基于Matlab的三叉杆滑块式万向联轴器的动力学分析

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Dynamic Analysis of the Tripod Sliding Universal Joint Based on MatlabYANG Fu-qin，CHANG De-gong，ZHANG Li zeng(Colege of Electromechanical Engineering，Qingdao University of Science and Technology，Qingdao 266061，China)Abstract：On the basis of kinematic analysis，dynamic model with friction and inertiaforce was built and the stress analysis was done for the tripod sliding universal joint bymeans of the direction cosine matrix too1.The numerical results indicate that the forcesof each component change periodically by the sine law or the similar sine law relative tothe input shaft angle.In addition，friction coefficient has greater effect on the forces ofrevolute pairs and spherical pairs than on those of sliding pairs。

Key words：the tripod sliding universal j oint；friction force；inertia force；dynamic char-acterj sti CS三叉杆滑块式联轴器是近几年新发展起来的- 种高效能等角速万向联轴器，曾于2009年获全国发明展览会金奖 。

前期对该新型传动机构的受力情况从理论上曾进行过探讨口]，但是在忽略摩擦力和惯性力的情况下进行的，这实质上进行的是静力学分析，与实际出入较大。工业技术水平的不断提高特别是机械设备高速化、精密化、轻量化、大功率化的发展趋向，要求提出更精确、更真实的反映客观实际的动力学分析方法而摒弃以前计算中的所做的-些假设和简化。本研究计人摩擦力和惯性力的影响，对三叉杆滑块式万向联轴器建立起动力学模型，从而进行全面的受力分析 。

1 三叉杆滑块式万向联轴器的结构简介三叉杆滑块式万向联轴器结构简图见图 1。

该联轴器的输入轴上联接-套筒，套筒内表面上间隔 120。设置 了 3个导 向槽 ，3个导 向槽的中心线分别平行于输入轴轴线。输出轴上固定 3个叉收稿日期：2012-04-06基金项目：国家自然科学基金项 目(50975147)；青岛市科技计划项目(10-3-4-4-6-jch)作者简介：杨福芹(1972-)，女，副教授。

608 青 岛 科 技 大 学 学 报(自然科学版) 第 33卷杆，三叉杆位于与输出轴相垂直的平面内，其轴线相互间隔 120。，并汇交于输出轴上 ，传递元件为 3个滑块和内球头I2]。滑块和内球头之间形成球面副(因此可以把它们看作是-个关节轴承)，滑块与三叉槽之间，内球头与三叉杆之间是间隙配合关系，分别形成移动副和圆柱副，当输入轴与输出轴相交成-定角度时，在输入轴的驱动下，关节轴承-方面沿三叉槽移动，另-方 面沿三叉杆轴颈运动 ，从而实现运动过程中的角度补偿 。

1.输入轴：2三叉槽；3.滑块；4.叉杆；5内球头：6.输出轴。

图 1 三叉杆滑块式万向联轴器结构简图Fig.1 Schematic diagram of the tripodsliding universal joint2 三叉杆滑块式万 向联轴器 的运动学方程结合该联轴器 的结构简图(图 1)，绘制出当输入轴采用径 向滚动轴承支承，输出轴采用调心轴承支承时，三叉杆滑块式等角速万向轴器 的空间机构模型(图 2)l3]，并在图 2中建立静坐标系oxyz、0 32 Y z 和动坐标系OtX Y ，推导得出静坐标系O PX Y 和动坐标系o z Y” 间的方向余弦矩阵4 ]：EMo，。 ]-[M。，。][ ]-Al1A21A310A12A22A3zOAl3A23A330A14A24A341冲 ：AIcos3cos0，- ，A12- ，A1 3--cosSsin0cos3。-sinScos0，A- -ecosScos0cos3 。- esinSsin0，- ，A 。。- -cOS-OyA23--sinOsin3。，A24ecosOsin3。，As1 Sin s Os0 ， C。

