超声珩齿振动系统的设计方法及其动力学特性

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Design method for a vibration system of ultrasonic gear honing and its dynamic characteristicsLt)Ming ，SHE Ying-zhu ，QIN Hui-bin ，WANG Shi-ying(1.Colege of Mechanical Engineering of Taiyuan University of Technology，Taiyuan 030024，China；2.Department of Mechanical Engineering of Taiyuan Institute of Technology，Taiyuan 030008，China)Abstract： Ultrasonic gear honing is a precision machining method of gears with good application prospects，anddesign of its vibration system is a key technique.Through analyzing the coupling relationship between its horn and gear，the vibration system was reasonably simplifed.On this basis，a new design method for the vibration system was putforward by combining boundary conditions.Furthermore，using the proposed method，the horn was designed and thedynamic characteristics of its gear and horn was analyzed.Comparing the calculation results with those from finite elementanalysis and tests showed that the proposed theoretical model is reasonable and feasible，and the calculation results inexamples are closer to the measured ones than the results from finite element analysis be.The corresponding conclusionsprovided a guidance for designing a vibration system of ultrasonic gear honing。

Key words：ultrasonic gear honing；vibration system；horn；resonant frequency超声珩齿是超声振动加工与传统珩齿工艺组合起来的-种复合加工技术。超声珩齿 中，珩磨轮与被加工齿轮除了齿面间啮合的相对运动外 ，被加工齿轮的齿面质点还在做高频振动，使得磨粒实际切削速度提高，并以冲击力方式作用于切屑，-方面有效提高了珩磨切削能力，另-方面超声空化与切削液的共同作用对珩磨轮实现动态清洗，减小了珩磨轮的堵塞，所以超声珩齿有很好的应用前景 J。

超声珩齿的关键技术之-是振动系统的设计。-般功率超声振动系统的设计有两种思路 J，-是加工工具头尺寸较小，在变幅杆设计时将其忽略；二是工具头较大，但其尺寸可以根据振动系统频率要求自由设计，这样按照全谐振设计理论 J，只要将变幅杆与工具基金项 目：国家自然科学基金(50975191)收稿 日期：2012-O1-O5 修改稿收到日期：2012-02-29第-作者 吕 明 男，博士，教授，博士生导师，1957年生头分别设计为具有相同的自由谐振频率，将二者组装在-起后 ，系统会在设计频率或其附近谐振。超声珩齿振动系统不同于-般功率超声的振动系统处在于，被加工齿轮是变幅杆的负载，它的结构、尺寸、材料等均由使用要求决定，不能按照谐振频率要求任意设计，同时尺寸和质量都较大，不能忽略它对变幅杆振动频率的影响，另外由于变幅杆做-维纵向振动，齿轮做轴对称弯曲振动，二者振型完全不同，增加了设计振动系统的复杂性。文献[4]利用有限元方法对超声珩齿振动系统进行了分析，文献[5]对变幅杆和圆盘的振动特性进行了试验研究，文献[6-7]在超声珩磨振动系统的设计中采用了有限元分析与试验相结合的方法。文献[2，8-l0]从设计理论方面对超声珩齿振动系统进行了初步探索，本文在此基础上做了以下三方面工作，- 是用厚板理论取代经典卞理论作为研究齿轮振动的基础；二是修改完善了理论设计模型；三是对齿轮的振幅分布进行了分析研究。

148 振 动 与 冲 击 2013年第 32卷1 超声珩齿振动系统的数学模型超声珩齿振动系统主要由换能器、变幅杆和被加工齿轮组成，换能器可看作仅产生高频振动的驱动系统，不需要考虑他的尺寸对振动系统的频率影响，因此振动系统的设计主要是齿轮与变幅杆的谐振问题。图1为变幅杆与齿轮组合系统的结构示意图，齿轮安装于变幅杆小端心轴，并用螺母固定，螺母直径与变幅杆小端直径相等，变幅杆做轴向振动，直接推动齿轮做轴对称横向弯曲振动。

