6 。

收稿 日期：2013-04～18基金项目：国家 自然科学基金项目(51175524)；重庆市 自然科学基金计划资助项目(CSTC，2011A70002)。

作者简介：陈辰嘉(1988-)，男，湖北咸宁人，硕士，研究方向：机械设计及理论。

· 31·研究与分析 2013年第3期(第26卷，总第125期)·机械研究与应用 ·2.1 产形斜齿条法面方程如图2所示，S (X ，Yo，Z )是空间固定坐标系，，nz 平面为产形齿条的分度平面， z 平面为产形齿条法向对称平面。在法向截面上，产形齿条的左侧齿廓分为 AB和 BC两部分，其中AB段为圆弧，包络出变厚齿轮齿根过渡曲线；BC段为直线，包络出变厚齿轮的渐开线齿面。

图2 产形齿条法向截面齿廓BC上任-点在法向截面上方程为：冗：(1)/cos -harm±(-fsin harm tan ，rm n)01式中：R 为 BC段中任意-点在坐标系 S 中的矢径；为法面压力角；m 为法面模数；h2为齿顶高系数；f为BC中任意-点到点 日的距离；下标 n为刀具法面；-，分别表示产形齿条左、右侧齿廓。

AB上任-点在法向截面上方程为：(0)- harm -pcos 0psin±( 二 an s in )01(2)式中： 为AB段中任意-点在坐标系s 中的矢径；0为圆弧上任-点与起始点4问的圆心角；P为产形齿条齿顶圆角半径。

2.2 产形斜齿条端面方程将坐标系s 绕 旋转 ，得坐标系S (X ，yI，Z.)，再将坐标系 s 绕 yI旋转 6，得坐标系s ( ， ，Z )，如图2所示。

由式(1)、(2)可推导出产形齿条直线段和圆弧段在坐标系s 中X 0 yt平面上的表达式如下。

R (f)尺 尺i /cos JB 0 1] (3)R：(0)R R /cos卢 0 1] (4)由式(3)、(4)可推导出产形齿条直线段和圆弧. 32 ·段在坐标系 S 中X O Yd平面上的表达式如下。

[ 哪 an n 6。 ] (5) [ Rxtan n 6。 ] (6)3 渐开线变厚齿轮齿面方程的推导3.1 产形齿条的坐标变换建立如图3所示的坐标系，Sd(X ，Yd，Z )坐标系与产形齿条固联，将坐标系 S 沿 Z 负向移动距离u，然后绕X 旋转卢角得到坐标系Sp(X ，，p，Z )，将坐标系S 绕 旋转6角得到坐标系s (X。， ，Z )。

图3 坐标系S 、S。、S。之问的位置关系在坐标系 S 中，产形齿条齿面方程可通过如下坐标变换得到。

R M。dRdM MpdRd (7)式中：R 和R 分别表示产形齿条齿面上各点在坐标系s。和S 下的矢径， 为坐标系S 到 S 的坐标变换矩阵， 。为坐标系s。到s 的坐标变换矩阵。

1 0 0 UCOS/3sin 60 1 0 usin0 0 1 Meos 8eos 60 0 0 l(8)将式(5)、(6)、(8)代入式 (7)，可得坐标系 S下产形齿条直线段和圆弧段各点的矢径。

R： R UCOS/3sin 6R usin/3UOOS/3cos 61R Mcos/sinR usin卢UOOS/3cos 61(9)(10)3.2 产形齿条齿面的单位法矢坐标系 下产形齿条直线段(圆弧段)各点的位置表达式为 I/u(O/u)的函数，所以产形齿条齿面的单位法矢可以表示为下式。

· 机械研究与应用 ·2013年第3期(第26卷，总第125期) 研究与分析： ：- Ol ×l × lOR OR- - × - - 鱼 些I × l a d3.3 啮合方程go1Yc/r n K /(n r ) (19)，11、 3.4 渐开线变厚齿轮齿面方程将式(9)、(10)和(11)、(12)分别代入式(19)，解得产形齿条直线段和圆弧段的转角 go 。

go 尺 /r n： ·R： /( ： ·r ) (20)(12) goiR'o /r nJ R /(nJ r ) (21)变厚齿轮齿面部分在 .si中的齿面方程为：产形齿条加工齿坯的过程，也是产形齿条齿面包络齿坯创成齿面的过程。图4所示为产形齿条与齿轮啮合时的相对位置关系。

图4 产形齿条与与齿轮啮合时相对位置关系设 5 ( ，l，b，z )为空间固定坐标系，.sj(Xj， ，zi)为与被加工齿轮固联的坐标系。在初始位置，.sj与5 重合，与产形齿条固联的坐标系 S 的原点 0。