A32- ，A33- -sin3sinOcos3。cos3cos0，Aa4- Psin cos cos3 。ecos3sinO。

为联轴器输入轴和输出轴夹角，0为输出轴运动圆锥母线与中心线的夹角， 为坐标变换角( <)，西。为输出轴转角， 为三叉杆交点的轨迹圆半径，e-专( - )。

以方向余弦矩阵为工具，建立输出轴和传递元件滑块的运动方程 ]：输 出轴转角。≈ - tan3tg y sin3≠.， (2)输出轴角速度。-wO)i3Ytan n 萼c。s3 (3)输出轴角加速度e。- tan n 导s (4)滑块相对于输出轴三叉杆的位移-r-g-2ecos2i，(志-1，2，3)， (5)滑块相对于输出轴三叉杆的加速度a触4 r( 1)cos2，(是-1，2，3)。(6)式(2)至式(6)中， 为输入轴转角，r为滑块回转半径，z为输出轴长度， 。为输出轴角速度， 为输入轴角速度，e。为输 出轴角加速度 ，h 滑块相对于三叉杆的位移 ，a碰滑块相对于输出轴三叉杆的加速度。

图2 三叉杆滑块式等角速万向联轴器的空间机构模型Fig.2 Spatial mechanism model of thetripod sliding universal joint第 6期 杨福芹等：基于 Matlab的三叉杆滑块式万向联轴器的动力学分析3 三叉杆滑块式万向联轴器的动力学分析3.I 输出轴的受力分析3.1.1 建立输出轴的受力简图图3为输出轴的受力简图。

图 3 输出轴的受力简图Fig.3 Forces acting on the output shaft图 3中 ：P-- 输出轴；1， 2， 3-- 三叉杆；， 。 ， 。- - 关节轴承作用在三叉杆上的分力，该分力位于动坐标系 o 的o平面内且分别与 ， z， s相垂直；， 。 ， 。 - - 关节轴承作用在三叉杆上的分力 ，该分力分别与 平行 ；。 ， 。 - - 关节轴承作用在三叉杆上的分力(实质上是运动过程中关节轴承对三叉杆的摩擦力)，该分力位于 平面内，分别与三叉杆轴线 1， 2， 3平行 ；R ， ， -- 输出端调心轴承对输出轴的约束反力，分别与 轴， 轴， 轴平行；- - 由角加速度产生的惯性力矩 ；Mo-- 输出轴上作用的阻力矩。

3.1.2 建立输 出轴 的力平衡方程1) - 0，- in( )c。 s( 。警忌) -0，( -l，2'3)a(7)2)∑ -0，s( 。 最)塞 in( 。 忌) -。 (8)3)∑ -0，∑ k ：-0。 (94)∑ -0，∑3 k九 n( 。孥惫)- L -o。(10)5)∑ -0，3c。s(。 忌)- L -。。(1)6)∑ -0，∑ h -ME-Mo-0。 (12)式(7)至式(12)中， f-f(F't k)，(走- 1，2，3)，f为摩擦系数， -- e，J为输出轴的转动惯量。

3.2 输入轴的受力分析3.2.1 建立输入轴的受力简图输 入轴的受 力简图如图 4所示。

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1Rt/ - tF 3F 3图4 输入轴受力简图Fig.4 Forces acting on the input shaft图 4中：SO -- 输入轴；m1，m2，m3-- 三叉槽 ；F ，F ，F 。 -- 滑块作用在三叉槽上 的向分力 ；F ，F ，F1 3y - - 滑块作用 在三叉槽上 的向分力；F lf，F ，F'3f-- 滑块作用在三叉槽上的摩擦力 ；R ，R ，R -- 输入端向心轴承对输入轴的约束反力 ；61O 青 岛 科 技 大 学 学 报(自然科学版) 第 33卷， - - 输入端向心轴承对输入轴的约束反力矩；M-- 输入轴上的驱动力矩。

3.2.2 建立输入轴的力平衡方程1)∑F -0，3∑F h-4R -0。 (13)2)∑F -0，3∑F b-4R -0。 (14)3)∑F -0，～ ∑F fR -0。 (15)k 14)∑ -0， L。-3in(” 忌)-。。