图 1 超声珩齿振动系统Fig.1 Vibration system of ultrasonic honing齿轮与变幅杆小端及螺母间耦合振动关系复杂，为此做如下假设，①在螺母很大的预紧力作用下，齿轮的支撑条件近似固支。齿轮在直径为 d：的支撑边界以内不能自由弯曲振动，径向转角为零；齿轮上直径大于d：的部分做轴对称横向弯曲振动。②在预紧力作用下，齿轮与变幅杆近似于刚性连接，在连接点位置，即变幅杆的端面与齿轮的接触面产生振动耦合。③在预紧力作用下，齿轮上直径小于 d 的部分与变幅杆小端心轴及螺母可看做-个整体，由于其长度和直径都较小，近似认为随变幅杆小端做整体简谐振动，是变幅杆小端的质量负载，基于上述假设得到图2所示振动系统简化模型。图2中齿轮部分为了计算方便，简化为- 等厚带孔圆板，圆板直径 d 等于齿轮分度圆直径，这种简化对齿轮计算频率的影响极小，可以忽略 。

质量负载图2 超声珩齿振动系统简化模型Fig.2 simplified model of vibration system of ultrasonic honing对于圆板振动的研究主要有经典卞理论和用于解决中厚板问题的 Mindlin理论、Reissner理论等，中厚板理论的适用范围是圆板的厚径比 h/d≤1/2.5-1/2 ，兼容卞理论，但适用范围更大，计算精度更高。齿轮按厚径 比而言-股都在 中厚板理论适用范 围内。超声珩齿中，为获得 良好 的齿轮加工效果，要求齿轮做零节径 的轴对称弯 曲振动。根据 中厚板理论 ，若不考虑时间因子 ，圆板做零节径的轴对称弯曲振动 时在极坐标 系 中的变形 函数 和 内力 函数分别为 ：W ∑AiJo(6 )∑Bi (6 )/3，∑Ai( -1)Jg(6 ，r)∑Bi( -1) ( )Q i1[ r) r))Z A 1)[舯 )/，z j(8 小Z B 1)[ ( r) ( r)])(1)式中： 为圆板横向位移，/3 是转角，Q，是剪力，M 是弯矩，A ，B (i1，2)是由边界条件确定的待定常数，、 分别是零节径的第-类和第二类Besel函数；r是圆板半径，D是匀质圆板的弯曲刚度， 是泊松比； 1。4(尺s)[(R-.s) 48o ]) 1 4。(Rs)-[(R-s) 460 ] 1) h2， ，o。h 2， 为参数，在 Mindlin理论中取 12/r ，G为匀质圆板的剪切模量，P为材料的密度， 为圆频率； ( -S ) ( -S )圆锥形变幅杆形状因数大，制造容易，在大功率、高声强的工作状态时，工作性能稳定 ，所以超声珩齿优先选用圆锥形变幅杆。由文献[14]知圆锥形变幅杆的位移函数 和应变函数 分别为： ox - laleos 02sin )篙- (-。 Ksin 。： c。s )-商 1c0s 曲式中：。生 ]N -1， Ⅳ为面积系数，Ⅳ ，K为圆波数，Kw/c，C为纵波在细棒中的传播速度，c， E是弹性模量。a 、 为待定常数，需要根据边界条件确定。

- - - 、阿订 第2期 吕 明等：超声珩齿振动系统的设计方法及其动力学特性 149当齿轮做弯曲振动时，其外缘 自由，所以有边界条件：f d：如0 (3a)Q，l 0 (3b)由假设条件知，齿轮在直径为 d 支撑边界径向转角为零，所以有边界条件，f ：幽0 (3c)由假设条件知，齿轮在支撑边界处的横向位移应等于变幅杆小端轴向位移，所以有边界条件，l ： l ： (3d)在不考虑图2中质量负载对振动系统影响的情况下，齿轮与变幅杆在支撑边界处的作用力与反作用力互等，因此有边界条件：zQ (3e)变幅杆左端与换能器连接，位移最大而应变为零，所以有边界条件J 0 (3f) d l：0由式(3)构成了超声珩齿振动系统的数学模型。