位于 轴上，与 0 的距离为 r 。产形齿条 1以线速度 r 向左移动，带动被加工齿轮 2以角速度 ∞ 绕zi轴逆时针旋转。若产形齿条由初始位置向左移动r'go，则坐标系 si绕 z旋转角度 go 。

被加工齿轮绕 z；轴转速矢量可表示为：-∞1k (13)设产形齿条上某点 K的位置矢量为：0。Kr。Xci。y zck。 (14)可得 ：PKPO。0。KXci。(Y。-r'go1) zok(15)由式(13)、(15)可得，在 K点处齿轮相对齿条的速度矢量为：K12 1×P 1(Y -r )i √ ] (16)根据啮合原理，两齿面能在 K点正确啮合的条件是 K点的相对速度矢量垂直于过 K点的两齿面的公法线矢量，即：It · 1K20 (17)其中：It 表示刀具齿面单位法向矢量n ( K KIt It ) (18) l将式(16)、(18)代人式(19)解得： Mj。

R尺1(R： r )CO8 go (r'go -R： )sin go(尺 r )sin go -(r - )COS goR1式中： 为坐标系s 到 Sj的变换矩阵。

同理，变厚齿轮过渡圆弧在Jsj中的参数方程为：RR(R'o r )COS go (r'go -R )sin(R'o r )sin -(r'go -尺 )COSRl(23)4 变厚斜齿轮副实体模型的建立相交轴渐开线变厚斜齿轮副的参数如表 1所列。

表 1 渐开线变厚斜齿轮的参数4.1 渐开线变原斜齿轮齿面点云生成6 J以输入齿轮为例，在 Matlab中根据变厚斜齿轮的齿面方程编写程序，可生成图5所示的齿面点云。

图中5(a)为基于产形齿条端面齿廓方程得出的齿面点云，图5(b)为基于产形齿条法面齿廓方程得出的齿面点云。

两者对比分析可见，无论是从产形齿条端面方程· 33 ·] J 1 J 叮 比 假 吖 船n nr....。。..。。.。....L .........。....L 研究与分析 2013年第3期(第26卷，总第125期)·机械研究与应用 ·还是法面方程出发，都能获得准确的齿面点云；不同的是图5(a)中每层点云都与齿轮端面平行，可通过设定齿轮大端和小端的变位系数，从而方便地建立满足齿宽要求的实体模型，而由图5(b)点云拟合得到曲面后，还需依据齿轮大、小端的变位系数计算轴向切面位置，通过曲面剪切形成变厚斜齿轮齿面，建模过程相对较为繁琐。

l l l i 》(a) J 端 齿廓 (b) J法 搬蕊图5 输入轴渐开线变厚齿轮齿面点云4.2 渐开线变厚斜齿轮建模及装配相交轴渐开线变厚斜齿轮副的啮合模型，如图6所示。

图6 相交轴渐开线变厚斜齿轮副的啮合模型将基于产形齿条端面齿廓方程得出的齿面点云输)，Imageware拟合成变厚斜齿轮齿面 ，而后在UG(上接第 30页)[2] Kim C H，Lee C W，Perkins N C.Nonlinear Vibration of SheetMetal Plates Under Interacting Parametric and External ExcitationDuring Manufacturing[J].ASME J.Vib.Acoust.，2005(127)：36-43。

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[5] Michon G，Manin L，Remond D，etc.Parametric Instability of anAxialy Moving Belt Subjected to Muhifrequency Excitations：Exper-iments and Analytical Validation[J].Journal of Applied Mechan-· 34·中编辑曲面，通过缝合、阵列等操作得到变厚斜齿轮的实体模型。计算齿轮副装配位置，在 UG中进行虚拟装配及干涉检验，即可得到图6所示的模型。

5 结 论采用空间啮合原理，基于产形齿条端面方程推导了渐开线变厚斜齿轮的齿面方程，建立了相交轴渐开线变厚斜齿轮副的装配模型，得出以下结论：①基于产形齿条法面齿廓的参数方程，经两次坐标变换可推导出包含螺旋角 和锥角 6两个基本参数的产形齿条端面方程；②从产形齿条端面齿廓方程入手，经坐标变换建立啮合方程，得出了渐开线变厚斜齿轮的齿面方程；③借助 Matlab、Imageware、UG等软件建立了渐开线变厚斜齿轮副的实体模型和装配模型，结果显示该相交轴变厚斜齿轮副啮合状况良好。