(17)6)∑ 0，茎F!kxrsin(。 )- 1 V ，3rc。s(≠。 走) -。。 (18)式(13)～ 式(18)中F f- f(F kF 如)，(忌 1，2，3)。

3.3 滑块受力分析3.3.1 建立滑块的受力简图图 5为滑块的受力简图。

F )h图s 滑块受力简图Fig.5 Forces acting Oi"1 the sl'der图 5中：F kx-- 三叉槽作用在滑块k(忌-1，2，3)上的 z 向分力 ；F -- 三叉槽作用在滑块k(志-1，2，3)上的 向分力；F f-- 三叉槽作用在滑块 k(k- 1，2，3)上的摩擦力 ；F ok -- 三叉杆作用在 滑块 是(志上的 z 向分力 ；F ok -- 三叉杆作用在滑块 k(忌上的 Y 向分力 ；F --三叉杆作用在滑块 k(是上的z 向分力；- 1，2，3)- 1，2，3)- 1，2，3)- - 滑块 k(k- 1，2，3)的向心力 。

3.3.2 建立滑块的力平衡方程1)∑F -0，F F c。s( 志)-F h-o，(志- 1，2，3)。 (19)2)∑F -0，F -F bF sin(≠。 志)0，(志- 1，2，3)。 (2O)3)∑F -0，- F F f-～ m脾碰，(尼 - 1，2，3)。

(21)式(19)和式(2O)中，F - m (u r，m 为滑块 的质量。

另外 ，力 F 出，F ，F 与 F ， k之间存在如下关系：EMo，。 ]n( 。孥忌)- 。s( 。孚忌)K'cos(。 忌)- in( 。 忌)～ P1(22)将式(1)代入式(22)，得第 6期 杨福芹等：基于 Matlab的三叉杆滑块式万向联轴器的动力学分析 611A [ sin( 。警五)～ c。s(≠。十警 )]A z[- c。s(声。孥 )- sin( 。十警 )]-A 。kAA [ sin(声。警志)～ c。s( 。 )]Az[- c。s( 。 )- sin( 。譬 )]-Az。 kAA。 [ sin(1I。孥 )～ c。s(≠。警 )]A。z[- c。s(≠。警尼)- sin(I。孥 )]-A。 kA。

1因此，在已知输入扭矩 M 和输入轴转速的情况下，联立式(7)至式(21)求得未知量 ，p ，P ， ， 2 ， 3 ，R i， ，R ，Mo，F h，F 2 ，F 3 ，F L ，F ，F 3，，R ，R ，R ，M ，My。

4 动力学分析实例本实例在 SolidWorks中建立起三叉杆滑块式等角速万向联轴器的三维实体模型后，利用软件的分析计算功能计算出联轴器的相关几何参数和惯性参数如下：输入轴长度Li-47 mm，输出轴长度 L。-45 mm，滑块回转半径 r-20 mm，输入轴和输出轴偏转角 8。，3个滑块质量分别为m -10 g(i-1，2，3)，输 出轴转动惯量为 J-271kg·mrl 。另外，输入轴转速为 i-200 r·min。，输入转矩 M 200 N ·m，摩擦系数 -厂-0.08。上述参数带人式(7)至式(21)，利用 Mat-lab求解各构件在输入轴 回转-周时的受力情输入轴转角 )(a)摩擦系数对输出轴作用力 .的影响输入轴转角西。 )(c)摩擦系数对输出轴支反力.R， 的影响况，并做出摩擦系数对联轴器各构件的部分受力影响曲线 ，如图 6、图 7所示。

分析发现：1)各构件的受力按正弦规律或近似于正弦规律相对于输入轴转角呈周期性变化，其中滑块通过关节轴承施加到输出轴三叉杆上的分力、 。 、 。 和 、 、 。：均是周期 为 2兀的正弦曲线，即输入轴每回转-周， 、 。、 。