将式(1)-(2)代人边界条件式(3)可得含有振动系统固有频率的方程组，该方程组可以写作如下形式：Dl1A1D12B1D13A2D14B2 0D21 1D2 1D23 2D24B20D31AlD32曰1D33A2D34B20D4lA1D42B1D4342 44日2D45 lD46口20D51AlD52 1D53A2D54B2D55。1D56020D65口1D6口20 (4)式中：D 是由式(3)确定的 、B 、 ：、B：、口 、0 的系数。

要使方程组有解 ，则式(4)中由A 、B 、A 、B 、n 、0：系数组成的行列式应等于零，即：△ DI1 D12 D13D21 D2 D23D3l D32 D33D4l D42 D43D51 D52 D53O 0 OD14 0 0D24 0 0D34 0 0D4 D45 D46D54 D55 D560 D65 D66 0 (5)式(5)即是超声珩齿振动系统的频率方程，确定齿轮的加工频率，即可由式 (5)求得变幅杆 的长度 Z。

若考虑变幅杆小端的质量负载对振动系统的影响，还需要对式(5)变幅杆计算长度z进行修正。变幅杆小端的质量负载将导致系统固有频率的降低，为保持系统在设计频率谐振，需要在变幅杆小端减去与质量负载部分等效的质量，实现质量互易1 J，由此可以得到变幅杆的实际需要长度。由于变幅杆为圆锥形，为保持小端直径不变，取变幅杆设计长度 z的修正公式为：ZZ -( ) (6)式中：z 为由频率方程(5)得到的变幅杆计算长度。

设换能器最大输出位移为 ，则变幅杆的大端振幅为：1 ：。 (7)由式(7)和式(3f)可以求得变幅杆位移函数和应变函数中待定常数 n 、。 ，将 口 、口：代入式(2)，可以做出变幅杆沿轴向振幅的分布曲线并求得变幅杆小端输出振幅 ～ 带人式(3d)，则由式(3a)～(3d)可求得圆板变形函数和内力函数中待定系数 4 、 ，将 、代入式(1)中圆板位移函数，可以做出圆板沿径向的振幅分布曲线。

2 超声珩齿振动系统的设计齿轮和变幅杆的材料均为 45号钢，材料密度 P7 810 kg/m。，弹性模量E209 GPa，泊松比 0.29；齿轮模数 m2，齿数 Z75，分度圆直径 d 150 mm，厚度 h15 mm；取变幅杆大端直径为 d 58 mm；小端直径为 d 20 mm，固定螺母厚度t5 mm；加工设备的中心工作频率为.厂20 kHz。

式(5)是-个复杂的超越方程，采用数值法求解，取系统中心工作频率f20 kHz，变幅杆长度z的变化范围为 80 mm～200 mm，由式(5)可作出行列式的值 △与变幅杆计算长度 Z的关系图，如图3所示。从图3可以看出△有唯-零点，零点对应位置变幅杆计算长度为 Z 164.2 mm〖虑变幅杆小端质量负载影响，按式(6)进行修正，则 z164.2-15-5144.2 mm，此即为满足设计要求的变幅杆谐振长度。

墨×蛊/ ///// 变幅杆计算长度 ×lOZ/mm图3 厂20kHz时，行列式的值随变幅杆长度的变化Fig.3 f-20 kHz Value of determinantversus the length of horn若设换能器最大输出位移为5 Ixm，按前述方法可作出变幅杆沿轴向的振幅分布曲线，如图4所示。从图中可以看出距变幅杆左端57mm处为位移节点，变幅杆输出端振幅为 12.61xm，放大系数 M 12.6/52.52。圆板沿径向的振幅分布曲线如图5所示。从图中可以看出圆板的振型为二阶圆节线弯曲振动，图中第 2期 吕 明等：超声珩齿振动系统的设计方法及其动力学特性 151的位置，说明圆板的振动模态确实为二阶圆节线的轴对称弯曲振动。试验频率与设计频率偏差微小，相对偏差仅 0.003%。用游标卡尺测得两节圆直径分别为56 mm和 126 mm，相距35 mm，与计算结果-致。