和 、 ： 、 。 周期性变化-次，并且作用在三叉平面上的分力 、 、 。的瞬时作用较大， 、 。、 。与相应的 、 、 。 波动的幅度相当。滑块通过关节轴承作用于输入轴的力 F 、F 、F 。 和 F 、F 、F 。，的变化 周期2兀。调心轴承对输出轴的支反力 、 、和输出转矩 M。，以及向心轴承对输入轴的支反力 R 、R 、R 和转 矩 、My变 化周 期 均 为2毒/3。

20O百耋o 196194输入轴转角咖. )(b)摩擦系数对输出轴作用力F” 的影响圜 - ：、、、 ， ，//， - 、、、、、、、、 ，，，，/，～、、、、、、 ，，，，/～、、、 l l 0 60 12O 180 240 300 360输入轴转角 。 )(d)摩擦系数对输出力矩 的影响图6 摩擦系数对联轴器输出轴受力影响曲线Fig.6 Effect of friction coefficient orl force of the output shaft∞ ∞ ∞ ∞ 0 ∞ ∞ ∞ ∞加 ：2 加 加612 青 岛 科 技 大 学 学 报(自然科学版) 第 33卷输人轴转角 /(。)(a)摩擦系数对输入轴作用力 的影响输人轴转角 ，(。)(c)摩擦系数对输入轴支反力尺 的影响输入轴转角哦，(。)(b)摩擦系数对输入轴作用力FIly的影响输入轴转角 ，(。)(d)摩擦系数对输入力矩 的影响图 7 摩擦系数对联轴器输入轴受力影响曲线Fig.7 Effect of friction coefficient on force of the input shaft2)输入轴上的三叉槽 m ，m ，m。，输出轴上的三叉杆 、，z 、 。间隔 120。对称分布，因此滑块作用到输人轴三叉槽 的分力 F 、F 、F 。 和F 、F 。 、F 。 ，以及滑块作用到输出轴的分力、 。 、 。 、 、 、 。 也是对称分布 的，即初始相位不 同，彼此相差 12O。，但变化规 律是相同的。

3)从运动学研究结果知，三叉杆滑块式联轴器是-种准等角速联轴器 ，如果视输入轴转速与输出轴转速相等，则该联轴器的瞬时效率为叩- - -98.66%～98.71%。M i·∞、 M 。

4)从图 6至图 7可以看出，摩擦系数对各构件的受力均有影响，摩擦系数为零时，三叉杆滑块式等角速万 向联轴器处 于摩擦 力为零 的理想状态，此时各力的瞬时作用较小，波动的幅值也较校随着摩擦系数的增大，输出轴在球面副处的受力 以及输 出力矩 M。，输入轴在回转副的受力 R 以及力矩M 的瞬时作用及其 F 波动的幅值开始大幅度增大。相比之下，摩擦系数对输入轴在移动副处的力 F ，F 的影响要小的多。

5)图 6、图 7表明，三叉杆滑块式万向联轴器输入转矩是恒定 的，各组成零件受到循环变载荷的作用 ，容易产生疲劳破坏 。而疲劳是 由于结构局部往复塑性应变的结果而产生的，具有难以察觉的特征，比静应力下的脆性断裂更具危险性 ，因此对该联轴器进行疲劳特性分析，对其疲劳寿命做出预估是非常必要的。

5 结 论在三叉杆滑块式等角速万向联轴器运动学分析 的基础上 ，结合该联轴器的空 间机构模 型建立起坐标系，利用方向余弦矩阵工具，在计人摩擦力和惯性力的情况下建立了各运动构件的力学平衡方程式 ，并运用 Matlab软件进行 了求解 ，结果表明：各构件的受力按正弦规律或近似正弦规律相对于输入轴转角呈周期性变化；摩擦系数对回转副和球面副中各力影响较大，对移动副中各力影响较小 。研究为设计运动副的结构 、分析支承和构件的承载能力以及选择合理的润滑方法打下了基础 ，也为三叉杆滑块式等角速万向联轴器的设计、生产从理论上提供 了有效 的指导和支持 。