采用杠杆千分表对 圆板表面振幅进行 了实际i见0量，千分表表座固定在换能器基座上，并仔细紧固千分表、杠杆、表座上连接点。沿圆板径向每隔 5ram取-个测量点，将千分表测头打在圆板上测量点位置，启动超声波发生器，千分表表针将稳定的指在-个新的刻度，表针移动的距离即为该测点振幅。关闭超声波发生器后移动千分表到下-测点继续测量。根据测量数据绘出图 l0所示圆板振幅曲线。从图中可以看出圆板振幅分布与图5基本-致，但幅值略小于计算值。

综合以上情况分析，振动系统频率与节圆位置的理论计算结果比有限元模拟更接近试验结果。圆板振幅的实测值要略低于理论计算和有限元模拟值，其原因可能在于以下几个方面，-是理论计算的数学模型与实际情况存在-定误差；二是振动系统中不可避免的会存在摩擦、阻尼及反射波，这些都可能导致系统振幅衰减；三是测量仪器的精度不高，这需要进-步改变测量手段、提高测量精度来验证。另外反射波的存在会影响圆板振动时节圆的位置，从计算与实测结果的比较中看，这种影响很校吕土、 馨圉十； /、.。

/ f f ÷ I / t 1 /圆板半径r/mm图 10 实测圆板沿径向振幅分布Fig.10 Measured amplitude distributionCHIVe of the plate in radial direction为进-步验证理论模型的正确性和有效性，分别对直径 153 mm、厚度 11.5 mm及直径 120 mm、厚度 18mm的圆板进行了振动系统的设计，变幅杆大小端尺寸不变～三种情况振动系统的设计频率、有限元仿真频率及试验频率做了比较，如表 1所示。表中 A表示圆板厚度 11.5 mm，直径 153 mm的情况，B表示圆板厚度 15 mm，直径 150 mm的情况，C表示 圆板厚度 l8mm，直径 120 mm的情况。从表中可以看出，在圆板厚径比较小的情况下，有限元模态分析的频率低于试验频率，在圆板厚径比较大的情况下，有限元模态分析的频率远高于试验频率，出现这种现象可能缘于有限元分析时难以准确描述变幅杆、圆板、螺母之间的振动耦合关系。而理论计算值和试验结果始终吻合较好。

表 1 不同方法所得振动系统频率的比较Tab.1 Comparison of system frequencyobtained by diferent methods3 结 论(1)在变幅杆与齿轮的组合系统中，由于齿轮的尺寸、重量较-般超声加工的工具头大得多，对变幅杆的设计长度影响很大，因此需要建立变幅杆与齿轮的整体理论模型来设计变幅杆。

(2)由于大部分齿轮的厚径比超出了卞理论的应用范围，因此采用厚板理论研究齿轮的振动更合理，可提高超声珩齿变幅杆的设计精度。

(3)超声珩齿振动系统中，变幅杆与齿轮在连接点处同时存在位移的耦合和力的耦合。并且齿轮上被固定部分，变幅杆小端心轴部分及螺母对系统振动有较大影响，将这部分简化为变幅杆的质量负载，采取质量置换的方法对变幅杆计算长度进行修正。通过对不同厚径比圆板振动系统的设计与试验，证明所提出理论模型是合理可行的。

(4)由于振动系统中摩擦、阻尼及反射波的存在，圆板振幅会有所衰减，但对圆板振动时节圆的位置影响很/J、。